【湖南省长沙市长郡中学】2017年高考一模数学试卷(文科)

湖南省长沙市长郡中学2017年高考一模数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．已知全集U R =，集合{}31=2,log 12x A x B x x ⎧⎫>=<⎨⎬⎩⎭
，则()U A B I ð=（ ） A ．(1,)+∞ B ．[3,)+∞ C ．(1,0)(3,)-+∞U D ．(1,0][3,)-+∞U
2．设复数3
2i i 1
z =-（i 为虚数单位），z 则的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．1
3．已知等比数列，则“10a >”是“20170a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里
6．据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系。

对某小组学生每周用于数学学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如表：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 115
120 由表中样本数据求回归直线方程$y bx a =+，则点(,)a b 与直线18110x y +=的位置关系为是（ ） A ．点在直线左侧
B ．点在直线右侧
C ．点在直线上
D ．无法确定
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）
A ．
B ．
C ．6
D ．8．为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ）
A ．向左平移π
3个单位 B ．向左平移π
6个单位
C ．向右平移π
6个单位 D ．向右平移π
3个单位
9．执行如图的程序框图，若输入,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =（ ）
A ．23
B ．16
5 C ．7
2 D ．15
8
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（
）
A ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．12n -
C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．111132n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
11．已知直线l 过点(1,0)A -且与⊙B ：22+20x y x -=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐进线平行于l ，则E 的方程为（ ）
A ．223144y x -=
B ．223122x y -=
C ．2
2513
y x -= D ．223122y x -= 12．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意,2[]2m ∈-，2(3))(0f ma f a -+>的恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)-
B ．(,1)(3,)-∞-+∞U
C ．(3,3)-
D ．(,3)(1,)-∞-+∞U
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =+的最小值为__________。

14．已知点()1,0A
，(B ，点C 在第二象限，且150,4AOC OC OA OB λ∠==-+o u u u r u u u r u u u r ，则λ=_________。

15．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12,B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D 。

若1123||||AB B D =，则C 的离心率等于__________。

16
．函数π()4sin
2
f x x =__________。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。

17．已知函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭。

（Ⅰ）求(x)f 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c。

已知()f A =
a =，试判断ABC △的形状。

18．某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名，按时刷牙但患龋齿的学生有240名。

（1）该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率。

（2）是否有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系？
附：0.010 0.005 0.001
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥
0k 6.635 7.879 10.828
19．如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，AC BD O =I 。

将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到
三棱锥B
ACD ﹣，点M 是棱BC 的中点，DM =
（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ；
（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ；
（Ⅲ）求三棱锥M ABD ﹣的体积。

20．已知动圆P 与圆()22:25E x y ++=相切，且与圆(22F:1x y +=都内切，记圆心P 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）直线l 与曲线C 交于点,A B ，点M 为线段AB 的中点，若||1OM =，求AOB △面积的最大值。

21．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈。

（1）当0a =时，求函数()f x 在()1,(1)f 处的切线方程；
（2）令()()(1)g x f x ax =--，求函数()g x 的极值；
（3）若2a =-，正实数12,x x 满足1212))((0f x f x x x ++=，证明：12x x +≥。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，
请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为y sin x αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）。

以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4l ρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭与C 交于,A B 两点。

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点(0,2)P -，求||PA PB +的值。

[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数|(|)f x x a x =-+，其中0a >
（1）当1a =时，求不等式()2f x x ≥+的解集；
（2）若不等式()3f x x ≤的解集为{|}2x x ≥，求实数a 的值。