苏教版江苏省南京市高一(下)期末数学试卷押题卷解析版

2018-2019学年苏教版江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上
1．直线y=x﹣2的倾斜角大小为．
2．若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．
3．直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．
4．在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．
5．不等式的解集是．
6．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．
7．若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．
8．如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．
9．若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．
10．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．
11．设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．
13．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．
14．若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．
二、解答题:本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．
（1）求过点A且平行于l的直线的方程；
（2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．
16．（1）已知cosα=，α为锐角，求tan2α的值；
（2）已知sin（θ+）=，θ为钝角，求cosθ的值．
17．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD1的中点，Q为BC的中点
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求证：DQ⊥平面B1BCC1．
18．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2．（不计木料的粗细与接头处损耗）
（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？
19．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于，D为边长BC
上一点．
（1）求BC的长；
（2）当AD=时，求cos∠CAD的值．
20．记等比数列{a n}前n项和为S n，已知a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b1=3，b n+1﹣3b n=3a n，求数列{b n}的前n项和B n；
（3）删除数列{a n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为{c n}，{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，都有＞a，试求实数a的最大值．
南京市高一（下）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上
1．直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】由于直线的斜率等于，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，由此求得α的值
【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，
设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，
∴α=60°，
故答案为60°．
2．若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32 ．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，
则a6=1×25=32．
故答案为：32．
3．直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为 1 ．
【考点】IE：直线的截距式方程．
【分析】直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式： =1，即可得出．
【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式： =1，
∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．
故答案为：1．
4．在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得sinB，结合b＜a，B为锐角，即可得解B的值．
【解答】解：∵a=，b=，A=120°，
∴由正弦定理，可得：sinB===，
∵b＜a，B为锐角，
∴B=45°．
故答案为：45°．
5．不等式的解集是{x|﹣2＜x＜1} ．
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
【解答】解：方程化为（x﹣1）（x+2）＜0，
即或，解得：﹣2＜x＜1，
则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
6．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】把给出的函数提取，由两角差的正弦公式化积，则函数的最大值可求．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx
=
=
=．
∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．
故答案为：
7．若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为 4 ．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），
∴x+2＞0
∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，
故该函数的最小值为4，
故答案为：4
8．如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】利用已知中，正四棱锥底面正方形的边长为2，斜高为，求出正四棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式，即可求得答案．
【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，
则有PO=，
正四棱锥的体积为V==2，
故答案为：．
9．若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数关系式以及和与差构造即可求解．
【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．
∵θ∈（，），
∴θ+∈（，π）
∴cos（θ+）=﹣．
那么：cosθ=cos=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．
故答案为：．
10．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，a与b相交、平行或异面；在②中，α与β相交或平行；在③中，由线面垂直的性质定理得a∥b；在④中，由面面平行的判定定理得α∥β．
【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；
在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；
在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．
故答案为：③④．
11．设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为
﹣2 ．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】S3，S2，S4成等差数列，可得2S2=S3+S4，化为2a3+a4=0，即可得出．
【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，
可得q=﹣2．
故答案为：﹣2．
12．已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】对a分类讨论，利用不等式的解法、集合之间的基本关系即可得出．
【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，
①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．
②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．
综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
13．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．
【考点】8K：数列与不等式的综合．
【分析】a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n
﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1可得a n. +19≤3n，化为：λ≤=f（n）.
﹣1
+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．通过作差即可得出最小值．
【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．
∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．
+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．
