千题百炼高考数学个热点问题一第炼复合函数零点问题
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
千题百炼高考数学个热点问题第炼复合函数零点问题
第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值..例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值..例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x解：令()t f x =;则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=;则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=;则1x = 综上所述：1x =由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩;若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ;则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ;满足()0y f x =的x 的个数分别为2个000,1y y >≠和3个01y =;已知有3个解;从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根;而另一根为1或者是负数..所以()1i f x =;可解得：1230,1,2x x x ===;所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体;即()21t x x =-;则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =;则只需作出()21t x x =-的图像;然后统计与1t =与2t =的交点总数即可;共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x xx=+--;关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=,a b R ∈恰有6个不同实数解;则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=;故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩; 则()f x 的图像如图;由图像可知;若有6个不同实数解;则必有()()122,02f x f x =<<;所以()()()122,4a f x f x -=+∈;解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数;当0x >时;()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩;则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为A. 6B. 7C. 8D.9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解;得()()1211,23f x f x ==-;只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可..由奇函数可先做出0x >的图像;2x >时;()()122f x f x =-;则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可..正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像..通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中;注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间..例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ;且()11f x x =;则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根;观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同;所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==;其中()111f x x =;若12x x <;可判断出1x 是极大值点;2x 是极小值点..且()()2211f x x x f x =>=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个；若12x x >;可判断出1x 是极小值点;2x 是极大值点..且()()2211f x x x f x =<=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个..综上所述;共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+;若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根;则实数b 的取值范围是A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像如图;因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ;若要出七个根;则()()()121,0,1f x f x =∈;所以()()()121,2b f x f x -=+∈;解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=;若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根;则实数m 的取值范围是A. ()1,22,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,1e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx e f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩;分析()f x 的图像以便于作图;0x ≥时;()()'1x f x x e -=-;从而()f x 在()0,1单调递增;在()1,+∞单调递减;()11f e=;且当,0x y →+∞→;所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时;()()'1x f x x e -=-;所以()f x 在(),0-∞单调递减..由此作图;从图像可得;若恰有4个不等实根;则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中;()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;从而将问题转化为根分布问题;设()t f x =;则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;设()21g t t mt m =-+-;则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩;解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目;其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图;在作图的过程中还要注意渐近线的细节;从而保证图像的准确.. 例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩;则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是A. 当0a >时;有4个零点；当0a <时;有1个零点B. 当0a >时;有3个零点；当0a <时;有2个零点C. 无论a 为何值;均有2个零点D. 无论a 为何值;均有4个零点思路：所求函数的零点;即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数;先作出()f x 的图像;直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线;但需要对a 的符号进行分类讨论..当0a >时;图像如图所示;先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=;而()1f x 有两个对应的x ;()2f x 也有两个对应的x ;共计4个；当0a <时;()f x 的图像如图所示;先拆外层可得()12f x =;且()12f x =只有一个满足的x ;所以共一个零点..