江苏省靖江高级中学2025届高考数学五模试卷含解析

江苏省靖江高级中学2025届高考数学五模试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的
取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+
D ．(],112ln 2-∞-+
2
．已知集合{lgsin A x y x ==+，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）
A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．11,2⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
D
．2⎫
⎪⎪⎝⎭
3．若实数,x y 满足不等式组1
21210x y x y x y +≥-⎧⎪
-≤-⎨⎪--≤⎩
，则234x y -+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3
D ．2
4．已知双曲线2222:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22
:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的
面积为Γ的离心率为（ ）
A ．2
B
C ．
73
D
．
3
5．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．斜率为1的直线l 与椭圆2
2x y 14
+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )
A ．2
B ．
45
5
C ．
410
5
D ．
810
5
7．过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中
点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线EF
B ．直线GH
C ．直线EH
D ．直线1A B
9．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布(
)2
80,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）
附：若()2
~,X N μσ，则()0.6826P X
μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.
A ．0.6826
B ．0.8413
C ．0.8185
D ．0.9544
10．已知随机变量X 的分布列是
X
1
2 3
P
1
2
13
a
则()2E X a +=（ ） A ．
53
B ．
73
C ．
72
D ．
236
11．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数2
1y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )
A ．
65
B 5
C ．
5
5
D ．6
12．要得到函数1cos 2y x =
的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的（ ）
A ．横坐标缩短到原来的
12
（纵坐标不变），再向左平移3π
个单位长度
B ．横坐标缩短到原来的12
（纵坐标不变），再向右平移6π
个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6
π
个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3
π
个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．给出以下式子：
①tan25°+tan35°3+tan25°tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③
115115tan tan +︒
-︒
其中，结果为3的式子的序号是_____. 14．若实数
满足不等式组
则目标函数
的最大值为__________．
15．若复数Z 满足1
(12)(2)2
i Z i -=-
+，其中i 为虚数单位，则Z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 16．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，6
5
OC =，残缺部分位于过点C 的竖直
线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆22:12
x C y +=的左、右焦点分别为12,,F F 直线l 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线2
4y x =交于
不同的两点,P Q ，且125,F P F Q ⋅=-过2F 的直线
m 与椭圆C 交于,A B 两点，设22,F A F B λ=且[]2,1λ∈-- . （1）求点T 的坐标； （2）求TA TB +的取值范围.
18．（12分）对于给定的正整数k ，若各项均不为0的数列{}n a 满足：()21
11
1k
n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅=对
任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()Q k 数列”. （1）证明：等比数列{}n a 是“(3)Q 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，证明：数列{}n a 是等比数列.
19．（12分）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22
249
x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.
20．（12分）已知函数2
()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）
（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()
211221
m x x f x f x x x -->恒成立，求出实数m 的
取值范围.
21．（12分）设抛物线2
: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，
已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.
22．（10分）已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且8
3
BC =
.
（1）求抛物线G 的方程；
（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足
()2
112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得20201m S m ≤<+，
求m 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
先求导得221
()ax x f x x
-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有
两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=---<< ⎪⎝
⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】
由题可得：221
()ax x f x x
-+='（0x >），
因为函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，
于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦
因为()()()12122f x f x x x +-+()2
2
11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+
()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦5
1ln(2)4a a
=---.
设51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭， 2
54()04a h a a -'=
>，故()h a 在10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
， 所以112ln 2t <-+，
所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 2、A 【解析】
先求出集合(]
0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2
221g t t t =-++由二次函数的性
质即可得值域. 【详解】
由2
sin 0
0390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩
，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，
(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以
()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选A 【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 3、C 【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】
作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线
l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 4、D 【解析】
由圆22
:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又12
2223AF F AOF S S
ab ∆===，由
此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【详解】
由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==
3a ∴=2221
13
b e a ∴=+=
. 故选：D. 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 5、C 【解析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 6、C 【解析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB |的表达式，利用t 的范围求得|AB |的最大值． 【详解】
解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入24
x +
y 2
＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．
弦长|AB |＝≤
．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口． 7、C 【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为b
y x a
=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠
由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒
∴
tan 60b
a
=︒=223b a =.
∴双曲线的离心率为22c a e a a
==== 故选C.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 8、C 【解析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误. 【详解】
在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.
因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.
因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 9、C 【解析】
根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】
由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=， 所以()()1
85900.95440.68260.13592
P X <=
⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185.
