【数学】2020届高考模拟黄金卷(全国卷)(一)(理)(解析版)

2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（理）
1、已知集合{}
{
2*
|40,21,A x x x B y y x x =-<==-∈N ，则如图所示的Venn 图中，阴影部
分表示的集合中元素的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2、复数12i z =+，若复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5 B ．-5 C ．34i -+ D ．34i -
3、已知函数()21
,01log ,0
x f x x x x ⎧≤⎪
=-⎨⎪>⎩则
12f f ⎛
⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
=( ) A. 2- B. 1- C. 12-
D. 13
-
4、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）
A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半
B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当
C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍
D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍
5、曲线22220x y x y +--=所围成的区域任掷一点,则该点恰好落在区域221x y +≤内大概率为(
)
A.
π
2π+4
B.
π
π8
+ C.
π
2π8
+ D.
π
4π8
+ 6、已知函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的图像关于直线π
6x =对称，若存在
12,R x x ∈使12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,且12x x -最小值为
π
2
,则ϕ=( ) A.
π12
B.
π6
C.
π4
D.
π3
7、由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
8、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和
中应分别填入( )
A.6k T ≤=?;
B.7k T ≤=?;
C.6k T ≤=?;
D.6k T ≥=
?;9、在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 棱1BB 的中点，N 棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 成角的正切值为( )
A B ．1
C D
10、已知函数()()x
f x ax e a =-∈R 有两个零点，分别为12,x x ，且123x x <，则a 的取值范围
为( )
A.⎛-∞ ⎝⎭
B.⎛ ⎝⎭
C.⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
D.⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
11、若双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率
为( )
A.
B.
C.
D.2
12、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
若sin sin B C A =,ABC △
的面积为
,a b +=则c =( )
3
13、已知单位向量12,e e 的夹角为60,向量1232a e e =-,向量12b e e λ=+,若a b ⊥,则实数λ=___________.
14、若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2244z x x y =-++的取值范围是 .
15、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则
AF BF
的值等于__________.
16、函数2
1()2cos
(610)22
x x
f x x -π⎛⎫
=+-≤≤ ⎪
⎝⎭
的所有零点之和为_________. 17、在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD Q ，为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，1
12
BC AD ==，
CD
(1)求证:平面MQB ⊥平面PAD .
(2)若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值. (3)若二面角M BQ C --大小为60°，求QM 的长.
19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的鞘园2222:1x a C y b +=经过点2c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，
且28a =经过点()10T ,
作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点M 、N ，求
2
AT BT MN
⋅的值；
（3）记直线l 与y 轴的交点为P ，若2
5
AP TB =，求直线l 的斜率k 的值.
20、已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()e,e f 处的切线方程为4e y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；
(2)设t 为正整数，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.
21、某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是 21件易耗品？
22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕ
ϕ=⎧⎨=-⎩
（为参数），在以o
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）若点p 为1C 上任意一点，求点p 到2C 的距离的取值范围.
23、已知函数()f x x =
(1)若不等式()24f ax +≤的解集为31-［,］，求实数a 的值.
(2)若02m ∈［,］，求证:((2f x f x -≤.
参考答案
1答案及解析： 答案：B
解析：由240x x -<,得04x <<,所以{}04A x x =<<.由*21,y x x =-∈N ，得集合{}1,3,5,
B =.根据题图可知阴影部分表示的集合为A B ,且{}1,3A B =，所以阴影部分表
示的集合中共有2个元素，故选B.
2答案及解析： 答案：B
解析：由题意可知，22i z =-+，所以()()122+i -2+i 415z z ==--=-. 3答案及解析： 答案：C
解析：由题意可知()211111log 1,1222112f f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫==-=-=
=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 4答案及解析： 答案：C
解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ， 对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为
0404t t ⨯.＝.，故A 错误，
对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为
0202t t ⨯.＝.，故B 错误，
对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是
0101t t ⨯.＝.，故C 正确，
对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是
015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．
5答案及解析： 答案：D
解析：曲线22220x y x y +--=可化为22(1)(1)2x y -+-=,作出如图所示,该图形可看成
由一个边长为,其所围成的区域面积是
21
4π84π2
⨯⨯⨯=+,又221x y +≤所表示的平面区域的面积为π,所以该点
恰好落在区域221x y +≤内的概率为π
84π
+,故选D 6答案及解析： 答案：B
解析：由12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,12min π
2
x x -=,可得函数()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
π2,则()f x 的最小正周期2ππ,2T ωω===,又该函数关于直线π6
x =对称,所以ππ()2sin()263f ϕ=+=±,则ππππ,,π+,326k k Z k k Z ϕϕ+=+∈=∈,又π(0,)2ϕ∈,所以π
6
ϕ= 7答案及解析： 答案：D
解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： ①.由0，1，2三个数组成三位数，共有1
2
224C A ⋅=个没有重复的三位数； ②.由0，2，4三个数组成三位数，共有1
2224C A ⋅=个没有重复的三位数； ③.由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；
④.由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数. 8答案及解析： 答案：C
解析：根据题意，运行该程序，则T ，1k =；T =，2k =；T
3k =；T =4k =；T =，5k =；
T =，6k =；T =7k =，结
束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C. 9答案及解析： 答案：C
解析：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(
)
))
()10,0,2,,,0,1,0A M
B
N ，(
)()
13,1,1,3,0,0A M BN =
-=-，
设异面直线1A M 与BN 所成角为
，则11cos 5A M BN
A M BN
θ⋅=
=
=
⋅ ，
∴tan θ．∴异面直线1A M 与BN C. 10答案及解析： 答案：D
解析：令()0f x =，即0x ax e -=. 当0a =时，0x e =无解，所以0a ≠.所以有1x
x
a e =. 令()()x x x g x f x ax e e =⋅=-有两个零点，等价于1y a =的图像与()x
x g x e =的图像有两个不同的交点. ()1x x
g x e
-'=
，当)1(x ∈-∞,时，()0g x '>；当1()x ∈+∞,时，()0g x '<. 所以()g x 在()1-∞,
上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 因此，如图，1201x x <<<.