结合选项;可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩;则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦a 为正实数的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图;()()'23632f x x x x x =-=-;从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增;在()0,2单减;且()()01,23f f ==-;()g x 为分段函数;作出每段图像即可;如图所示;若要实数根最多;则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况;由()f x 图像可得;当()()3,1f x ∈-时;每个()f x 可对应3个x ..只需判断()g f x a =⎡⎤⎣⎦中;()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可;观察()g x 图像可得;当51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;可以有2个()()3,1f x ∈-;从而能够找到6个根;即最多的根的个数 答案：6个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下;给出下列四个命题：1方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 2方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 3方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 4方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层;找到内层函数能取得的值;从而统计出x 的总数..1中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有3个;()3g x 有2个;总计7个;1错误；2中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;总计4个;2错误；3中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;()3f x 有1个;总计5个;3正确；4中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有2个;共计4个;4正确 则综上所述;正确的命题共有2个 答案：B。
高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题
高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。
2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。
例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。
当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。
综上所述，$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。
这种思路也用来解决复合函数零点问题。
先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。
第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第20炼-一元不等式的证明-Word版含解析
第20炼 一元不等式的证明利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。
此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。
一、基础知识： 1、证明方法的理论基础（1）若要证()f x C <(C 为常数）恒成立，则只需证明：()max f x C <，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知()(),f x g x 的公共定义域为D ，若()()min max f x g x >，则()(),x D f x g x ∀∈> 证明：对任意的1x D ∈，有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤∴由不等式的传递性可得：()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>，即()(),x D f x g x ∀∈>2、证明一元不等式主要的方法有两个：第一个方法是将含x 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为()()f x g x >的形式，若能证明()()min max f x g x >，即可得：()()f x g x >，本方法的优点在于对x 的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。
但缺点是局限性较强，如果()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >，则无法证明()()f x g x >。
所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。
3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第5炼 函数的对称性与周期性 Word版含解析
第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
千题百炼 高考数学100个热点问题(一)：第4炼 函数值域的求法
千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。
因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。
当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。
1、基本知识：1。
寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。
分析特征对应于寻找值范围的方法。
只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。
巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。
（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。
一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点复合函数的零点是指，对于给定的复合函数，在定义域内存在使得函数取零值的数值。
本文将通过综合算式专项练习题，探讨如何求解复合函数的零点。
在解决复合函数的零点问题之前，我们需要了解复合函数的基本概念。
复合函数是指由两个或多个函数构成的新函数，其中一个函数的输出值是另一个函数的输入值。
表示为：f(g(x))，先进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入。
为了求解复合函数的零点，我们可以采用以下步骤：步骤一：给定复合函数表达式。
例如，我们考虑一个复合函数表达式：f(g(x)) = x^2 + 2x，其中g(x) = 2x + 1。
步骤二：找到复合函数的定义域。
在这个例子中，我们需要确定x的取值范围，使得g(x)的结果在f(x)的定义域内。
步骤三：将g(x)代入f(x)的表达式中，得到复合函数的具体形式。
根据我们的例子，复合函数的表达式为：f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)。
步骤四：将复合函数化简为一般形式，即将其展开并进行合并运算。
根据我们的例子，将f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)展开并合并运算后，得到f(x) = 4x^2 + 8x + 4。
步骤五：找到复合函数的零点。
复合函数的零点即为满足f(x) = 0的x的取值。
对于我们的例子，我们需要求解4x^2 + 8x + 4 = 0的解。
步骤六：使用合适的方法求解二次方程。
对于本例，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来解决4x^2 + 8x + 4 = 0。