故选：C 【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 10、C 【解析】
利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】
由分布列的性质可得
11123
a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，
因此，()()11517222266362
E X a E X E X ⎛
⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 11、C 【解析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】
已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数2
1y x =+的图象上一点， 可知抛物线2
1y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，
设抛物线2
1y x =+的切点为()
200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，
01x ∴=，所以切点为(1,2)，
则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，
则
min ||PQ ==故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 12、C
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭， 将1sin 223y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π
个单位长度，
故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛
⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②③ 【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解. 【详解】
①∵tan60°＝tan （25°+35°）253512535tan tan tan tan ︒+︒
=
=-︒︒
，
tan25°+tan35°tan35°； )
12535tan tan =-︒︒tan35°，
=
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝2sin60°=
③
115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒
==-︒-︒︒
tan （45°+15°）＝tan60°=
故答案为：①②③
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题. 14、12 【解析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值． 【详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得
目标函数，当
过点
时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
15、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 得答案． 【详解】
()()1112i z 2i 1i 22
-=-+=--，()()()
111i 12i 1i 122z i 12i 12i 12i 2⎛⎫--+--
⎪⎝⎭∴===---+， 则1z i 2=
，z ∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭， 故答案为10,
.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 16、
33
2
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,
2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，（2）若在若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【详解】
（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，
则16cos 5PB θ=
，16
sin 5PC θ=， 从而116166464
cos sin sin 22552525S θθθ=⋅⋅=
≤. 当4
πθ=时，max 6425S =此时85PH =，符合.
（2）若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,
2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，
则2sin PH θ=，2cos OH θ=， 由65OH OC ≤=
知3cos 5
θ≤. ()()()1
22cos 2sin 2sin 1cos 2
S θθθθθ∴=
+⋅=+， ()()()2cos 12cos 1S θθθ'=+-
当π
θ
0,
3
时，()0S θ'>，()S θ单调递增，
当,32ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0S θ'<，()S θ单调递减，
()64
3225S S πθ⎛⎫∴≤=> ⎪⎝⎭
.
当3
π
θ=
，即1
cos 2
θ=
时，()S θ最大.
故答案为：2
. 【点睛】
此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()2,0T ；（2）⎡⎢⎣
⎦. 【解析】
（1）设出,P Q 的坐标，代入125F P F Q ⋅=-，结合
,P Q 在抛物线2
4y x =上，求得,P Q 两点的横坐标，进而求得T 点的坐标.
（2）设出直线m 的方程，联立直线m 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合11F A F B λ=，求得2
TA TB +的表达式，结合二次函数的性质求得TA TB +的取值范围. 【详解】
（1）可知()()121
,0,1,0F F -， 设()()0000,,,P x y Q x y -
则()()002
2
10020051
,1,1F P F Q x y x y x y ⋅=-=+--=--⋅， 又2
4y x =，
所以2
00514x x -=--
解得02,x = 所以()2,0T .
（2）据题意，直线m 的斜率必不为0,
所以设:1,m x ty =+将直线m 方程代入椭圆C 的方程中， 整理得(
)
2
2
2210t y ty ++-=， 设()()1122,,,,A x y B x y 则122
22
t
y y t +=-
+① 1221
2
y y t =-
+② 因为11,F A F B λ= 所以12,y y λ=且0,x <
将①式平方除以②式得
2
12221422
y y t y y t ++=-+ 所以22
1
422
t t λλ++=-+ []2,1,λ∈--又解得22
07
t ≤≤
又()12124,TA TB x x y y +=+-+，()()212122
41422
t x x t y y t ++-=+-=-+
所以()()()2
2
2
1212222288
41622TA TB x x y y t t +=+-++=-
+
++
令21
2n t =
+， 则71,162n ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
所以2
2
2
717169828168
4,4232TA TB n n n ⎛⎫⎡⎤+=-+=--∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 18、（1）证明见详解；（2）证明见详解 【解析】
（1）由{}n a 是等比数列，由等比数列的性质可得：
32112333222222311n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-++⨯-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅即可证明.
（2）{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，可得21224
12n n n n n n a a a a a a ⨯--++⋅===⋅⋅，
3211
23623n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++⨯=⋅⋅=⋅，则233n n n a a a -+⋅=对于任意()4n N n *∈≥都成立，则345,,,
,
a a a 成等比数列，设公比为q ，验证1223,a q a a q a ==得答案. 【详解】
（1）证明：由{}n a 是等比数列，由等比数列的性质可得：
32112333222222311n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-++⨯-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅
∴等比数列{}n a 是“(3)Q 数列”.
