辽宁省锦州中学2016届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年辽宁省锦州中学高三(上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12个小题,每题5分,共60分,四个选项中只有一个正确)
1．已知U={1,2,3，4,5，6｝，M=｛1，3，4,5}，N=｛2,4，5，6｝，则(）
A．M∩N={4,6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．(∁U M)∩N=N
2．设z=1﹣i,则+z2=(）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣l+i D．l+i
3．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若,则角C的值为（)
A．B．C．或 D．或
4．已知方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是(）
A．m≤﹣2 B．m≤﹣4 C．m＞﹣5 D．﹣5＜m≤﹣4
5．在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；a i=i（i=0，1，2，3，4)．则此程序执行后输出的S值为（）
A．26 B．49 C．52 D．98
6．给出下列四个命题:
（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ;
（2)“对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为“存在x0∈R，使得＜0"；
（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题;
（4）函数是偶函数．
其中真命题的个数是(）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数y=3｜log3x|的图象是（）
A．B．C．D．
8．设a=ln3，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
9．△ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M，现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为(）
A． B．C．D．
10．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4。

5m D．9m
11．椭圆（m＞1)与双曲线(n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（）
A．4 B．2 C．1 D．
12．点P是曲线y=x2﹣ln x上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为（）A．B．C．2D．2
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13．从编号为001，002，…，800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最小的两个编号分别为008，033,则样本中最大的编号应该是．
14．已知某几何体的三视图如图所示，（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为．
15．已知△ABC，点A（2,8）、B（﹣4，0）、C(4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为．
16．已知双曲线C：，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于
A、B的一点，直线MA、MB的斜率分别记为k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1]，则k2的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知x2+y2=9的内接三角形ABC中,A点的坐标是(﹣3，0）,重心G的坐标是,求：
（Ⅰ）直线BC的方程；
（Ⅱ)弦BC的长度．
18．已知数列｛a n}的首项，，n=1，2,3，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ)数列的前n项和S n．
19．已知A,B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求y=2sin2B+cos（﹣2B）取最大值时角B的大小．
20．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（I）至少有一人面试合格的概率；
（Ⅱ）没有人签约的概率．
21．已知函数
(Ⅰ）若f(x)在（﹣1，+∞）上是增函数,求k的取值范围；
(Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1)恒成立,求整数k的最大值．
22．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1)求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+y+3=0相切,求椭圆C的方程．
2015—2016学年辽宁省锦州中学高三（上）期中数学试卷
（文科)
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题,每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）
1．已知U={1，2，3，4,5，6｝，M=｛1，3，4，5｝，N=｛2,4，5，6｝，则（）A．M∩N=｛4,6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．(∁U M）∩N=N
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解:由补集的定义可得∁U M={2，6｝，
则（∁U M）∪M=｛1,2,3,4，5，6}=U，
故选:C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．设z=1﹣i，则+z2=（）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣l+i D．l+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】把z=1﹣i代入+z2,然后利用复数代数形式的乘除运算化简．
【解答】解:∵z=1﹣i，
∴+z2===1+i﹣2i=1﹣i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的运算题．
3．在△ABC中，角A，B,C的对应边分别为a,b,c，若，则角C的值为（）
A．B．C．或 D．或
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosC,将已知等式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解:∵△ABC中,a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
则C=，
故选：A．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
4．已知方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）
A．m≤﹣2 B．m≤﹣4 C．m＞﹣5 D．﹣5＜m≤﹣4
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】由方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根,根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0,x1•x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：若方程x2+(m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，
由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得:
x1+x2=﹣（m+2）＞0，x1•x2=m+5＞0
解得:﹣5＜m＜﹣2,
又由△＞0得，
m＜﹣4，或m＞4，
故：﹣5＜m＜﹣4
故选D
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组，是解答本题的关键．
5．在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；a i=i（i=0，1，2，3，4）．则此程序执行后输出的S值为(）
A．26 B．49 C．52 D．98
【考点】程序框图．
【专题】计算题;图表型;数学模型法；算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值,当k=0时不满足条件k＞0,退出循环，输出S的值为98．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
第1次执行循环体，k=3，S=3+4×2=11，满足条件k＞0，
第2次执行循环体,k=2，S=2+11×2=24，满足条件k＞0，
第3次执行循环体，k=1，S=1+24×2=49,满足条件k＞0,
