浙江省宁波市2013届高三数学12月月考试题 理 新人教A版

高三年级第二次月考数学（理科）问卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,4}U A B ===，则()U A
C B ( )
A ．｛1，3｝
B ．｛2，4｝
C ．｛1，2，3，5｝
D ．｛2，5｝ 2. 函数3log ,0()2,0
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则(9)(0)f f +=( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
4．已知等比数列{}n a 中，12345640,20a a a a a a ++=++=， 则前9项之和等于（ ）
A ．50
B ．70
C ．80
D ．90
5．已知m a 、都是实数，且0a ≠，则“{,}m a a ∈-”是“||m a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知向量(1,3)=a ，(2,)m =-b ，若a 与2+a b 垂直，则m 的值为 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
1
-
D ．
2
1 7．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A ．若αβ⊥，l β⊥，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若l α⊥，l ∥β，则βα⊥ D ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥
8．若1sin(
)34π
α-=
，则cos(2)3π
α+=
A ．78-
B ．14-
C ．14
D ．78
9．若方程x
x 2
)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．1-或2
D ． 1-或1
10．设函数)(x f y =的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
}))((|{},)(|{x x f f x B x x f x A ====，则 （ ）
正视图
侧视图
俯视图
Ａ.
B A ≠
⊂
Ｂ. A B ≠
⊂ Ｃ. Ａ＝Ｂ Ｄ. φ≠B A
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分。

把答案填在答题卷的相应位置 11．公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 。

12．在边长为1的正三角形ABC 中，1
2
BD DC =
，则AD CD ⋅的值等于 。

13．已知偶函数[)()0,f x +∞在上单调递增，且(lg )(1)f x f =，则x 的值等于 。

14．已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值
是 ．
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，若向量
222(2,)a b c =+-p ，(1,2)S =q 满足p ∥q ，则角C = ．
16．正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为ABC ∆的中心，则直线EF 与平面ABC 所成
的角的正切值是 。

17．已知函数
()||,f x x x a =-若对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且
1212,()x x x x ≠-12[()()]0f x f x ->恒成立，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18．（本小题满分14分）
已知函数2
2()(
)2cos 4
f x x x π
=++-
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为,,,3,()2a b c c f C ==且，若向量
(1,sin )(2,sin )m A n B ==与共线，求,a b 的值。

19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，
D
B
E F 、分别为CD PB 、的中点，AE =
（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD
20．（本题满分14分）
已知数列{}n a 满足113,33(*)n n n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足3n
n n b a -=.
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3
12345
2
n n a a a a S n =++++
+，求满足不等式
211
1284n n S S <<的所有正整数n 的值.
21.（本题满分15分）已知函数()ln f x x x x =+．
（1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；
（2）若k ∈Z ，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值；
22．(本小题满分15分)已知函数()ln f x x =，)0(2
1)(2
≠+=
a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求
b 的取值范围； （II ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作
x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N
处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
高三年级第二次月考数学（理科）答案 一、选择题、
ADABB BCADD 二、填空题
11、18 12、
19 13、10或110
14、m=6
15、
4
π
16、 17、]-2∞（， 三、解答题
18.（1）f(x)=2sin(2x+
6
π
)+1 最小正周期T=π，递增区间为-+k ,()36k k Z π
π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦ （7分）
（2）f(C)=2sin(2C+
6
π)+1=2, 3c π
=，因为向量(1,sin )(2,sin )m A n B ==与共线，
所以sinB=2sinA,，
∴b=2a,由余弦定理可得2
2
2
1
c 29,2
a b ab a b =+-⨯=∴==（14分）
19．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，
∴2AD CD AB ===．
在ADE ∆中，AE =1DE =， ∴222AD DE AE =+．
∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥．
又AB CD //， ∴AE AB ⊥．…………………2分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =，
∴AE ⊥平面PAB ，………………………………………4分 又∵AE ⊂平面AEF ，
平面AEF ⊥平面PAB ． ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB ………………………7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PA AE A = ∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ，
∴平面PCD ⊥平面PAE ．…………………………9分 ∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．
所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．……10分
在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE =11分 又2PA =，
∴cos
APE ∠=
=
所以，平面PAB 与平面PCD
所成的锐二面角的余弦值为
7
．…………14分
理（Ⅱ）解法二：以A 为原点，AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==
，AE =
(0,0,0)A
、(0,0,2)P 、(0,3,0)E
、(1,3,0)C ，…………7分
则(0,2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,AE =
由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ， 故平面PAB 的一个法向量为1(0,1,0)n =设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则2200
n PE n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即200z x -=-=⎪⎩，令2y =，
则2n =． …………………11分 ∴12
1212
2
cos ,7n n n n n n ===
所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
7
．……14分 20.（1）证明：由3n n n b a -=得3n n n a b =，则1
113n n n a b +++=。

代入133n n n a a +-=中，得111333n n n
n n b b +++-=，
即得11
3
n n b b +-=。

所以数列{}n b 是等差数列。

………………6分 （2）解：因为数列{}n b 是首项为1
1131b a -==，公差为13
等差数列，
则121(1)33n n b n +=+-=，则1
3(2)3n n n n a b n -==+⨯。

………………8分
从而有1
32
n n a n -=+，
故21
31213311333
3452
132
n n n n n a
a
a a S n ---=+++
+=++++==+-。

…………11分 则22311
3131
n n n n
n S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111128314n <<+。

即33127n
<<，得14n <≤。

故满足不等式211
1284
n n S S <<的所有正整数n 的值为2，3，4。

………………14分
x
21（1）解：因为()ln 2f x x '=+，所以()12f '=，
函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程21y x =-；…………5分
（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，即
ln 1
x x x
k x +<
-对任意1x >恒成立．…………7分
令()ln 1x x x g x x +=
-，则()()
2
ln 2
1x x g x x --'=-，……………………8分 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()11
10x h x x x
-'=-
=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………………9分
因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．
当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，…13分
所以函数()ln 1
x x x
g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．
所以()()()()
()000000min
001ln 123,411
x x x x g x g x x x x ++-==
==∈⎡⎤⎣⎦
--．…………14分
所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………………15分
22.解：（I ）依题意：.
ln )(2
bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，
1
()20h x x b x '∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立， 12,0b x x x ∴≤+>，则
12x x +≥ b ∴
的取值范围是(,-∞.
………7分
（II ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
则点M 、N 的横坐标为.22
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2
|12
12
121x x x k x x x +=
=+=
C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k = 即
1212()2.2
a x x
b x x +=++则
22222121212211122
21211
2()()()()()
222
ln ln ln
,x x a x x a a
b x x x bx x bx x x x y y x x x --=+-=+-++=-=-=
2
221121121
2(
1)
2()ln 1x x x x x x x x x x --∴==++ 设211,x u x =>则2(1)ln ,1,1u u u u -=>+
()0)1(1)1(4
1)(,1)1(2ln )(22
2/≥+-=
+-=+--=x x x x x x T x x x x T ，
0)1()(=>T u T 点R 不存在.
………15分。