第四讲+简单的三角恒等变换 课件——2025届高三数学一轮复习

【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
1－cos α 2.
(2)cos α2＝± (3)tan α2＝±
1＋cos α 2.
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnoαs
α＝1－sincoαs
α .
以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定.
考点一 三角函数式的化简 1.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝________.
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第四讲 简单的三角恒等变换
1.辅助角公式的应用 (1)a sin α＋b cos α＝ a2＋b2sin α· a2a＋b2＋cos α· a2b＋b2， 不妨记 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2， 则 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝ a2＋b2sin (α＋φ).
答案：B
考向 3 给值求角
[例 3]已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝21，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ ＝1＋12－12×17 17＝13＞0， ∴0＜α＜π2.
(2)三角函数式化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂. ②在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基
本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
考点二 三角函数式的求值 考向 1 给角求值
[例
1](1)cos
cos40° 25° 1－sin
40°＝(
)
A.1
B. 3
解析：由已知可得 tan α＋1π2＝－2，∵α 为第二象限角，
∴sinα＋1π2＝2 5 5，cosα＋1π2＝－ 55，则 sinα＋56π＝－sin α－π6＝
－sin
α＋1π2－π4＝cos
α＋1π2sin
π4－sin
α＋1π2cos
π4＝－3
10 10 .
答案：－3 1010
3.sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos 2β 的值为________.
即 sin2α2＝3－8
5＝(
5)2＋12－2 16
5＝(
5－1)2 16 .
∵α 为锐角，∴sin α2>0.∴sin α2＝－1＋4 5.故选 D.
答案：D
(2)(2023 年全国Ⅰ卷)已知 sin (α－β)＝13，cos αsin β＝61，则
cos (2α＋2β)＝( )
7 A.9
1 B.9
又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2. ∴tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1.
∵tan β＝－17＜0， ∴π2＜β＜π. ∴－π＜2α－β＜0. ∴2α－β＝－34π. 答案：－34π
答案：－18
考向 2 给值求值
[例 2](1)(2023 年全国Ⅱ卷)已知 α 为锐角，cos α＝1＋4 5，则
sin α2＝( )
3－ 5 A. 8
－1＋ 5 B. 8
3－ 5 C. 4
－1＋ 5 D. 4
解析：cos α＝1＋4 5，则 cos α＝1－2sin2α2.
故 2sin2α2＝1－cosα＝3－4 5，
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－sin
20°·cos
20°·cos 40°·cos sin 20°
80°
＝－12sin
40°·cos 40°·cos sin 20°
80°
1 ＝－4sin
80°·cos sin 20°
1 80°＝－8ssiinn
160° 20°
＝－18ssiinn2200°°＝－18.
C.－19
D.－79
解析：因为 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13， cos αsin β＝16，所以 sin αcos β＝21. 所以 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12＋16＝23. 则 cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×49＝19.故选 B.
解析：原式＝2×21(c4socisnosπ44π4x－－－xx4c·ocos2sx2＋π4－1)x＝4sin(4π2－coxs2cxo－s 1)π42－x ＝2sicno2πs2－2x2x＝2ccoos2s22xx＝12cos 2x.
答案：21cos 2x
2.已知 α 为第二象限角，且 tan α＋tan 1π2＝2tan αtan 1π2－2， 则 sin α＋56π＝________.
解析：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝
sin2αsin2β
－
cos2αcos2β
＋
cos2α
＋
cos2β
－
1 2
＝
sin2αsin2β
＋Байду номын сангаас
cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
答案：21
【题后反思】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
C. 2
D.2
解析：原式＝cos2c5o°s(2c2o0s°2－0°s－in2s2i0n°20°)＝cos
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2.
答案：C
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝__________.
解析：cos 20°·cos 40°·cos 100°