高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案 新人教A版选修4-1-新

四 直角三角形的射影定理
[学习目标]
1.通过实践，结合生活中的实例，理解点在直线上的正射影，线段在直线上的正射影的概念.
2.理解射影定理，能应用定理解决相关的几何问题. [知识链接]
已知：如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D .
(1)图中有几条线段？
(2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？
(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？ 提示 (1)6条，分别记为AB ，AC ，BC ，CD ，AD ，BD .
(2)由图中△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，可分别写出三组比例式：CB AB ＝BD BC ＝
CD AC ；CB AB ＝BD BC ＝CD AC ；AC AB ＝CD BC ＝DA
CA
.
(3)只有三个比例中项的表达式：
CD BD ＝AD CD ，CB AB ＝BD BC ，AC AB ＝DA CA
. 可得到等积式：CD 2
＝AD ·BD ，BC 2
＝BD ·BA ，AC 2
＝AD ·AB . [预习导引] 1.射影
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫作这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫作这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
2.射影定理
文字
语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是
它们在斜边上射影与斜边的比例中项
符号
语言
在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝BD·AD；AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA
图形
语言
作用确定成比例的线段
要点一射影的概念
例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.求：
(1)线段AD在直线BC上的射影长；
(2)线段DC在直线BC上的射影长；
(3)线段BC在直线DC上的射影长.
解(1)过D作DD1⊥BC于D1，则BD1就是线段AD在直线BC上的射影，如图所示，
∵四边形ABD1D为矩形，∴BD1＝AD＝1，
∴线段AD在直线BC上的射影长为1.
(2)由(1)的作图知，D1C即为线段DC在直线BC上的射影.∵DD1＝AB＝2，∠DCB＝60°，
∴D1C＝
D1D
tan 60°
＝
2
3
＝
23
3
.
∴线段DC在直线BC上的射影长为
23
3
.
(3)过B作BB1⊥DC于B1，则B1C就是线段BC在直线DC上的射影，如图所示.
∵BC ＝BD 1＋D 1C ＝1＋23
3
，
∴B 1C ＝BC ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋233×12＝1
2＋33.
∴线段BC 在直线DC 上的射影长为12＋3
3.
规律方法 (1)射影实质上就是平行投影.
(2)当线段AB 所在直线与直线l 平行时，设其在l 上的射影为A 1B 1，则有AB ＝A 1B 1，如图(1)所示 ；当线段AB 所在直线与直线l 不平行且不垂直时，设其在l 上的射影为A 1B 1，则有AB >A 1B 1，如图(2)所示；当线段AB 与直线l 垂直时，线段AB 在l 上的射影是一个点A 1，如图(3)所示.
跟踪演练1 如图所示，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，指出点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 和线段AB ，AC ，AF ，
FG 在直线BC 上的射影.
解 由AD ⊥BC ，EF ⊥BC 知：A 在BC 上的射影是D ；B 在BC 上的射影是B ；C 在BC 上的射影
是C ；E ，F ，G 在BC 上的射影都是E ；AB 在BC 上的射影是DB ；AC 在BC 上的射影是DC ；AF 在BC 上的射影是DE ，
FG 在BC 上的射影是点E .
要点二 与射影定理有关的计算问题
例2 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长.
解 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2
＝AD 2
＋BD 2
，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°，∴∠C ＋∠B ＝90°.
∴∠BAC ＝90°.∴在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理可知，AD 2
＝BD ·CD ， ∴62
＝8×CD ，∴CD ＝92
.
规律方法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)运用射影定理进行相关计算时，常常还要与直角三角形的其他性质相结合，如三角函数、面积公式、勾股定
理等.
跟踪演练2 如图所示，△ABC 中，AB ＝m ，∠A ∶∠B ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D .求BD ，
CD 的长.
解 设∠A ＝x ，∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x ，由∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠ACB ＝90°. ∵AB ＝m ，∴BC ＝12
m .
又∵CD ⊥AB ，∴BC 2
＝BD ·AB ， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m 2
＝BD ·m ，∴BD ＝14m . ∴AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝3
4
m .
由CD 2
＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .
∴BD ＝14m ，CD ＝3
4
m .
