圆锥曲线中切线问题的秒杀策略

圆锥曲线中切线问题的秒杀策略
圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。

『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线
开口向左或开口向右时利用解决。

椭圆利用解决。

【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆上一点作切线，则切
线方程为：。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：
，与椭圆方程联立，利用。

熟记：②过抛物线上一点作切线，则切线方程为：。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：
，与抛物线方程联立，利用。

若为开口向上或开口向下的抛物
线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。

〖母题〗抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是 ( )
A. B. C. D.
0=D 0=D 12222=+b
y a x ()00,y x P 12020=+b
y
y a x x ()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D px y 22=()00,y x P )(00x x p y y +=()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D 2y x =24x y -=11
,24æöç÷è
ø
()1,139
,24
æö
ç÷è
ø
()2,4
【解析】：法一：设P ，则，当时最小，选B 。

法二：设切点为，则切线方程为：，，即切点为，
由点到直线的距离可求得，选B 。

法三：设P ，过P 的切线与直线平行，切点为所求的点，，，选B 。

1.(高考题)抛物线上的点到直线距离的最小值是 ( ) A. B. C. D.3 【解析】:法一：设抛物线上的点，到直线的距离为，
，当时，最小值为。

法二：同上题，利用切线。

法三：同上题，利用导数。

【题型二】：过曲线外一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆外一点作椭圆的两条
切线，则两切点连线方程为：。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为、，则切
线PA ：
；同理，切线PB ：；点P 在两切线上，则有：①，②，构造直线：，则由①②可知点A 、B 均在直线上，即直线AB 的方程为。

熟记：②过外一点作抛物线的两条切线，则两切点连线方程为：。

()
200,x x 5
4
22
00--=x x d 10=x (
)
2
0,x x x x x y 02
2
=+220==\x k ()11，()
200,x x 220'===x y k 10=x 2y x =-4380x y +-=4
37585
()2
,x x -22438
348
5
5
x x x x ---+=
2
3x =43
12222=+b
y a x ()00,y x P 12020=+b
y
y a x x ()11,y x A ()22,y x B 12121=+b y y a x x 1222
2=+b
y
y a x x 1201201=+b y y a x x 1202202=+b y y a x x l 1202
0=+b
y
y a x x l 12020=+b
y
y a x x px y 22=()00,y x P )(00x x p y y +=
证明：同上。

【题型三】：阿基米德三角形。

『秒杀策略』：阿基米德三角形：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线围成的叫做阿基米德三角形。

抛物线中阿基米德三角形的性质：熟记：①当过焦点时，则在准线上；
；。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）
方法一：设抛物线方程为：，方程为：，直线与曲线方程联
立：，得：，设，，由前面步骤可知，同理，两直线求交点可得，，即点在准线上，，。

，。

方法二：设两条切线、的交点，则由前面步骤可知，
焦点在直线上，代入得，点在准线上。

※当抛物线方程为时可利用导数求切线。

AB PAB D AB P PB PA ^AB PF ^px y 22=AB 2
p
my x +=ïî
ïíì+==222p my x px y 0222=--p pmy y ÷÷øöççèæ121,2y p y A ÷÷ø
öççèæ22
2,2y p y B ÷÷ø
ö
çç
èæ+=p y x p y y PA 2211：÷÷ø
ö
ççèæ+=p y x p y y PB 22
22：2221p p y y x -==()pm y y y y p y =+=+-=211122122P m k PF -=\AB PF ^12
1-=´=
×y p
y p k k PB PA PB PA ^\PA PB ()00,y x P ：AB ()00x x p y y +=÷øöçèæ0,2
p
F 2
0p x -=\P py x 22±=
1.(2020年模拟题精选)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且。

（1）求抛物线的方程；
（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点
，证明：．
【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又点的纵坐标为8，且
，于是，∴，故抛物线的方程为。

（2）设点，，，∵，∴，切线方程为，即
，令，可解得
，∴
，又，∴
，
∴。

∴。

熟记：②当点在准线上时，过焦点，底边的中线平行于对称轴，且的最小值为。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）
设抛物线方程为：，设，由前面步骤可知：，
即过焦点。

的中点为，而由上面步骤可知：，即底边的
中线平行于对称轴。

==，当
()2:20E x py p =>F P E P 9=PF E M E M n E N FM FN
^2
p y =-P 9PF =892
p
+
=2p =E 24x y =(),1M m -()00,N x y 00x ¹214
y x =1'2
y x =()00012
y y x x x -=-2
0011
24
y x x x =-1y =-200
4
2x m x -=
2004,12x M x æö--ç÷ç÷
èø
()0,1F 200422x FM x æö
-=-ç÷ç÷
èø
!!!!"，()
00,1FN x y =-!!!"
222000000442220
222
x x x FM FN x y x --×=×-+=-+=!!!"!!!!"FM FN
^P AB AB PAB S 2p px y 22=÷ø
öçèæ-0,2
y p P AB ÷ø
öçè
æ
-=20p x p y y AB ÷øöçèæ++2,2
2121y y x x P y pm y y ==+221AB PAB
S p x x m p p AB PF ++´+=212222
121()()23
2221212121m p p y y m m p +=+++
时，其面积最小为。

1.(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为 ( ) A. B. C. D.
【解析】：知抛物线为：，设，则切线方程为：，代
入点A ，得，选D 。

秒杀公式：阿基米德三角形：由，选D 。

【题型四】：蒙日圆。

『秒杀策略』：蒙日圆：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的
切线，则点的轨迹为圆，方程为:。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现） Step1：设过的直线为， Step2：直线与椭圆联立，
Step3：由韦达定理，（利用相切），得到关于的一元二次方程， Step4：由韦达定理，，得的关系，即轨迹方程。

1.(高考题)已知椭圆的一个焦点为
，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点
的轨迹方程。

0=m 2p (2,3)A -C 22y px =A C B C F BF 1
2233443
x y 82
=÷÷ø
öççèæ020,8y y A )8(4200y x yy +=80=y BF AF ^12222=+b
y a x ()00,y x P P 222020b a y x +=+()00,y x P )(00x x k y y -=-0=D k 121-=×k k 00,y x 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>(
)
05，3
5
C 00(,)P x y P C P
【解析】：（1）；
（2）step1：设直线方程为：，
Step2：与椭圆联立得：， Step3：由得：，
Step4：当时，，得，当时亦满足。

22
194
x y +=)(00x x k y y -=-036)(9)(18)49(2000022=-+-++-++y kx x y kx k x k 0=D ()
0429*******=-+--y k y x k x 92
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