空间插值

将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算 出所有的系数。
16个点
样条函数
Kriging插值
Kriging 插值方法在空间相关范围分析的基础上，用相关 范围内的采样点来估计待插点属性值。 （1）数据检验与分析，删去明显偏离实际的采样数据点。 （2）数据预处理。 （3）绘制方差图，了解空间变量的集聚范围与方向。 （4）克里金插值估计。 相对来说，克里金插值则能较好地反映各种地形变化，但 克里金方法的计算量很大，因此在对大面积区域大数据量 内插时，这是一个不能不考虑的因素。
测量怎么拟合？
●测量数据是二维的，所以需要用二维的 拟合方式。
二元二次或高次多项式：
自然表面的拟合要求
●多数自然现象的分布比较复杂，即比一次 趋势面生成的倾斜面更加复杂。因此，拟合 更加复杂的面要求用更高次的趋势面模型。 比如三次趋势面模型。
z b b x b y b x2 b xy b y 2 x, y 0 1 2 3 4 5 b x3 b x 2 y b xy2 b y3 6 7 8 9
h为各点之间距离，n 是由h 分开的成对样本点的数量，z 是点的属性值。 2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵 轴代表半方差。半方差图中有三个参数nugget（表示距离为零时的半方差）,sill （表示基本达到恒定的半方差值）,range(表示一个值域范围，在该范围内半方 差随距离增加，超过该范围，半方差值趋于恒定)。利用做出的半方差图找出与 之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括 高斯模型、线性模型、球状模型、指数模型、圆形模型
面来逼近(或拟合)现象的实际表面——这种数
学表面叫趋势面。
总之，趋势面分析就是用多项式方程来近
似的拟合已知数据的点（Davis1986，Bailey
等1995）。利用已知数据建立的拟合方程叫趋
势面模型，能够用来估算其它点的数值。
趋势面分析基本思想
趋势面分析法是一种多项式回归分析 技术。多项式回归的基本思想是用多 项式表示线或面，按最小二乘法原理 对数据点进行拟合，拟合时假定数据 点的空间坐标 X 、 Y 为独立变量，而表 示特征值的Z坐标为因变量。
第2步：改写为矩阵形式
n x y
b z x y x xy b xz xy y b yz
0 2 1 2 2
第3步：代入统计值
377 318 b0 67.270 5 377 29007 23862 b 5043 . 650 1 .800 318 23862 20714 b2 4445
趋势面分析示例
0号站点的未知值由其周围的具有已知值的5个站点插值。
已知数据
站点 X Y Z值
1
2 3 4 5
69
59 75 86 88
76
64 52 73 53
20.820
10.910 10.380 14.600 10.560
0
69
67
？
趋势面分析过程
第一步：建立如下三个法方程；
第二步：改写为矩阵形式；
第三步：用5个已知点的数值，计算出统计 值并将代入方程； 第四步：求解； 第五步：插值。
第1步：写出法方程式
z b n b x b y
0 1 2
2 xz b x b x b2 xy 0 1
2 yz b y b xy b y 0 1 2
一维趋势面分析1
一维数据的线性回归：
一维趋势面分析2
一维数据的二次或高次多项式：
测量上的一阶趋势面模型
线性或一阶趋势面模型：
zx, y b0 b1x b2 y
这里的特征值z是x，y的函数。 系数b由控制点（已知数据）估算。
因为趋势面模型至少需要二阶方程，其拟合程度可用相关系 数来确定（R2）。而且，每个已知观测点观测值和估算值之先假定任何重要的变化都 发生在区域的边界上，边界内 的变化则是均匀的、同质的。
■边界内插的方法之一是泰森 多边形法。 ■泰森多边形法的基本原理是， 未知点的最佳值由最邻近的观 测值产生。
二、趋势面分析法定义
趋势面分析法是用一定的函数对空间现象的空
间分布特征进行分析，用函数所代表的数学表
空间插值
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲， 它包括内插和外推两种算法。前者是通过已知点的数据计算同 一区域内其他未知点的数据，后者则是通过已知区域的数据， 求未知区域的数据。通常，在以下几种情况下要做空间插值： ●现有数据的分辨率不够，如遥感图象从一种分辨率转换到另 一种分辨率。 ●现有数据的结构与所需结构不同，如将栅格数据转换到TIN 数据。 ●现有数据没有完全覆盖整个区域，如只有一些离散点数据。 需要进行空间插值处理的原始数据包括：航片/卫片、野 外测量采样数据、等值线图等。
p0 10.094 0.02* 69 0.349* 67 14.67
三、局部内插
●利用局部范围内的已知采样点的数据内 插出未知点的数据。
具体方式： 1、线性内插；
2、双线性多项式内插；
3、双三次多项式(样条 函数)内插。
1、线性内插
将内插点周围的3个数据点的数 据值带入多项式，即可解算出 系数a0、a1、a2 。
2、双线性多项式内插
■当数据是按正方 形格网点布置:
将内插点周围的4 个数据点的数据 值带入多项式， 即可解算出系数 a0、a1、a2、a3 。
3、双三次多项式内插
●是一种分段函数,每次只用少量的数据点，故内 插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可 用于精确的内插；可用于平滑处理。 ●双三次多项式内插的多项式函数为：
kriging 插值作为地统计学中的一种插值方法由南非采矿工程师D.G.Krige于 1951年首次提出，是一种求最优、线形、无偏的空间内插方法。在充分考虑观 测资料之间的相互关系后，对每一个观测资料赋予一定的权重系数，加权平均 得到估计值。 这里介绍普通Kriging插值方法的基本步骤：1.该方法中衡量各点之间空间相 关程度的测度是半方差，其计算公式为：
Beijing Normal University
第4步：求解趋势面模型系数
b0 10.094 b 0.02 1 b 0 . 347 2
第5步：插值
0号站点的未知值可用这些系数来估算：
p0 10.094 0.02x 0.349y
代入0号站点的坐标值，得：
空间插值
空间数据处理
人们可以根据不同的使用目的，对
空间数据进行提取和分析，以得到深层次
的信息，特别是对于观测和取样数据。
空间分析
基本的空间分析包括以下方面： 空间查询 简单的空间分析 空间量算 缓冲区分析 叠加分析 网络分析 复杂的空间分析 空间统计分析 空间插值 数字高程模型（数字地形模型） 面向应用的分析 空间建模与空间决策支持系统
外推
内插
空间插值的理论假设
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越
可能具有相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似
的可能性越小。空间插值方法正是依据该假设设计的，分 为整体插值方法和部分插值方法两类。 ●整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区 域特征拟合，如边界内插法、趋势面分析等。 ●部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值， 如最邻近点法、移动平均插值方法(距离倒数插值法)、样 条函数插值方法、空间自协方差最佳插值方法(克里金插
插值方法对比
方法 距离反比加权法 插值能力 分布均匀时好 逼近程度 差 运算能力 快 适用范围 分布均匀
最近邻点插值法
不高
强
快
分布均匀
三角网线性插值
高
差
慢
分布均匀 分布密集 时候 均可
样条函数
高
强
快
克里金插值
高
强
慢
内插和外推
内插:在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程；
外推:在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程——预测。