2019-2020学年新人教A版必修二 空间几何体的表面积与体积 学案

考点一几何体的表面积
1.(2018课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
答案C
2.(2018课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1
B.2
C.4
D.8
答案B
3.(2018北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
A.2+
B.4+
C.2+2
D.5
答案C
4.(2018浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.
答案72;32
教师用书专用(5—8)
5.(2018课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()
C.144π
D.256π
答案C
6.(2018重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.54
B.60
C.66
D.72
答案B
7.(2018浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
答案D
8.(2018大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()
A. B.16π
C.9π
D.
答案A
考点二几何体的体积
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
答案B
2.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
C. D.
答案B
3.(2018浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()
A.+1
B.+3
C.+1
D.+3
答案A
4.(2018课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
答案B
5.(2018江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.
答案
6.(2018山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为.
答案2+
教师用书专用(7—21)
7.(2018山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()
A.+π
B.+π
C.+π
D.1+π
答案C
8.(2018北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A. B. C. D.1
答案A
9.(2018山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()
A. B. C. D.2π
答案C
10.(2018浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()
A.8cm3
B.12cm3
C.cm3
D.cm3
答案C
11.(2018湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=()
A. B.
C. D.
答案A
12.(2018陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
答案D
13.(2018湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V 的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()
A. B. C. D.
答案B
14.(2018天津,4,5分)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切,
其中真命题的序号是()
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
答案C
15.(2018湖北,8,5分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()
A.V1<V2<V4<V3
B.V1<V3<V2<V4
C.V2<V1<V3<V4
D.V2<V3<V1<V4
答案C
16.(2018天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
答案π
17.(2018天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.
答案2
18.(2018四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积
是.
答案
19.(2018江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.
答案
20.(2018江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱
A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.
答案
21.(2018江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
解析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6,
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,
所以+h2=36,
即a2=2(36-h2).
于是仓库的容积
V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,
从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).
令V'=0,得h=2或h=-2(舍).
当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;
当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.
故h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.
三年模拟
A组2018—2018年模拟·基础题组
考点一几何体的表面积
1.(2018云南玉溪模拟,5)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为()
A.6+2
B.6+
C.6+4
D.10
答案A
2.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为()
A.24+52π,34+52π
B.24+52π,36+54π
C.24+54π,36+54π
D.24+54π,34+52π
答案C
3.(2018河北沧州月考,11)已知四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为正方形,△PAD为等腰直角三角形,PA=PD=,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()
A.10π
B.4π
C.16π
D.8π
答案D
4.(2018河南洛阳期中,9)在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()
A.11π
B.
C.
D.
答案D
5.(2018安徽江南十校3月联考,11)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为()
A.4π+16+4
B.5π+16+4
C.4π+16+2
D.5π+16+2
答案D
考点二几何体的体积
6.(2018云南玉溪模拟,6)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为1,则该几何体的体积为()
A. B.
C. D.1
答案A
7.(2018广东茂名模拟,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
A.7
B.
C. D.
答案D
8.(人教A必2,一,1-3B,1,变式)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()
A.cm3
B.cm3
C.cm3
D.7cm3
答案A
9.(2018安徽皖北协作区3月联考,10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的体积为()
A.24π
B.29π
C.48π
D.58π
答案B
B组2018—2018年模拟·提升题组
(满分:35分时间:25分钟)
选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018四川泸州模拟,7)已知一个几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()
A.2+
B.+π
C.2+
D.+π
答案D
2.(2018四川达州模拟,8)四棱锥P-ABCD的所有顶点都在半径为的球上,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,当△PAB的面积最大时,四棱锥P-ABCD的体积为()
A.8
B.
C.
D.4
答案D
3.(2018四川绵阳诊断,7)如图,虚线网格小正方形的边长为1,网格中是某几何体的三视图,这个几何体的体积是()
A.27-π
B.12-3π
C.32-(-1)π
D.12-π
答案D
4.(2018湖南郴州质检,8)已知一个正方体截去两个三棱锥后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.8
B.7
C.
D.
答案B
5.(2018河北沧州月考,6)已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()
A. B. C. D.
答案D
6.(2018河南新乡二模,8)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
答案C
7.(2018广东汕头模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积为()
A.4π
B.12π
C.24π
D.48π
答案B
C组2018—2018年模拟·方法题组
方法1几何体表面积的求解方法
1.(2018广东广州一调,7)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.π
B.6π
C.11π
D.12π
答案C
2.(2018安徽安庆模拟,6)用长度分别为2、3、5、6、9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()
A.258cm2
B.414cm2
C.416cm2
D.418cm2
答案C
3.(2018河北衡水中学三调,10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为()
A.+
B.3+或+
C.2+
D.+或2+
答案B
4.(2018江西新余模拟,10)已知A、B、C是球O的球面上三点,AB=2,AC=2,∠ABC=60°,且三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()
A.10π
B.24π
C.36π
D.48π
答案D
方法2几何体体积的求解方法
5.(2018四川德阳模拟,8)已知一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.3π+6
B.6π+6
C.3π+12
D.12
答案A
6.(2018河南、河北、山西百校联考,9)已知某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为
()
A. B.40 C. D.
答案D
方法3与球有关的表面积、体积的求解方法
7.(2018云南民族大学附中月考,8)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(单位:cm),则该阳马的外接球的体积为()
A.100πcm3
B.πcm3
C.400πcm3
D.πcm3
答案B
8.(2018四川泸州模拟,6)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表面积为()
A.4π
B.36π
C.48π
D.24π
答案B
9.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()
A.32π
B.48π
C.24π
D.16π
答案A
10.(2018湖北七市3月联考,10)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为()
A.36π
B.π
C.32π
D.28π
答案B
11.(2018河南中原名校3月联考,11)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,四棱锥S-ABCD是高为1的正四棱锥,若
点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为()
答案D。