以求解零点为例，我们可以使用求根公式，根据一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
对于4x^2 + 8x + 4 = 0，我们有a = 4，b = 8，c = 4。
代入求根公式，我们可以得到两个解：x = (-8 ± √(8^2 - 4*4*4)) / (2*4)。
高中数学复合函数零点个数专题训练含答案(详细解析版)
t ，且
5. 解：函数 ⺁
关于 x 的方程 ⺁
⺁ t ， t ，故选 A．
1⺁
t 1⺁
⺁，函数的图象如图：
恰好有两个不同实根，可得： t ， t
1，
可得
8
t
1或 t 1．故选：C．
6. 解： ⺁
t ，当
时，
0'/>，
⺁在
⺁上是增函数，当 t 时，
，
当 t 1 时，
0'/>，当 1 t t 时，
，
第 1页，共 8页
在 1 ⺁和 1
8t
⺁上各有一解， 1
t，
解得 t 1
，故选 C
7. 解：当 1 时，
⺁在 1 ⺁上单调递增，在
，当 1
时，
，当 t 时，
，
⺁上单调递减，当
时， ⺁取得极大值 ⺁ 1，又 1⺁ ，
当 t 1 时，
，当 t 1 时， ⺁
1 为减函数，作出 ⺁的大致函数图像如图所示：
，当 t t 1时， ⺁ 有 3 个不同的实数根．故选 B．
8. 解： ⺁
⺁， 当 t 或 t 时， ⺁ t ，当 t t 时， ⺁ t ，
⺁在
⺁和
⺁上单调递减，在 ⺁上单调递增．由 ⺁ ， ⺁ 结合函数单调性可知，
当 t t 时， ⺁ 有三解；当 时， ⺁ 无解．由方程 ⺁ 当 ⺁ 1 时方程无解，所以若方程
时， ⺁ 有两解，当
或 t 时， ⺁ 有一解；当 t
⺁在
1 上是增函数，在 1 ⺁上是减函数．当
1 时， ⺁取得极大值
1⺁ 1．
令 ⺁ ，又 ⺁ ， ⺁ ，则当 t 时，方程 ⺁ 无解；当
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第5炼函数地对称性与周期性Word版含解析
第5 炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a轴对称（当a 0时，恰好就是偶函数）（2）f a x f b x f x 关于a bx 轴对称2在已知对称轴的情况下，构造形如 f a x f b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧 f 前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是a,b 的取值保证a bx 为所给2对称轴即可。
例如： f x 关于x 1 轴对称 f x f 2 x ，或得到f 3 x f 1 x 均可，只是在求函数值方面，一侧是 f x 更为方便（3）f x a 是偶函数，则f x a f x a ，进而可得到：f x 关于x a轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即 f x a f x a ，要与以下的命题区分：若 f x 是偶函数，则 f x a f x a ： f x 是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 f x a f x a②本结论也可通过图像变换来理解， f x a 是偶函数，则 f x a 关于x 0轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a的符号决定），所以f x 关于x a对称。
3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于a,0 轴对称（当a 0时，恰好就是奇函数）a b（2）f a x f b x f x 关于,02轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如 f a x f b x 的等式同样需注意两点，一是- 1 -等式两侧 f 和x前面的符号均相反；二是a,b 的取值保证a bx 为所给对称中心即可。
例2如：f x 关于1,0 中心对称 f x f 2 x ，或得到f 3 x f 5 x 均可，同样在求函数值方面，一侧是 f x 更为方便（3） f x a 是奇函数，则 f x a f x a ，进而可得到： f x 关于a,0 轴对称。
高中数学复合函数零点问题(试卷与答案)
复合函数的零点问题1.已知，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.2.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x a f x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________.3.已知函数22()||1()x x f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为________.4.已知函数（ 是自然对数底数），方程 有四个实数根，则 的取值范围为________.5.已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______.答案：1.已知，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．8 【答案】B 【详解】函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1=[2f （x ）﹣1][f （x ）﹣1]的零点，即方程f （x ）=和f （x ）=1的根， 函数f （x ）=， ＞，的图象如下图所示：由图可得方程f （x ）=和f （x ）=1共有5个根， 即函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1有5个零点， 故选：B ．2.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ． 1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，作函数f （x ）的图象如下，由图象可得，0≤f（x ）≤f（2）=14；∵关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，∴方程x 2+ax+b=0有两个根，不妨设为x 1，x 2； 且x 1=，0＜x 2＜；又∵12a x x -=+，∴11,24a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；故选：B ．3.已知函数22()||1()xx f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．1(,)e e-∞--B ．1(,)e e -∞+C ．1(,2)e e ---D ．1(,)e-∞-4.已知函数（ 是自然对数底数），方程 有四个实数根，则 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B详解：函数，当x≥0时，f′（x ）=e x +xe x≥0恒成立，所以f （x ）在[0，+ ）上为增函数；当x ＜0时，f′（x ）=-e x -xe x =-e x（x+1），由f′（x ）=0，得x=-1，当x ∈（- ，-1）时，f′（x ）=-e x（x+1）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（-1，0）时，f′（x ）=-e x（x+1）＜0，f （x ）为减函数，所以函数f （x ）在（- ，0）上有一个最大值为f （-1）= -（-1）e -1= ，要使方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，令f （x ）=m ，则方程m 2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内， 一个根在（，+ ）内，再令g （m ）=m 2+tm+1，因为g （0）=1＞0， 则只需g （）＜0，即（）2+ t+1＜0，解得：t ＜．所以，方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根的t 的取值范围是（- ，）．选B.5.已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到 或 ，画出函数的图象，结合图象即可求解． 详解：设，则 ′，令 ′ ，得 ，当 时， ′ ，函数为增函数，当 时， ′ ，函数为减函数，所以当 时，函数取得极大值也是函数的最大值，由方程 ，可得 或，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得实数 的取值范围是，故选C ．。
高考函数-复合函数的零点-含答案
数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.
