高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书

第2课时导数与函数的极值、最值
题型一用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案(1)C (2)D
解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.
(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2<x<1时，f′(x)<0；
当1<x<2时，f′(x)<0；
当x >2时，f ′(x )>0.
由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值
例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a
e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．
解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a
e x .
又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－a
e ＝0，解得a ＝e. (2)
f ′(x )＝1－a
e
x ，
①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x
＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，
在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．
综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；
当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数
例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.
(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a
2x 2
＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取
值范围是( ) A ．(2，5
2)
B ．[2，5
2)
C ．(2，10
3)
D ．[2，10
3
)
答案 (1)－7 (2)C
解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9，
经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.
(2)若函数f (x )在区间(1
2
，3)上无极值，
则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2
－ax ＋1≤0
恒成立．
当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，10
3)；
当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2
－ax ＋1≥0，
即a ≤x ＋1
x
恒成立，a ≤2；
当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2
－ax ＋1≤0，
即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥10
3
.
因此要使函数f (x )在(1
2，3)上有极值点，
实数a 的取值范围是(2，10
3)．
思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；
③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．
(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
(1)函数f (x )＝(x 2
－1)2
＋2的极值点是( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝1或－1或0
D ．x ＝0
(2)函数y ＝2x －1
x
2的极大值是________．
答案 (1)C (2)－3
解析 (1)∵f (x )＝x 4
－2x 2
＋3，
∵由f ′(x )＝4x 3
－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得
x ＝0或x ＝1或x ＝－1.
又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，
∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2
x
3，令y ′＝0，得x ＝－1.
当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二 用导数求函数的最值
例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x
＋ln x －1.
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1
x
＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，
所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1
x
2，x ∈(0，＋∞)．
因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1
4.
又f (2)＝ln 2－1
2
，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝1
4(x －2)，即x －4y ＋4ln 2
－4＝0.
(2)因为f (x )＝a
x
＋ln x －1，
所以f ′(x )＝－a x
2＋1x
＝x －a
x
2，x ∈(0，e]．
令f ′(x )＝0，得x ＝a .
①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .
③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值a
e
.
综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为a
e .
思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；
(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
设函数f (x )＝x 3
－x 2
2
－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数
a 的取值范围是________________．
答案 (－∞，7
2
)
解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2
－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2
－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－2
3，
又f (1)＝72，f (－23)＝157
27
，
f (－1)＝11
2
，f (2)＝7，
故f (x )min ＝72，∴a <7
2
.
题型三 函数极值和最值的综合问题
例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－x 3
＋x
2
x ，
a ln x x
(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．
解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2
＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2
3
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↘
↗
↘
故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝2
3
.
(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，2
3]上单
调递增．
因为f (－1)＝2，f (23)＝4
27，f (0)＝0，
所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；
当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.
思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
若函数f (x )＝13x 3＋x 2
－23
在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围
是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)
答案 C
解析 由题意，得f ′(x )＝x 2
＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，
在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，
令13x 3＋x 2－23＝－2
3
得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，
⎩⎪⎨⎪⎧
－3≤a ＜0，a ＋5>0，
解得a ∈[－3,0)．
3．利用导数求函数的最值
典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．
思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答
解 (1)f ′(x )＝1
x
－a (x >0)，
①当a ≤0时，f ′(x )＝1
x
－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．
[3分]
②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1
a
，
当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax
x
>0；
当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x
<0，
故函数f (x )的单调递增区间为⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a ，
单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞.
[5分]
综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞.
[6分]
(2)①当1
a
≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)
＝ln 2－2a . [7分]
②当1a ≥2，即0<a ≤1
2时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝
－a .[9分]
③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，
所以当1
2<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；
当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .
[13分]
综上可知，
当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .
[15
分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；
第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；
第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.
1．函数f (x )＝13x 3
－4x ＋4的极大值为( )
A.283 B ．6 C.26
3 D ．7 答案 A
解析 f ′(x )＝x 2
－4＝(x ＋2)(x －2)，
f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝28
3
.
2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3
－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D
解析 ∵f (x )＝x 3
－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.
当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.
3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2
－ln x 的最小值为( )
A.1
2 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 A
解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2
－1
x
且x >0.
令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.
∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，
f (1)＝1
2－ln 1＝12
.
4．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案 B
解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2
－4×3(a ＋6)>0，即a 2
－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.
*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )
A ．－8122 B.1
3 C ．2 D ．5
答案 C
解析 由已知可得f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由3ax 2
＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0， 且－2,3是方程3ax 2
＋2bx ＋c ＝0的两根， 则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c
3a ＝－6，
∴b ＝－3a
2
，c ＝－18a ，
此时f (x )＝ax 3
－3a 2
x 2－18ax －34，
当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，
∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a
2－54a －34＝－115，
解得a ＝2，故选C.
6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >1
2
)，当
x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )
A.14
B.13
C.1
2 D ．1 答案 D
解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a
，
当0<x <1
a
时，f ′(x )>0；
当x >1
a
时，f ′(x )<0.
∴f (x )max ＝f (1
a
)＝－ln a －1＝－1，
解得a ＝1.
7．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18
D ．17或18
答案 C
解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，
∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.
8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．
答案 (22
，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，
由f ′(x )＝0得x ＝±a ，
当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；
当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．
∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，
解得a >22
. ∴a 的取值范围是(
22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13
，则实数m 的值为________．
答案 2
解析 由f (x )＝13
x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2
－2x －1，
令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.
当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，
即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，
即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，
所以13－1－1＋m ＝13
，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2
－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．
答案 －4
解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.
即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.
由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值．
解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，
所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x
. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为
y －16a ＝(6－8a )(x －1)，
由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12
. (2)由(1)知，f (x )＝12
(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .
令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.
当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，
故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．
由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92
＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.
综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92
＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.
12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12
相切． (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在[1e
，e]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a x
－2bx ，
∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.
(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12
x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x
， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e
≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，
∴f (x )在[1e
，1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，
∴f (x )max ＝f (1)＝－12
. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．
(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；
(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．
解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，
得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x
. ∵a ＝1，b ＝－1，
∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋
x －x (x >0)．
令f ′(x )＝0，得x ＝1.
当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；
单调递增区间是(1，＋∞)．
(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值， 即x ＝1是f (x )的极值点，
∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，
则g ′(x )＝1－4x x
. 令g ′(x )＝0，得x ＝14
. 当0<x <14
时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x >14
时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14
＝1－ln 4<0，
∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 故ln a <－2b .。