由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．
f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，
解得n≤．
∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），
可得f（n）min=f（5）=﹣8．
则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．
故答案为：（﹣∞，﹣8]．
14．若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，可得x+y==
=，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，
则x+y===
≥=．
当且仅当y=，x=时取等号．
故答案为：．
二、解答题:本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．
（1）求过点A且平行于l的直线的方程；
（2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．
【考点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）法一：求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；法二：根据直线的平行关系设所求直线方程是：x﹣2y+c=0，将A（2，4）代入直线方程求出c的值即可；
（2）根据直线的垂直关系求出所求直线的斜率，代入点斜式方程即可求出直线方程，联立方程组，求出交点坐标即可．
【解答】解：（1）法一：直线l：x﹣2y+1=0的斜率是，
故所求直线的斜率是，
故所求直线方程是：y﹣4=（x﹣2），
即x﹣2y+6=0；
法二：由题意设所求直线方程是：x﹣2y+c=0，
将A（2，4）代入方程得：2﹣2×4+=0，解得：c=6，
故所求方程是“x﹣2y+6=0；
（2）∵直线l：x﹣2y+1=0的斜率是，
故所求直线的斜率是﹣2，
∴直线AM的方程是：y﹣4=﹣2（x﹣2），
即：2x+y﹣8=0，
联立，解得M（3，2）．
16．（1）已知cosα=，α为锐角，求tan2α的值；
（2）已知sin（θ+）=，θ为钝角，求cosθ的值．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式即可求tan2α的值．
（2）由已知可求范围θ+∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（θ+）的值，利用θ=（θ+）﹣，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵cosα=，α为锐角，
∴sinα==，从而可求tan=…1分
∴tan2α===﹣…6分
（2）∵sin（θ+）=，θ为钝角，
∴θ+∈（，），
∴cos（θ+）=﹣=﹣，…9分
∴cosθ=cos[（θ+）﹣]
=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin
=﹣×+
=﹣…14分
17．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD1的中点，Q为BC的中点
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求证：DQ⊥平面B1BCC1．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）过P作PM∥AD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，证明四边形PMCQ是平行四边形，可得PQ∥MC，即可证明PQ∥平面D1DCC1；
（2）证明B1B⊥DQ，DQ⊥BC，利用线面垂直的判定定理证明：DQ⊥平面B1BCC1．【解答】证明：（1）过P作PM∥AD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，
∴PM∥AD，PM=AD，
∵AD∥BC，Q为BC的中点，
∴PM∥QC，PM=QC，
∴四边形PMCQ是平行四边形，
∴PQ∥MC，
∵PQ⊄平面DCC1D1，MC⊂平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1．
（2）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，DQ⊂平面ABCD，
∴B1B⊥DQ，
在菱形ABCD中，DC=BC，∠BCD=60°，∴△BCD为正三角形，故DB=DC，
∵Q为BC的中点，
∴DQ⊥BC，
∵B1B∩BC=B，
∴DQ⊥平面B1BCC1．
18．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2．（不计木料的粗细与接头处损耗）
（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x﹣16）cm，宽为（y﹣8）cm，利用x，y表示面积，列出面积表达式，变形，利用基本不等式求其最小值；
（2）利用（1）得到木条的长度表达式，变形，结合基本不等式求最小值．
【解答】解：（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x﹣16）cm，宽为（y ﹣8）cm，由题意x＞16，y＞8，因为内框的面积为3200cm2，所以（x﹣16）（y﹣8）=3200，
所以，外框面积为S=xy=8x+=3328+8（x﹣16）+，因为x ＞16，所以x﹣16＞0，所以S≥3328+2=3328+1280=4608，当且仅当8（x﹣16）=即x=96时等号成立，
所以外框的长与宽分别是96cm，48cm时，才能使外框矩形面积最小；
（2）由（1）可知，所用木条的总长度为4（x+y）=4（x+8+）=4（x﹣16++24）≥4（2+24）=96+320，当且仅当x﹣16=即x=16+40，y=8+40时等
号成立；
所以外框的长与宽分别是（16+40）cm，（8+40）cm时，才能使制作整个展示框所用木条最少
19．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于，D为边长BC
上一点．
（1）求BC的长；
（2）当AD=时，求cos∠CAD的值．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由条件利用余弦定理、三角形的面积公式先求得AB的值，可得BC的值．（2）利用正弦定理求得sin∠ADC 的值，可得cos∠ADC 的值，再利用两角和的余弦公式，求得cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于•AC•AB•sin ∠BAC=•3•AB•=，
∴AB=5，再由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=25+9﹣2×5×3×（﹣）
=49，
∴BC=7．
（2）由题意可得cosC==，sinC=．
D为边长BC上一点，当AD=时，△ACD中，利用正弦定理可得=，即=，
求得sin∠ADC=，∴cos∠ADC=±=±．
当cos∠ADC=，cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）=﹣cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC
=﹣•+•=．
当cos∠ADC=﹣，cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）=﹣cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC =﹣•（﹣）+•=．
20．记等比数列{a n}前n项和为S n，已知a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b1=3，b n+1﹣3b n=3a n，求数列{b n}的前n项和B n；
（3）删除数列{a n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为{c n}，{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，都有＞a，试求实数a的最大值．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由a 1+a 3=30，3S 1，2S 2，S 3成等差数列，可得
=30，3S 1+S 3=2×2S 2，化简解出利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b n+1﹣3b n =3a n =3n+1，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得b n ，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得B n ．
（3）由题意可得：c 2n ﹣1=a 3n ﹣2=33n ﹣2，c 2n =a 3n ﹣1=33n ﹣1，可得c 2n ﹣1+c 2n =33n ﹣2+33n ﹣1=×27n ．对n 分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 3=30，3S 1，2S 2，S 3成等差数列， ∴=30，3S 1+S 3=2×2S 2，化为：3a 2=a 3，解得q=3，a 1=3．∴a n =3n ．
（2）∵b n+1﹣3b n =3a n =3n+1，∴﹣=1．
∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．
∴=1+（n ﹣1）=n ，∴b n =n •3n ．
∴数列{b n }的前n 项和B n =3+2×32+…+n •3n ，
3B n =32+2×33+…+（n ﹣1）•3n +n •3n+1，
∴﹣2B n =3+32+…+3n ﹣n •3n+1=
﹣n •3n+1=•3n+1﹣， ∴B n =×3n+1+．
（3）由题意可得：c 2n ﹣1=a 3n ﹣2=33n ﹣2，c 2n =a 3n ﹣1=33n ﹣1，
∴n=2k （k ∈N *）时，c 2n ﹣1+c 2n =33n ﹣2+33n ﹣1=×27n ．
T n =T 2k =×=．
n=2k ﹣1时，T n =T 2k ﹣1=T 2k ﹣33n ﹣1=﹣33n ﹣1=．
因此：n=2k （k ∈N *）时， ==+∈．
n=2k﹣1（k∈N*）时，==∈．综上可得：＞．∴a的最大值为．。