要点三 与射影定理有关的证明问题
例3 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝5∶6，点E 在BC 上，点F 在CD 上，EC ＝1
6
BC ，
FC ＝35
CD ，FG ⊥AE 于点G .求证：AG ＝4GE .
证明 ∵AB ∶BC ＝5∶6， ∴设AB ＝5k ，BC ＝6k (k >0).
∴在矩形ABCD 中，有CD ＝AB ＝5k ，BC ＝AD ＝6k ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. ∵EC ＝1
6
BC ，
∴EC ＝1
6
×6k ＝k .∴BE ＝5k .
∵FC ＝35CD ，∴FC ＝3
5×5k ＝3k .
∴DF ＝CD －FC ＝2k .
在Rt △ADF 中，由勾股定理得AF 2
＝AD 2
＋DF 2
＝36k 2
＋4k 2
＝40k 2
， 同理可得AE 2
＝50k 2
，EF 2
＝10k 2
. ∴AF 2
＋EF 2
＝40k 2
＋10k 2
＝50k 2
＝AE 2
. ∴△AEF 是直角三角形.
∵FG ⊥AE ，由直角三角形的射影定理， 得EF 2＝GE ·AE .
∴AE ＝52k ，∴GE ＝EF 2AE ＝10k 2
52k
＝2k .
∴4GE ＝42k .
又∵AG ＝AE －GE ＝52k －2k ＝42k ， ∴AG ＝4GE .
规律方法 ①判断两线段的数量关系时，可设变量使之能表示线段，②在直角三角形中，一般考虑利用射影定理或勾股定理来做.
跟踪演练3 如图所示，BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线分别交BC 和BA 的延长线于
G ，H 两点，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .
证明 ∵∠H ＝∠BCE ，∠HBG 是△BCE 与△BHG 的公共角， ∴△BCE ∽△BHG .
又CE ⊥BH ，∴∠BEC ＝∠BGH ＝90°， 即HG ⊥BC .又BD ⊥AC ，在Rt △BDC 中，
DG 是斜边BC 上的高，
由射影定理得GD 2
＝BG ·CG .① 又∠FGC ＝∠BGH ＝90°，∠H ＝∠FCG ，
∴△FCG ∽△BHG ，∴FG BG ＝CG GH
.
即BG ·CG ＝FG ·GH .② 由①②可得GD 2
＝GF ·GH .
1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影.
2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.
3.直角三角形射影定理的逆定理
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.
1.在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( ) A.1.24 cm B.1.26 cm C.1.28 cm
D.1.3 cm
解析 由已知△ADE ∽△ABC ，
∴AD AB ＝DE BC ，∴DE ＝3.2×25
＝1.28. 答案 C
2.如图所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道几条线段的长，就可以求出其他线段的长( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 图中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道两条线段的长，就可以求出其
他线段的长. 答案 B
3.如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠ADE ＝1
3∠CDE ，则∠EDB ＝________.
解析 由已知△ADE ∽△DBA ， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠BDC ， 且∠ADE ＝1
3∠CDE ，
∴∠EDB ＝1
2∠ADC ＝45°.
答案 45°
4.已知线段a ，b (a <b )，求作：线段a ，b 的比例中项c . 解 如图所示.(1)作AB ＝b ； (2)在AB 上截取AD ＝a ； (3)过D 作DH ⊥AB ；
(4)以AB 为直径画半圆交DH 于C ，连接AC ，BC . 则AC 即为a ，b 的比例中项c .
一、基础达标
1.如图所示，在Rt △MNP 中，MN ⊥MP ，MQ ⊥PN 于点Q ，NQ ＝3，则MN 等于( )
A.3PN
B.13PN
C.3PN
D.9PN
解析 ∵MN ⊥MP ，MQ ⊥PN ，∴MN 2
＝NQ ·PN ，又NQ ＝3，∴MN ＝NQ ·PN ＝3PN . 答案 C
2.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD
CD
＝( )
A.3
4
B.43
C.169
D.