（2）证明：{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，
可得2112224
n n n n n n a a a a a a --++⨯⋅⋅=⋅=，（3n ≥） （*）
321123623n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++⨯=⋅⋅=⋅，（4n ≥）
可得：2
33n n n a a a -+⋅=对于任意()4n N
n *
∈≥都成立，
即33,,,,n n n a a a -+ 成等比数列，
即147,,,
,a a a 成等比数列， 258,,,,a a a 成等比数列， 369,,,
,a a a 成等比数列，
设3
3n n a a q -=⋅，（0q ≠）
数列{}n a 是“(2)Q 数列”
3n ∴=时，由（*）可得：
224124533a a a a a a ⨯⋅==⋅⋅
4n ∴=时，由（*）可得：
224235644a a a a a a ⨯⋅==⋅⋅，
可得34a q a ⋅=，同理可证45a q a ⋅=
∴345,,,
,a a a 成等比数列，
∴ 数列{}n a 是等比数列
【点睛】
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题. 19、t ＝1 【解析】
把22249x y z ++变形为22222221991449919619614
x y t t z t t +++++-结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为2222222222199149449919619614
x y x y z t t z t t ++=+++++-
211()714
t x y z t ≥++- 即22249
x y z ++2114t ≥，当且仅当27x t =，914y t =，114z t =时，上述等号成立，
所以
218
147
t =，即216t =，又x ，y ，z ＞0，所以x +y +z =t ＝1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）极小值为2-，极大值为5
ln 24
--.（2）(],1710-∞- 【解析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数a ，再对函数求导，即可求得函数的极值； （2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数()()m
h x f x x
=-，根据()h x 是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果. 【详解】
（1）函数2
()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞，
1
()23f x ax x
'=
+-，(1)1230f a '=+-=，1a =，
可知2
()ln 3f x x x x =+-，21231
()230x x f x x x x
-+'=+-==，
解得11x =，21
2
x =
， 可知在10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-， 极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=--
⎪
⎝⎭
. （2）()()()
211221m x x f x f x x x -->
可以变形为()()1212
m m f x f x x x ->-，
可得()()1212
m m
f x f x x x -
>-， 可知函数()m
f x x -
在[]1,10上单调递减 2()()ln 3m m
h x f x x x x x x =-=+--，
21()230m
h x x x x
'=+-+≤，
可得3223m x x x ≤-+-， 设3
2
()23F x x x x =-+-，
2
2
11()6616022F x x x x ⎛
⎫'=-+-=--+< ⎪⎝
⎭，
可知函数()F x 在[]1,10单调递减，
32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，
可知1710m ≤-，
可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-. 【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第
二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
21、（1）2p =，圆的方程为：22
(1)4x y -+=.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=
，化简解得2y k
=，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥. 【详解】
解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，
所以(1)2
p
p =--，解得2p =.
又圆的圆心为()1,0F ，
所以圆的方程为22
(1)4x y -+=.
（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，
代入C 的方程，得()2
0440ky y y h -++=.
令()016160k y k =-+=△，得01y k k
+=
， 所以()222
044
440k y ky ky y y A k -+-++=
=，解得2y k
=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭.
所以()02,FM y =-，21
21,FN k
k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
02222212
220FM FN y k k k k k k
⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭.
故MF FN ⊥.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力. 22、（1）2
4y x =（2）2019m = 【解析】
(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点,A B 的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程； (2) 设直线的方程，运用韦达定理可得214k k +=，可得1,n n a a +之间的关系，再运用1111
1
n n n a a a +=-+进行裂项，可求得2020S ，解不等式求得m 的值. 【详解】
解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为()2
p y k x =-
， 与抛物线方程联立得：22
2
2
2
(2)04k p k x k p p x -++=，
设2
112221(,),(,),4
p A x y B x y y y =，
所以22233(
,),(,),3263
P P A kP B P k P p =， 2
2
22383,333P k BC P ⎛⎫⎛⎫∴=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 2P =∴，
所以抛物线方程为2
4y x =
（2）设直线方程为()2
(1)
1,4x m y x m y y x =-⎧=-∴⎨=⎩
， 21212440,4,4y my m y y m y y m ∴-+==+=，
122112
4y y k k x x +=+=， 221116(42)4,(1)n n n n n n n a a a a a a a ++∴-++=-+=+，
11111(1)1
n n n n n a a a a a +∴==-++， 111()11
n n n n a a a a ∴=--++， 2020122320202021202111111112020(
...)20201S a a a a a a a =-+-++-=-+ 由111,(1)1n n n a a a a +==+>得2019m =.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.。