高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编含答案解析

【最新】数学《计数原理与概率统计》试卷含答案
一、选择题
1．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍
C ．2015年与2018年艺体达线人数相同
D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】
本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
314
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1
1m m n n A nA --=
D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!
()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A 【点睛】
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
5．设*N n ∈，n a 为()()41n n
x x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，
1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则
()()
22
n n t b c -++的最小值为( ) A ．
12
B
C
．D
．【答案】A 【解析】 【分析】
令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，
2)(*)2
n n
n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】
令1x =可得，52n
n
n a =-，2[][]55
n
n n n na n n =-g ，
设25n n n n c =g ，所以1+11(1)22223
()()055555
n n n n n n n n n c c n +++-=
-=-<g g ， 所以数列{}n c 单调递减，所以数列2{}5
n
n n n -g 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）
当n →+∞时，20,5n n n →g 且20,5n
n n >g 所以2[][]155n n n n na n n n =-=-g .
21222[][][]12(1)5552
n n n na a a n n
b n -=++⋯+=++⋯+-=，
则2
2
()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2
n n
n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方， 即求点(n ，2)(*)2
n n
n N -∈到7y t =-的距离d 的最小值，
所以222|7|
157|14||()|4424n n n d n n n -+-==+-=+-， 当1n =
时，957||=4444d =-； 当2n =
时，2557||=4444
d =- 当3n =
时，4957||=2=
44442
d =
-；
当4n =时，8157||=6=
44442
d =
-；
由函数的图象可知当5,6,7,n =L 时，d > 所以点(n ，2)(*)2
n n
n N -∈为(3,3)时，它到7y t =-的距离d 最小，
d =
=Q ，
∴2
．
∴()()2
2
n n t b c -++的最小值为12
. 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1
表2
表3
表4
A ．成绩
B ．视力
C ．智商
D ．阅读量
【答案】D 【解析】 【分析】
根据公式()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.
【详解】
根据公式()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：
A.2
2
52(6221014):0.00916363220
A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(4201216): 1.76916363220
B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(824812): 1.316363220
C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(143062):23.4816363220
D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于
7．若52345
012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（） A ．－233 B ．10
C ．20
D ．233
【答案】A 【解析】 【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
8．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28
C ．38
D ．42
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2887
282
C ⨯=
=种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法；
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．若二项式2n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20
【答案】C 【解析】 【分析】
对2n
x ⎫⎪⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再
利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数.
【详解】
对2n x ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式5
2x ⎫⎪⎭展开式的通项
公式为()
51
531222
55
22r
r r
r r
r C x x
C x
---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令
53
122
r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为11
5210C ⋅=.
故选：C. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种
【答案】B 【解析】 【分析】
首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】
从7名党员选3名去甲村共有3
7C 种情况，3名全是男性党员共有3
4C 种情况，
3名全是女性党员共有3
3C 种情况，
3名既有男性，又有女性共有333
74330C C C --=种情况.
故选：B 【点睛】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
12．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个
【答案】C 【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
13．二项式5
1(2)x x
-的展开式中含3x 项的系数是
A ．80
B ．48
C ．−40
D ．−80
【答案】D 【解析】
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r
r r r r r
r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为14
5C 280-=-n ，故选D .
14．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）
B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）
C ．E （ξ）＜E （η），
D （ξ）＞D （η） D ．
E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）
【答案】A 【解析】 【分析】
当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=，
()2
5
D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167
E η=
， ()2449
D η=，即可得解． 【详解】
当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，
()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()34
31361
35
C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=
+⨯+⨯=，()112555
D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4，
()1434374
135C C P C η⋅===，()224374
18235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4
404375
1
43C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357
E η=
+⨯+⨯+⨯=， ()2
2
2
2
416181612161161234357357357549
4
372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
15．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320
C ．400
D ．1000
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】
由题意知这是一个分层抽样问题，
Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，
∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10
200801087
⨯=++
Q 每人被抽取的概率为0.2，
∴该单位青年职员共有
80
4000.2
= 故选C 【点睛】
本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

16．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ） A ．
518
B ．
12
C ．
59
D ．
79
【答案】D 【解析】 【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率． 【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n ===． 故选：D ． 【点睛】
本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
17．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC 中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC 的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（ ）
A ．
233
4
- B ．
(233)4
π
-
C ．
233
2
- D ．
(233)2
π
- 【答案】D 【解析】 【分析】
设圆的半径为r ，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率. 【详解】
设“质点落在阴影部分内部”为事件M .
如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a . 因为130PBO ∠=︒，所以
3
tan 30r BP =︒=
3BP r =.同理，3CQ r =.
又因为122PQ O O r ==
，所以
22)BP CQ PQ r r BC a ++=++===，所以由几何概型得，点落在阴
影部分内部的概率是
22()P M ===
. 故选：D. 【点睛】
此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.
18．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：
根据表中数据可得回归直线方程为$$0.7y x a
=+，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ） A ．4.502亿元 B ．4.404亿元 C ．4.358亿元 D ．4.856亿元
【答案】D 【解析】 【分析】
先求 3.92x =，2y =，根据$0.7a y x =-，求解$0.744a =-，将8x =代入回归直线方程为$$0.7y x a
=+，求解即可. 【详解】 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0
3.925x ++++=
=，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825
y ++++==
$0.720.7 3.920.744a y x =-=-⨯=-即$0.70.744y x =-
令8x =，则$0.780.744 4.856y =⨯-= 故选：D 【点睛】
本题考查回归分析，样本中心点()
,x y 满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.
19．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中
的概率是（）
A．1
2
B．
3
10
C．
1
4
D．
1
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率．
【详解】
由题可得基本事件总数33
6320
n C C
==，
第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213
2434
m C C C
==
所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是
41
205
m
P
n
===
故选D.
【点睛】
本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．
20．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，
属于基础题．。