江苏省宿迁市高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第10课时

第10课时 双曲线的几何性质（2）
【学习目标】
能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 【问题情境】
1．回顾双曲线的范围．对称轴．顶点．离心率．渐近线；
2．已知双曲线的方程为22
1914
x y -=，
写出顶点和焦点坐标． 实半轴长．虚半轴长．离心率．渐近线方程． 【合作探究】
试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同
【展示点拨】
例1．设双曲线22
221x y a b
-=的半焦距为c ，直线l 过( , 0) (0 , )a b 、两点，且原点到直
线l ，求双曲线的离心率．
例2．求与双曲线
22
1169
x y -=共渐近线，且经过()
3A -点的双曲线的标准方程．
例3．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为02=±y x ，焦点在渐近线的距离
为8，求此双
曲线方程．
例4．若21,F F 是双曲线116
92
2=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线上，且3221=⋅PF PF ,求21PF F ∠的大小．
【学以致用】
1．双曲线125
362
2=-y x 的渐近线方程是 ．
2．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34
=，则双曲线的离心率
为 ．
3．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是（10，0），则双曲线的方程是 ．
4．与椭圆
1492422=+y x 共焦点，而与双曲线164
362
2=-y x 共渐近线的双曲线的方程为 ．
5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）离心率e =()5,3M -；
（2）两条渐近线的方程是23y x =±，经过点9,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （3）双曲线的一个焦点是)0,3(1-F ,过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点,P 且
1230PF F ∠=︒．
第10课时 双曲线的几何性质（2）
【基础训练】
1．双曲线2x 2
-y 2
=8的实轴长是 ．
2．当817k <<时,双曲线
221178x y k k
+=--的焦距为__________________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________________．
4．已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为4
3
y x =±,则该双曲线的标准方程为______ __．
5．圆1)(2
2
=+-y a x 与双曲线12
2
=-y x 的渐近线相切，则a 的值为 ．
6．双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b m b y m x 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 有相同的焦点，
双曲线C 1的离心率为1e ，椭圆C 2的离心率为2e ，则22
211
1e e += ． 【思考应用】
7．根据下列条件，求双曲线的标准方程
（1）已知双曲线的渐近线方程为x y 21
±
=，焦距为10； （2）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点M （1,2
9
-）；
（3）与椭圆124492
2=+y x 有公共焦点，且离心率4
5=e ．
8．求满足下列条件的双曲线的离心率： （1）双曲线的渐近线方程为3
2
y x =±；（2）过焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ．
9．双曲线)0,1(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为2c, 直线l 过点）且点（，和（,01),0)0,(b a 到直
线l 的距离与点)0,1(-到直线l 的距离之和,5
4
c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围．
10．一炮弹在某处爆炸，在F 1（-5000,0）处听到爆炸声的时间比在F 2（5000,0）处晚
s 17
300
，已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．
【拓展提升】
11．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为15m,高为55m,试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
12．连结双曲线22221x y a b
-=和22
221x y a b -=-的四个顶点的四边形的面积为1S ，连结四个焦
点的四边形的面积为2S ，求
1
2
S S 的最大值．。