人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.1.2 函数表示法

即：f (x) 3 x 7
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人
：
邢
启 强
23
典型例题
解 : 设f (x) kx b,则f ( f (x)) f (kx b) k(kx b) b
k(kx b) b 4x 1,
k 2 (k
4 1)b
1
k b
2
1 3
或
k b
2 1
f (x) 2x 1 或f (x) 2x 1
因为 AD＝x 所以 x2= 2 a 2 A 2
E
B
所以 DC＝2－x2
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典型例题
例5.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图 所示，求f(x)的解析式.
【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.
【解析】当-1≤x≤0时，设y=ax+b,
∵过点(-1,0)和(0,1),∴
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]} = f{1} =0
(2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与f (x)=－7相符，
由2x+3 =－7得x=－5 易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=－5
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Hale Waihona Puke 人：(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便 得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
注:我们把这样的函数叫做: 分段函数分段函数是一个 函数，自变量所在区间变化，对应关系也随之变化。
注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函
数2. ”有;些函数既可用列表法表示,也可用图像法或解析法表示.
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邢
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典型例题
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：
邢
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典型例题
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巩固练习
= f(1005+1000) = f(2005)
= f(2005+1000) = f(3005)
=3005-2019=986
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自主学习
阅读课本 第69页和 第70页的 例7，例8 完成课本 第71页练 习
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课堂小结
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表 示法来 表示函数； （3）注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6} 解析法
问题 3 北京空气 质量指数
图象法
问题4：恩格尔系数 列表法
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
组，通过解方程组求出 f(x)．
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3.1.2函数表示法 求函数解析式
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复习引入
函数的表示方法:
➢解析法-----用数学表达式表示两个变量之间的
对应关系的方法.如 y 3x 2
优点:简单、全面地概括了变量间的关系;可以通过解 析式求出任意一个自变量所对应的函数值.
➢图像法------用图像表示两个变量之间的对应关 系的方法.
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方法小结 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便 得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
4.0 M/元
。
3.2
。
2.4
。
。 1.6
。
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0.8
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启 强
O 20 40 60 80 100 m/g
函数解析式为 0.8, 1.60,
M= 2.40, 3.20, 4.00,
0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100
14
巩固练习
v
2.某质点在30s内运动 30 速度vcm/s是时间t的函 数,它的图像如右图.用 解析式表示出这个函数, 并求出9s时质点的速度. 10
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
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人
：
邢
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3
下列各组函数中是不是同一个函数？
2
1) f (x) x g(x) ( x ) 否
2) f (x) x g(x) x2 否
3) f (x) x g(x) 3 x3 是
4) f (x) x2 4 g(x) x 2 否 x2
优点:直观形象地表示自变量地变化,相应的函数 值变化的趋势,有利于我们通过图像来研究函数 的某些性质. ➢列表法------列出表格来表示两个变量之间的对 应关系的方法.
讲 课
优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值
人
： 邢 启
相对应的函数值.
强
22
典型例题 例1.已知：f (x) x 3,求 f (2x 1)
5) f (x) (x 2)2 g(x) x 2 是
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人
：
邢
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4
判断两个函数是否表示同一个函数的方法步骤：
（1）先求两个函数的定义域，如果定义域不同，那么 它们是不同的函数。如果定义域相同，则进行第2步
（2）化简函数解析式，如果化简后的解析式相同，那 么它们是同一个函数，否则不是同一个函数。
强
7
典型例题
解析法 y=5x x1,2,3,4,5
注：用解析法必须注明函数的定义域。
列表法
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y
5 10 15 20 25
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：
邢
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：
邢
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学习新知
三种表示方法的特点
解析法的特点：全面.精确地概括了变量间的 关系；可以通过用解析式求出任意一个自变 量所对应的函数值。
3
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典型例题
例 3 已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且 f(x)＝2f(1x)· x－1，求 f(x)的表示式.
解：在 f(x)＝2f(1x) x－1 中，用1x代替 x，
将f(x1)＝2f(xx)－1代入f(x)＝2f(1x) x－1中，
可求得 f(x)＝23 x＋13.
列表法的特点：不通过计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值。
图像法的特点：直观形象地表示出函数的变化 情况 ，有利于通过图形研究函数的某些性质。
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典型例题 例2.画出函数y=|x|的图象
解:由绝对值的概念,我们有
x x0 y x x 0
所以函数y=|x|的图象如右图所示
t O 10 20 30 t+10, (0 ≤ t<5)
解: 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20)
-3t+90,(20 ≤ t≤30)
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人 ： 邢 启
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
强
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巩固练习
2x+3, x＜－1,
3. 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1, x－1, x≥1 .
f (2x 1) (2x 1) 3 2x 4
已知： f (2x 1) 3x 2 ,求 f(3),f(x)
解：令 2x+1=3,则 x=1,所以 f(3)=3×1－2＝1
解：令 u=2x+1,则 x u 1 , 因为 f(2x+1)=3x-2, 2
所以 f(u)=3×( u 1 )-2= 3 u - 7 , 2 22
组，通过解方程组求出 f(x)．
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：
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典型例题 例4.如图,将一块半径为1的半圆形钢
板,切割成等腰梯形ABCD,其下底边AB是圆O的
直径,上底边CD的端点在圆周上,设梯形的一
条腰长为x,周长为f(x),求函数f(x)的值域.
解：因为 AE＝ 2 DC ,AD2＝AE AB D
C
2
即：判定两个函数是否相同，只需考 察对应关系（表达式）与定义域是否 相同即可。
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人
：
邢
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5
复习练习
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0y 2
x
2
D
讲 课
0
2x
0
x
2
人
：
邢
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6
学习新知 初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析 法、列表法和图象法
ab b1
0
a 1 b 1
同样，当0<x≤2时，有
a 1
2
b 0
∴ f (x) x121x
1 x 0 0x2
【评析】熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决.
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人
：
邢
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巩固练习
x
（1）如果
f
(
1 x
)
1
x x
2
，则f(x)=
x2 1
;
（2）如果f ( x 1 ) ( x 1 )2,则f(x+1)= x2 2x ;5
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
讲 课
（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；
人
： 邢 启
（3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100
邮资(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
解：邮资是信函质量的函数, 其图像如下:
邢
启 强
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巩固练习
4.课本p69 ： 1、2
5.以下叙述正确的有（ C）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值 域是各段值域的并集。
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应 法则，但它是一个函数。
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应 法则的值域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。
3.1.2函数的表示法
复习引入
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
讲 课 人 ：
A 1个
邢
启
强
B 2个 C 3个 D
0个
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深化练习
6.已知函数
f
(x)
x 2019,
f
(x
1000),
x 2019, x 2019.
（1）求 f (2022)
（2）求 f (5)
（1）解： f (2022) 2022 2019 ＝3
(2）解： f (5) ＝f(5+1000)= f(1005)
x
x
（3）如果函数f(x)满足方程3f(x)+
f
(
1 x
)
=3x,
x∈R,且x≠0,则f(x)=
. 9x 3
8 8x
【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x” 而言， “f”是一种怎样的对应关系.
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启 强
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课堂小结 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数)，可用待定系数法；
显然值域是集合B的子集
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：
邢
启 强
2
复习引入
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)