916
解析 如图，由射影定理得AC 2
＝CD ·BC ，AB 2
＝BD ·BC
∴AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169
. 答案 C
3.如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A.CE ·CB ＝AD ·DB B.CE ·CB ＝AD ·AB C.AD ·AB ＝CD 2
D.CE ·EB ＝CD 2
解析 在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2
＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2
＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB ，故选A. 答案 A
4.已知在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，若AD ＝p ，BD ＝q ，则tan A 的值是( ) A.p ∶q
B.pq ∶q
C.pq ∶p
D.p ∶q
解析 由已知可利用射影定理得：CD ＝PQ ，在Rt △ACD 中tan A ＝CD
AD ＝
pq p
. 答案 C
5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________. 解析 ∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝23，
由射影定理得：BC 2
＝CE ·AC ，∴CE ＝3
2
23
＝33
2.
又在Rt △BEC 中，cos ∠BCE ＝CE BC ＝
32
， ∴∠BCE ＝30°，∴∠ECD ＝60°， 由余弦定理可求DE 2
＝214.∴DE ＝212
.
答案
21
2
6.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，
CE ＝2，求AD 的长.
解 ∵CD ⊥AB ，即∠CDB ＝90°， ∵DE ⊥BC .由射影定理可知：
DE 2＝CE ·BE ＝12，∴DE ＝23， CD 2＝CE ·BC ＝16，∴CD ＝4，
∵BD 2
＝BE ·BC ＝48，∴BD ＝43，
在Rt △ABC 中，由射影定理可得：CD 2
＝AD ·BD ，
∴AD ＝CD 2BD ＝1643＝433
.
二、能力提升
7.如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BD ＝AB －1
2AC ，则∠BAC 等于( )
A.60°
B.30°
C.45°
D.75°
解析 ∵BD ＝AB －12AC ，∴AB －BD ＝12AC ＝AD ，又∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中，由AD ＝1
2AC ，则∠BAC
＝60°. 答案 A
8.如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD
＝________.
解析 如图，依题意有AB ＝5(cm)，连接CD ，则CD ⊥AB ，所以BC 2
＝BD ·AB ，所以BD ＝BC 2
AB
＝
16
5
(cm). 答案
165
9.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的面积比为________. 解析 由已知可设AD ＝2x ，则BD ＝3x ， ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，
由射影定理得：CD 2
＝AD ·BD ＝6x 2
，
∴CD ＝6x ，∴S △ACD ∶S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝23
. 答案 23
10.如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E . 求证：
(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3
＝BC ·BE ·CF ；
(3)AB 3AC 3＝BE CF
. 证明 (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝1
2BC ·AD ，
∴AB ·AC ＝BC ·AD .
(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，
由射影定理得BD 2＝BE ·AB .
同理，在Rt △ADC 中，DF ⊥AC ，
∴CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .
又在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，
∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BD 2·DC 2，
即AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC .
由(1)知AB ·AC ＝BC ·AD ，
∴AD 4＝BE ·CF ·BC ·AD ，∴AD 3＝BE ·CF ·BC .
(3)由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，∴BE ＝BD 2AB .① 又CD 2＝CF ·AC ，∴CF ＝CD 2
AC ，②
由①÷②得BE CF ＝BD 2AB ·AC
CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BD
CD 2·AC
AB .③
又∵AB 2＝BD ·BC ，∴BD ＝AB 2
BC ，
同理，AC 2＝CD ·BC ，∴CD ＝AC 2
BC ，
∴BD
CD ＝AB 2
AC 3.④
将④代入③得BE
CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 2AC 22·AC AB ＝AB 2AC 3，即AB 3
AC 3＝BE
CF .
11.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC . 解 在△ABC 中，设AC 为x ，
∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC .又FC ＝1，根据射影定理，
得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.
再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝1
2x 2.
又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE
AF ＝DC
AC ，
∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1
x .
在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
－1x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2x 22
＝12
，
∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝3
2，即AC ＝3
2.
三、探究与创新
12.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，S 2
△BCD ＝S △ABC ·S △ADC .求证：BD ＝AC .
证明 如图，∵S 2△BCD ＝S △ABC ·S △ADC ，即S △ABC S △BCD ＝S
△BCD S △ADC
，
∴AB ·CD BD ·CD ＝BD ·
CD
AD ·CD ，
即AB BD ＝BD
AD ，∴BD 2＝AB ·AD .
由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，
∴AC 2＝BD 2，即AC ＝BD .。