令213x x =，有111133x x
x x e e =，得1ln32x =，则(
)ln 213ln3
2x g e ==
. 所以10
a <
，即a a
的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭
.故选D. θ
11答案及解析： 答案：C
解析：∵双曲线方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>
∴该双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，
又∵一条渐近线经过点()1,2,∴21b
a
=
⨯，得2b a =，
由此可得c ==,
双曲线的离心率e c
a
==12答案及解析： 答案：D
解析：因为sin sin ,sin 0B C A B ≠,
所以sin C ==
又ABC △
,
所以21sin 2ab C ==
得a
又a b +=
所以b C ==
,所以1
cos 2
C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-
得c =3c =,故选D
13答案及解析： 答案：
1
4
解析：因为a b ⊥,所以a b ⋅,所以1212(32)()0e e e e λ-⋅+=,即2
2
11223(32)20e e e e λλ+-⋅-=,即13(32)202λλ+-⨯-=,即1
4
λ=
14答案及解析： 答案：[]1,9
解析：画出不等式组 210
501x y x y y --≥⎧⎪
+-=⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域，如图中阴影部分
.
由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由50
1x y y +-=⎧⎨=⎩
，得1(4)C ,
. 将2244z x x y =-++化成()2
22z x y =-+.
设点0(2)D ,
，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()2
2min 2239z =-+=，
经过点1(2)E ,
时，z 取得最小值，()2
2min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］
15答案及解析： 答案：3
解析：设1122(,),(,)A x y B x y ,易知12x x > 由直线l 的倾斜角为60°,且过点,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
得直线l
的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭
即y p -,
联立22y p y px
⎧=-
⎪⎨⎪=⎩
消去y 并整理,得22122030x px p -+= 则1231,26
x p x p =
= 则31
||22311||62
p p
AF BF p p
+=
=+ 16答案及解析：
答案：16
解析：如图构造函数2
1(),()2cos
22
x x g x h x -π⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
, ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象都关于直线2x =对称, ∴函数2
1()2cos
(610)22
x x
f x x -π⎛⎫
=+-≤≤ ⎪
⎝⎭
的图象关于直线2x =对称. ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象的交点共有8个, ∴函数()f x 的所有零点之和等于4416⨯=.
17答案及解析：
答案：(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，36a =，且前7项和756T =. 可得1126,72156a d a d +=+=，解得12,2,a d ==则2n a n = (2) 323n n n n b a n =⋅=⋅
前n 项和()
3321323333n
n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
()
341321323333n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
相减可得()
()
231
1
3132233333
2313n n n n n S n n ++⎛⎫
- ⎪-=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭
化简可得1213
322
n n n S +-=⋅+ 解析：
18答案及解析：
答案：(1)因为//AD BC ，1
2
BC AD Q =
，为AD 中点，所以//QD BC ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//CD BQ . 又因为CD AD ⊥，所以BQ AD ⊥.
又因为PQ AD ⊥且平面PAD ⊥底面ABCD ，
所以PQ ⊥底面ABCD ，所以PQ BQ ⊥，所以BQ ⊥平面ADP . 又因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .
(2)以Q 为原点，QAQB QP ，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立坐标系
设(PM PC λλ=⋅=-，01λ≤≤
，所以()M λ-.