2．复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，
一层层求出函数值． 3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”
三 试题研究
例 1. 已知
，若关于 的方程
恰好
有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______________．
【解析】∵
，∴
，∴
∴当
或 时，
，当
时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在
可作出 大致函数图象如图所示：令
，
上单调递增
当
时，方程
有一解；当 时，方程
有两解；
当 时，方程
有三解；
∵关于 的方程
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．4
C．5
D．6
解： f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两根，观
察 到 方 程 ① 与 3 f x2 2af x b 0 结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得
3 f x2 2af x b 0 的两根为 f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第18炼-利用导数解函数的最值-Word版含解析
第18炼 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 11f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe -=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
复合函数零点问题
复合函数零点问题复合函数的零点问题是高考中的一个热点问题，备受命题者的青睐。
复合函数涉及到内外两层函数，这本身就是一个难点，问题的解决往往涵盖函数方程，数形结合，分类讨论，和化归的 思想方法。
一、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2 例7：已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是（ ）A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4。
第22题 复合函数的零点问题精品之高中数学(理)黄金100题系列
第22题 复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题【例1】设函数错误！未找到引用源。
（a 为常数且()0,1a ∈）． 若0x 是()()ff x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点．【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++．【解析】2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时，由21x x a =解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2a x a <≤时，由1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a a f a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++，故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点； 当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+，因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点． 【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+，因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++， 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点．综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p=，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【例3】【2015年高考天津】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ） A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D ． 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b=-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． 864224681510551015III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =，()t g x=，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x ．【解析】令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=，解得0,2t t ==，当()0020xt f x =⇒=⇒=，则x ∈∅；当()2222x t f x =⇒=⇒=，则1x =．综上所述：1x =．由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大． 【技能方法】求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围． 【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f （2）的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f （2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D ．易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．2．要注意对于在区间[a ，b]上的连续函数f(x)，若x 0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a ，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<，如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间[],a b 上是一个单()f x ()f x调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f ．②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>． V ．举一反三·触类旁通【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D()f x ()f x ()f x ()f x ()f x【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围．【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D ．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->，若函数()()2h x f x m x =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【答案】AA （0，﹣2），B （3，1），C （4， 0），则g （x ）的图象介于直线AB 和AC 之间，介于k AB ＜m ＜k AC ，可得12＜m ＜1．故答案为：（12，1）． 点睛:函数h （x ）=f （x ）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f （x ）﹣mx +2=0有三个不同的实根，可令y=f （x ），y =g （x ）=mx ﹣2，分别画出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m 的范围．【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣32=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+32，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1＜t2＜2，即有f（x）=0有一根；1＜f（x）＜2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得F（x）=0的实根个数为4，即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣32的零点个数是4．