第4次执行循环体，k=0，S=0+49×2=98,不满足条件k＞0，退出循环，输出S的值为98．
故选：D．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
6．给出下列四个命题：
（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ;
（2）“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得＜0”；
（3）已知命题p:所有有理数都是实数,命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题；（4)函数是偶函数．
其中真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；转化思想;综合法；简易逻辑．
【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论．
【解答】解:（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，比如α=,β=,则tanα=tanβ，故(1)错;
(2)这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确;
（3）已知命题p:所有有理数都是实数，是真命题,q：正数的对数都是负数，为假命题，则(¬p）∨q为假命题,不正确；
（4）函数是奇函数，不正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．
7．函数y=3｜log3x|的图象是（)
A．B．C．D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】作图题；转化思想．
【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．
【解答】解:y=3|log3x｜=，即y=
由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，
考察四个选项，只有A选项符合题意，
故选A．
【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点,而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．
8．设a=ln3，，,则a，b,c的大小关系为(）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：∵a=ln3＞lne=1，
0＜＜=1，
＜ln1=0,
∴c＜b＜a．
故选:C．
【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．
9．△ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M,现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为（)
A． B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；转化思想;综合法;概率与统计．
【分析】根据△ABC的三边长度分别是2,3，x，，1＜x＜5，区间长度为4，△ABC 恰好是钝角三角形,x的取值范围是(1,）∪（，5）,区间长度为（4﹣+），即可求出概率．
【解答】解:由题意,△ABC的三边长度分别是2，3,x，，∴1＜x＜5，区间长度为4，△ABC恰好是钝角三角形，
∴x的取值范围是（1,）∪（,5），区间长度为（4﹣+），
∴从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为．
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．
10．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时,水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4.5m D．9m
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2Py(P＞0）,由题意知抛物线过点（2，﹣2），进而求得p，得到抛物线的标准方程．进而可知当y0=﹣3时x02的值,最后根据水面宽为2｜x0|求得答案．
【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0)，由题意知，抛物线过点（2,﹣2），
∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．
当y0=﹣3时，得x02=6．
∴水面宽为2|x0｜=2．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．
11．椭圆(m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（）
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m,双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣n2=2，根据双曲线和椭圆的定义可得｜PF1|+|PF2｜=2m，|PF1|﹣|PF2｜=2n,△PF1F2 中,由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．
【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2．
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2n，①
由椭圆的定义|PF1｜+｜PF2｜=2m，②
①2+②2得｜PF1|2+|PF2｜2=2n2+2m2,
∴｜PF1｜•|PF2｜=m2﹣n2=2,
∴cos∠F1PF2|==0，
∴△F1PF2的形状是直角三角形
△PF1F2的面积为•PF1•PF2=×2=1．
故选C．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．
12．点P是曲线y=x2﹣ln x上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为（) A．B．C．2D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离．
【专题】计算题;导数的概念及应用．
【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【解答】解：设P（x，y），则y′=2x﹣（x＞0）
令2x﹣=1,则(x﹣1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1
∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为(1,1)
由点到直线的距离公式可得d==．
故选：B．
【点评】本题考查导数知识的运用,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从编号为001，002，…,800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中最小的两个编号分别为008，033,则样本中最大的编号应该是783．
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为008，033，
∴样本数据组距为33﹣8=25,则样本容量为=32，
则对应的号码数x=8+25（n﹣1），当n=32时,x取得最大值为x=8+25×31=783,
故答案为:783．
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．
14．已知某几何体的三视图如图所示,（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为4+4．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合;数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图知该几何体是高为2的正四棱锥，结合图中数据求出它的全面积．
【解答】解:由三视图可知，该几何体是高为2的正四棱锥，
且正四棱锥的底面边长为2；
所以四棱锥侧面三角形的高为=，
侧面三角形的面积为×2×=；
又底面面积为22=4，
所以该几何体的全面积为
S=4+4×=4+4．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是基础题目．
15．已知△ABC,点A（2，8)、B（﹣4，0)、C（4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为x﹣7y+4=0．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想;综合法；直线与圆．
【分析】先求出三角形ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，求出D点坐标，BD的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．
【解答】解：如图示：
，
∵k AB=，k BC=﹣，∴AB⊥BC，
∵｜AB｜==10，｜BC|==10，∴|AB|=|BC｜，
∴△ABC是等腰直角三角形，
作出∠ABC的角平分线BD，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，D是AC的中点，