因为BM PC ⊥，所以760BM PC λ⋅=-=，所以6
7λ=
，所以6,7BM ⎛- =⎝⎭
. 设AP 与BM 所成角为θ，所以cos 84
AP BM AP BM
θ⋅==
⋅. (3)平面BQC 的法向量01(0)=,
,n . 设()1QM QP QC λλ=+
-，且01λ≤≤， 则平面MBQ 的法向量为10λλ-⎫=⎪⎭
,m 因为二面角M BQ C --为60°，所以12⋅=⋅n
m n m ，解得1
2λ=，所以QM . 解析： 19答案及解析： 答案：（1）因为椭圆
222:18x y C b +=经过点2,c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以222182b c b +=． 又∵222a b c =+，2228182b b b -+=，解得24b ＝或28b ＝（舍去）．
所以椭圆C 的方程为2
2
184
x y +=． （2）设()()1122
A x y
B x y ,,,．
因为()1,0T ，则直线l 的方程为1y k x ＝（﹣）． 联立直线l 与椭圆方程
()
22
118
4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++（）﹣﹣＝，
所以
2122122
2428,2121
x x x k k k x k -==+++．
因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx ＝， 联立直线MN 与椭圆方程22
184y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +（）＝， 解得
22
821
x k =
+
因为//MN l ，所以
()()()
122
211M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅=-
因为
12122127[111]21
x x x x x k x +=+⋅+（﹣）（﹣）=--（）．
2
2
2
32421
M N x x x k =+（﹣）＝． 所以
()()()
122
2117
32M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅==-．
（3）在1y k x ＝（﹣）中，令0x ＝，则y k ＝﹣，所以0P k （,-）， 从而 ()()
1122,,1,AP x k y TB x y =---=-，
∵
()1222,155AP TB x x =-=-，即122255
x x +=
① 由（2）知2
1222
1224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
②
由①②得
()()
22122242162,321321k k x x k k -+-==
++
代入
42
12222821
83340
x x k k k k -=⇒+﹣﹣＝，解得22k ＝或21750k =-（舍）．
又因为0k ＞
，所以k = 20答案及解析：
答案：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，'()ln f x n x m n =++， ∴'(e)24(e)e e 4e e f m n f m n =+=⎧⎨=+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩
，
∴函数()f x 的解析式为()2ln f x x x x =+. (2)()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+ ∵()1,x ∈+∞，∴2ln 1
1
x x x t x +-<-
令()2ln 1
1
x x x g x x +-=-()1x >，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，
而()()
()2
2ln ',1,1x x
g x x x --=
∈+∞-，
令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1
'10x h x x
-=->，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->
∴存在唯一的()03,4x ∈使得()00h x =，即002ln x x -=
当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，∴()g x 在()01,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，∴()g x 在 ()0,x +∞上单调递增. ∴()()()00000000min 00221
2ln 1111
x x x x x x g x g x x x x +--+-==
==+--,
∴01t x <+,又()03,4x ∈，∴()014,5x +∈， ∵t 为正整数，∴t 的最大值为4. 21答案及解析：
答案：(1)由题中的表格可知
A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301
602
= B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为
301301101,,602602606=== C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为
453151,604604
==
设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====
,11(6),(7)32P x P x ====,131(8),(7),(8)644
P y P z P z ====== 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=
而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 1111111137
26422426448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1111
(23)(7,8,8)26448
P X P x y z ======⨯⨯=
故711(21)48486
P X >=
+= 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16
(2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131
(19)(6,6,7)2348
P X P x y z ======⨯⨯=
(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)
P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)
P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===11111311111317
22426423422448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
由1知,71
(22),(23)4848
P X P X ==
==
若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 111723
(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=
117(2200)(21)48P Y P X ==== 17(2400)(22)48P Y P X ==== 11(2600)(23)48
P Y P X ==== 12317712000220024002600214248484848
EY =⨯
+⨯+⨯+⨯≈
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500
2117175
(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=
27(2300)(22)48P Y P X ==== 21(2500)(23)48
P Y P X ====
2571
210023002500213864848
EY =⨯+⨯+⨯≈
21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.
22答案及解析：
答案：（1）由2cos 2sin 2
x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数，得()2
224x y ++=
则曲线1C 的普通方程为()2
224x y ++=.
由cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
cos sin θθ=，即2x y -=
则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=；
（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2ρϕϕ-到曲线2C 的距离为
2cos 4d πϕ⎛⎫===+ ⎪
⎝
⎭ 故点p 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2. 23答案及解析：
答案：(1)()24f ax +≤即24ax +≤，
所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62
x a a -≤≤，则6
321a a
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；
当0a <时，26
x a a ≤≤-，则2
361
a a
⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.
综上可知，2a =.
(2)(
(f x f x -
x x =
((x x ≤-
=[]02m ∈,，()
2m m ∴+-≥
(
)2
22m m ∴+-≥⎡⎤⎣⎦
，当且仅当2m m =-
时等号成立，
2
4∴
≤
，2≤
，
((2f x f x ∴-≤.。