【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．【答案】令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根∴关于的方程在和上各有一解∴，解得，故答案为【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则()abf c 的范围为__．【答案】（1，2）0a b c ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()21122c f c c c+==+，()112f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，． 【名师点睛】画出函数()f x 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里2log x 由的图象和计算得1ab =，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下c ，由反比例即可求出结果．【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数()ln 1||f x x =-， ()f x m -的四个零点1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且12341111k x x x x =+++，则()kf k e -的值是__________． 【答案】2e -【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>，把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和n S =__________．【答案】()12n n -【解析】当01x <≤时，有110x -<-≤，有()()1112x f x f x -=-+= ， 当12x <≤时，有011x <-≤ ，有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时，有112x <-≤ ，有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时，有213x <-≤ ，有()()31123x f x f x -=-+=+依次类推，当()1n x n n N <≤+∈时，则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ，所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ，故21n a n +=+ ，所以通项公式1n a n =-， ()12n n n S -=．【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前n 项的和．【例10】【2018江苏南通如皋第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦，【例11】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．【例12】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数()y f x =零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 【跟踪练习】1．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D()118sin24sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当2x ππ<≤时， 022x ππ<-≤，据此可得：()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时， 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而445log log 414π<=， 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点， 很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．【2018江西上饶高三下学期一模】已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 【答案】A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()g x递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．3．【201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】程()()33e f f x =的根的个数为3，故选C ．【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．4．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤，若方程()()200f x a x a a -+=≠有唯一解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由图可知： 13a ≤． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．5．【2018山西45校高三第一次联考】已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦之间时， y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点，设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=--⎪⎝⎭，解得02x =，故14AB k =-，又2111ACe ee e k e e+---==，所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解，实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．6．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________．【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】因为1234342x x x x x x +++=-++，所以，故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．【2018河郑州一中模拟】已知函数()222,0{2,0x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式()()220fx a f xb ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】38a <≤【解析】画出()f x 的图象如图所示当()0f x =时，得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为， 20b -< 若b 0≠，则此时有两解x 0=或x 2=，违背题意， 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>，则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解． 结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-，可得3a 8<≤若a 0<，则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=，可得3a 1-≤<-综上， 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．【2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数()22,0{,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8]满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 9．【2018浙江温州一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________． 【答案】单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是，故答案为．10．