∴D（3，1)，
由k AC=﹣7得：k BD=,
∴直线BD的方程是：y=1=（x﹣3），
整理得：x﹣7y+4=0，
故答案为:x﹣7y+4=0．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，体现了数形结合以及转化的数学思想,属于基础题．
16．已知双曲线C:，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于
A、B的一点,直线MA、MB的斜率分别记为k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1］,则k2的取值范围是［﹣3，﹣1]．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出点A，点M,点B的坐标,求出斜率，将点A，B的坐标代入方程，两式相减，再结合k1∈[﹣3,﹣1］，即可求得结论．
【解答】解：由题意，设A（x1，y1），M（x2,y2)，则B（﹣x1,﹣y1)
∴k1•k2=•=,
∵﹣=1，﹣=1，
∴两式相减可得=3
∵k1∈[﹣3，﹣1］，∴k2∈[﹣3，﹣1]．
故答案为：［﹣3，﹣1］．
【点评】本题考查双曲线的方程,考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用,属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知x2+y2=9的内接三角形ABC中,A点的坐标是（﹣3,0），重心G的坐标是
,求：
(Ⅰ）直线BC的方程；
（Ⅱ）弦BC的长度．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法;直线与圆．
【分析】（Ⅰ）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来,根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．（Ⅱ）求出圆心到BC所在直线的距离，即可求出弦BC的长度．
【解答】解:（I）设B(x1,y1)，C(x2，y2)，则由已知得；y1+y2=﹣3
所以BC中点坐标为,故
所以BC所在直线方程为：，即4x﹣8y﹣15=0﹣﹣﹣﹣﹣
(II）由（I）得圆心到BC所在直线的距离为
所以弦BC的长度为．﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程．属于中档题．18．已知数列｛a n｝的首项，，n=1,2,3,…．
(Ⅰ)证明：数列是等比数列；
(Ⅱ)数列的前n项和S n．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ)由，两边取倒数可得:，变形为
，即可证明;另解：设,则，可得
，即可证明．
（Ⅱ）由(Ⅰ）知：，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵，两边取倒数可得：，
∴，又，
∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
另解:设,则，所以，
得2b n+1=b n，而，所以命题得证．
(Ⅱ）由（Ⅰ）知，即,
∴．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“取倒数法”,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．已知A,B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA,cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．
（Ⅰ）求A的大小;
(Ⅱ)求y=2sin2B+cos(﹣2B)取最大值时角B的大小．
【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】(Ⅰ)根据两向量的垂直,利用两向量的坐标求得（2﹣2sinA）（1+sinA）+(cosA+sinA)（cosA﹣sinA)=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosA的值,进而求得A．
（Ⅱ）根据A的值，求得B的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后．利用B的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时B的值．
【解答】解：（Ⅰ)∵，
∴（2﹣2sinA)（1+sinA)+（cosA+sinA)（cosA﹣sinA）=0
⇒2(1﹣sin2A）=sin2A﹣cos2A
⇒2cos2A=1﹣2cos2A
⇒cos2A=．
∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=⇒A=．
（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，且A=,∴＜B＜
∴
=1﹣cos2B﹣cos2B+sin2B
=sin2B﹣cos2B+1
=sin（2B﹣）+1
当y取最大值时，2B﹣=，即B=．
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，向量的基本性质．考查了学生对基础知识的掌握和基本的运算能力．
20．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（I)至少有一人面试合格的概率；
（Ⅱ）没有人签约的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件．
【专题】计算题．
【分析】（I）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格,根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果．(II）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．【解答】解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．
由题意知A,B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=．
(Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
．
(II)没有人签约的概率为
=．
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约．”，这里容易漏掉结果．
21．已知函数
（Ⅰ）若f（x)在(﹣1，+∞）上是增函数,求k的取值范围；
（Ⅱ)当x＞0时,f（x）＜ln(x+1)恒成立，求整数k的最大值．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）若f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立,即可求k的取值范围；
（Ⅱ)构造函数,利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【解答】解:（I）因为在(﹣1，+∞）上恒成立，所以k≥﹣1．
又当k=﹣1时，f（x）是常函数，所以k＞﹣1．…
(II)设则
(i）当k≤0时，g'（x）＜0，g(x)在（0,+∞)上是减函数,
所以，g(x）＜g（0）=﹣1＜0，不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立．…
（ii）当k＞0时，x∈（0，k）时，g’（x）＞0，g（x）是增函数．
x∈（k,+∞）时，g’（x）＜0,g(x）是减函数．
所以，g（x）≤g(k）=k﹣1﹣ln（k+1)
要使不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立,只需k﹣1﹣ln（k+1）＜0恒成立．
设h（x）=x﹣1﹣ln（x+1），（x＞0)
则，所以，h（x）在（0，+∞）是增函数．
又h(2）=1﹣ln3＜0，h（3）=2﹣ln4＞0
所以，整数k的最大值为2．…
【点评】本题主要考查函数单调性和导数的关系，以及不等式恒成立问题，构造函数转化为导数问题是解决本题的关键．
22．设椭圆C：+=1(a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1）求椭圆C的离心率;
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切,求椭圆C的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】(1）设出Q点坐标，由F，A的坐标表示出，根据得出=0看，进而求得x0，设P（x1,y1)根据求得x1和y1的表达式，把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）根据(1）中a和c的关系可知F和Q的坐标,△AQF的外接圆圆心和半径,进而根据求得a，进而根据a和b，c的关系求得b,则椭圆的方程可得．
【解答】解：（1）设Q（x0，0），由F（﹣c，0）A（0，b）知
∵，∴
设P（x1，y1)，
得
因为点P在椭圆上，所以
整理得2b2=3ac，即2（a2﹣c2）=3ac，2e2+3e﹣2=0，故椭圆的离心率e=．
（2）由(1）知，
于是F（﹣a，0）Q，
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a
所以，解得a=2，
∴c=1，b=,
所求椭圆方程为
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．。