【2018湖南永州高三上学期一模】定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>，()f x x =， ()224g x x x =--，若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-⋃+∞【解析】11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知()22,{ 2,x x af x x x a -≥=+<，若函数()1lng x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[][)1,23,-⋃+∞ 【解析】设()1h ln x x x =+，则()21h?x x x-=，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1∞+，上单调递增，所以()()h h 11x ≥=且x ∞→+， ()h x ∞→+，故问题转化为方程()f x a =在)[1 ∞+，上有解，（1）若a 1≤，则)x [1 ∞∈+，时， ()()2211a 12f x x =-≥--≤≤，所以；若a 1>，则)x [1 a ∈，时， ()2f x x =+，此时322x a ≤+<+．由a 1>及32a a ≤<+可得a 3≥；当)x [ a ∞∈+，时，()2222f x x a =-≥-，由a 1>及2a 2a ≥-可得1a 2<≤，综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．【2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考】若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．【2018山东齐河晏婴学校一模】已知()1x f x e =-，又()()()()2g x f x tf x t R =-∈，若满足()1g x =-的x 有三个，则t 的取值范围是__________．【答案】()2,+∞【解析】由题意作函数()1xf x e =-的图象：【名师点睛】本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数()1xf x e =-的图象，令()m f x =，由图求出m 的范围，代入方程()1g x =-化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，求出t 的取值范围．14．【2018浙江名校协作体上学期考试】已知函数()()22,0{ ,14,0x x f x xln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________．【答案】4个【解析】函数 ()f x 图像如图所示， ()22424t x x x =-=-- ，由图15．【2018河南郑州一中模拟】已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=，当(]0,1x ∈时， ()2f x x = ，当(]1,0x ∈-时，()()221f x fx +=+，若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】()0,627-【解析】当(]1,0011x x ∈-⇒<+≤时，则()11f x x +=+，故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时，则()()222f x x -=-，故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时，则()()()()2222224213f x f x f x f x⎡⎤⎢⎥=--=--=-⎢⎥-+-⎣⎦，又因为()2,3031x x ∈⇒<-<，所以()33fx x -=-，则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-，(](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈，画出函【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解，可求得627t =-，通过数形结合，求得当0627t <<-时，函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点，即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点． 16．【2018江苏南京师范大学附属中学模拟】函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>其中0t >，若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．【答案】()3,4【解析】314{ 34127t t t<⇒<<>时，两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点，应填答案()3,4． 【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。
千题百炼高考数学个热点问题一 第炼 复合函数零点问题
第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2xf x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =⇒=⇒=，则x ∈∅当()2222xt f x =⇒=⇒=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第17炼-函数的极值-Word版含解析
第17炼 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点 极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
2016届高考数学100个热点问题之千题百炼(1)第1炼命题形式变化及真假判定
第1炼 命题形式变化及真假判定一、基础知识： （一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2、p q ∨，p q ∧（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧ 3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。
而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。
4、全称命题：真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题例1：命题“若方程20ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ） A. “若0ac >，则方程20ax bx c -+=的两根均大于0” B. “若方程20ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤” C. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根均不大于0” D. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根不全大于0”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac >”的对立面是“0ac ≤”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D 选项正确 答案：D例2：命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）A ． 存在2,20x Z x x m ∈++> B ．不存在2,20x Z x x m ∈++>C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤D ．对任意2,20x Z x x m ∈++>思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化222020x x m x x m ++≤→++>，但x 所在集合不变。
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炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设y = /(/), f = g(x)，且函数g(x)的值域为/⑴定义域的子集, 那么y 通过f的联系而得到自变量x的函数，称〉，是x的复合函数，记为〉，= /[g(x)]2、复合函数函数值计算的步骤：求y = g[/(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知/(X)=2\^(A)= X2-X»计算g[/(2)]解：/(2) = 22 = 4 (2)] = (4) = 123、己知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求*的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知/(x) = 2\ g(x) = x2-2x,若g [/(x)] = 0, 求x解：令/ = f(x),贝ljg(/) = o=>/2_2z=o解得/ = 0,/ = 2当/=0亠/*(兀)=0=>2"=0,贝Ijxe0当/=2»(x) = 2=>2”=2,贝ljx = l综上所述：x = 1由上例可得，要想求出g[/(X)] = O的根，则需要先将/(X)视为整体，先求出/(X)的值，再求对应X的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义: 4、函数的零点：设/(x)的定义域为D,若存在x°wD,使得/(々)=0,则称x = x0为门对的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g[/(x)] = O根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于/(X)的方程，观察有儿个几刃的值使得等式成立；第二层是结合着第一层/(工)的值求出每一个/(工)被儿个兀对应，将兀的个数汇总后即为g[/(x)] = 0的根的个数6、求解复合函数y = g[/(x)]零点问题的技巧：(1) 此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像(2) 若己知零点个数求参数的范围，则先估计关于几兀)的方程g[/(x)] = O 中/⑴解的个数，再根据个数与的图像待点，分配每个函数值£(x)被儿个X 所对应，从 而确定ZG)的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题[丄®例1：设定义域为R 的函数/(A-)= Ix-lp-,若关于兀的方程f(X ) + bf(X )+C = O 由l,x = l3个不同的解“宀,心，则对+城+玮= ________思路：先作出几刃的图像如图：观察可发现对于任意的儿，满足y 0=/(x)的X 的个 数分别为2个(儿＞0,儿知)和3个(儿= 1),已知有3个解，从而可得/(x) = l 必 为严(x) +M(x) + c = 0的根，而另一根为1或者是负数。
所以/(x,) = l,可解得： X] = 0,兀2 = 1,心=2 ,砂 | 以 X|~ + + Xj = 5答案:5例2：关于x 的方程(X 2-1)2-3|X 2- 数是().4C.思路：可将|x 2-l|视为一个整体，即/(A-) = |.r 2-l|,则方程变为尸_引+ 2 = 0可解得：/ = 1或/ = 2,则只需作出r(x) = |x 2-l|的图像，然后统计与ul 与心2的交点总数即可，共 有5个 答案:C+ 2 = 0的不相同实根的个例 3：已知函数/(x) =lx + -l-lx--l,关于x 的方程/2(x) + f/|/Cr)| + Z? = O (a 、bwR) X 恰有6个不同实数解，贝仏的取值范围是.思路：所解方程 f 2(x) + a\f(x)\ + b = O 可视为 |/(A-)|?+tz|/(x)| + /7 = 0,故考虑作出 |/(x)|答案：-4 <a <-2程6[/(X)]2-/(x)-l = O 的实数根个数为()6 7 89思路：已知方程6[ f (X)]' - f (A ) -1=0可解，得/i(x) = *,/j(x) =-斗，只需统计y=^y=~与)，=/(A )的交点个数即可。
可先做出x>0的图像，x>2时，/(x) = |/(x-2),则 xe(2,4]的图像只需 乙 xw(O,2]的图像纵坐标缩为一半即可。
正完成后可再利用奇函数的性质作岀负半轴图像。
通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例4：已知定义在上的奇函数，当x>0时,2M -hO<x<2心｝(-)心’则关于加由奇函数半轴图像-a =fi(x) + f 2 (x) e (2,4),解得-4 < a <-2图，由例5：若函数f(x) = x i+ax2+bx+c有极值点x Xy x2,且f{x}) = x l9贝!I关于兀的方程3(/(刃『+2妙(x)+b = O的不同实根的个数是()A. 3B- 4 C. 5D. 6思路:f (x) = 3x2+2^ + b由极值点可得：召宀为3x2+2ax + b = 0①的两根，观察到方程①与3(f (A-))2+2af (x) + b = 0结构完全相同，3(/(x))2+2af (x)+b = O的两根为fi(x) = x l,f2(x) = x2f其中 /!(%!)= %,,若JV,<x2, 加是极大值点，勺是极小值点。
且fl (x)=七 > 州=/(册)，所以y = /；(A-)与/(兀)有点，而Z(x)与f(x)有一个交点，共计3个；為>x2,可判断出£是极小值点，心是极大值点。
且力(刃=吃v兀［=f (州)，所以y = /| (x) 与/(工)有两个交点，而人(兀)与/(兀)有一个交点，共计3个。
综上所述，共有3个交答案:A可判断出所以可得例6：己知函数/(X)=|X2-4.V +3| ,若方程［/(A)］2+/V(X)+ C =O恰有七个不相同的实出f(A)的解出2个以答案:B例7：己知函数心)=也，若关于x 的方程严⑴-吋⑴+加-1=0恰有4个不相等的 e 实数根，则实数加的取值范围是()j-.2 U(2«) e—y x ＞ °,分析门耳的图像以便于作图, v0£/(x)=(l-x)e-\从而于(x)在(0,1)单调递增,在调递减，/(1)=-，且当xTP,yT0,所以X 正半轴为水平渐近线；当兀＜0时, e/(x) = (x-lXS 所以/⑴在(Y ,0)单调递减。
由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于/(X)的方程/2(x) -mf (x) +加一 1 = 0中, 如十扌/⑴寸卜* 从而将问题转化为根分布问题，设/=/(%),则小炼有话说：本题是作图与根分如综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和 关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数/(小=贝ij 下列关于函数y = /(/(x)) + l 的零点个数判断 log 丁 xx ＞ 0 正确的是()A •当。
＞0时，有4个零点；当。
＜0时，有1个零点B •当a ＞0时，有3个零点；当。
＜0时，有2个零点思路:xXO时，(1,+O0)t 1 一 mt + m -1 = 0的两根人则有z1、解得加w 1J +- eg(0)>0 [/；7-1>0答案：CC ・无论“为何值，均有2个零点 D.无论"为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程/[y(x)] = -l 的解的个数，先作出/(X)的图像，直线y = ax + \为过定点(0,1)的一条直线，但需要对“的符号进行分类讨论。
当“>0时，图7 1像如图所示，先拆外层可得(x) = --<0J ；⑴=丄，而(%)有两个对应的x 」(x)也 a 2有两个对应的x,共计4个；当d<0时，f(x)的图像如图所示,先拆外层可得/(X)=—,2且/(x) =丄只有一个满足的X,所以共一个零点。
结合选项，可判断出A 正确2答案:A(1V例9：己知函数/(X ) = X 3-3X 2 + 1,^(A -) = U 2) '',则方程g[/(x)]-d=0 (a—(x + 3)+l,xS0为正实数)的实数根最多有 ___________ 个 思路：先通过分析/(^),^(x)的性质以便于作 f (x) = 3x 2 - 6x = 3x(x - 2),从而 / (A )在 (Y ,0),(2,P )单增，在(0,2)单减,且/(0) = 1,/(2) = -3, g(x)为分段函数,作出每可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选 对应x 较多的情况，由/(工)图像可得，当y(x)w(-3,l)时，每个几刃可对应3个兀。
只需 g ")] = °中，f (x)能在(-3,1)取得的值的个 察g(x)图像可得，当时，可以有2个/(x)e(-3,l),从而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个例10：已知函数y = f(x)和〉，= g(x)在[-2,2]的图像如下,给出下列四个命题:(1) 方程/[g(x)] = O 有且只有6个根图,段图像即 取/(龙)能判断 数即可，观(2)方程g[/(x)] = O有且只有3个根(3)方程/[/(%)] = 0有且只有5个根(4)方程g[g(x)] = O有且只有4个根则正确命题的个数是().2 C.思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出兀的总数。
(1)中可得(x) e(-2,-l),g2 (x) = O,^3(x) e(l,2),进而&(x)有 2 个对应的x, g2(x)有3个，丛(小有2个，总计7个，(1)错误；(2)中可得/,(x)e(-2,-l)^(x)e(OJ),进而久(兀)有1个对应的x, £(刃有3个,总计4个，(2)错误；(3)中可得/I(x)e(-2,-l),/^(x) = 0,/?(x)e(l,2),进而土(兀)冇 1 个对应的x, £(x)有3个，厶(兀)有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得：(x)e(-2,-1),g2(x)e(0,1),进而&(x)有2个对应的x ,勺(兀)有2个,共计4个，(4)正确则综上所述，正确的命题共有2个答案:B。