吉林省实验中学2019届高三下学期六次月考 数学(理)

吉林省实验中学2018-2019学年度上学期 高三年级数学（理科）第六次月考试题
第I 卷
一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分）
1．若
2+=
i i
z ，则复数z 在复平面内对应的点在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合
{}1lg |},0372|{2
<∈=<+-=x Z x B x x x A ，则阴影部分所表示的集合的元素个数 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．函数
()[]()
cos ,x f x xe x ππ=∈-的图像大致是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知平面向量2==→
→
b a ，且→
→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+b
b a 2，向量→→b a ,夹角为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．32π
D ．65π
5．过抛物线
x y 82=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB|等于 （ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
6．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是 （ ）
A ．3
3227
cm
B ．3
29cm
C ．3
329
cm D ．3
227
cm
7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的,2,2==n x
依次输入的a 为,5,2,2则输出的=s （ ） A ．6 B ．12 C ．17 D ．35 8．在区间[]4,2-内随机取出一个数
a ，使得{}02|12
2>-+∈a ax x x 的概率为
（ ）
A ．103
B ．32
C ．53
D ．21
9．O 为正方体1111D C B A A B C D
-底面A B C D 的中心，则直线O D 1与11C A 的夹角为 （ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
10．已知函数)0)(cos(2)sin()(πϕϕϕ<<+-+=x x x f ，的图像关于直线π=x 对称，则=ϕ2cos （ ）
A ．53
B ．53-
C ．54
D ．54-
11．已知点A 是抛物线)0(2:2>=p px y M 与圆2
22)4(:a y x C =-+在第一象限的公共点，且点
A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值
为a 2，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为 （ ）
A ．2
B ．32
C ．267
D ．2
37
12．已知函数x e ax x f ln )(+=与
x e x x x g ln )(2
-=
的图像有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围 （ ） A.e a -< B.1>a C.e a > D.3-<a 或1>a
第II 卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13．若变量
y x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-100
4x y x y x ，
则y x z -=2的最大值
为__________．
14．已知a 为常数，且⎰=2
02xdx
a ，则6
)(x a x -的二项展开式中的常数项为__________．
15.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）.
16．在ABC ∆中，三内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且3=b ，
B A A
C sin )cos 3(sin sin 3+=，AC 边上的高为h ，则h 的最大值为__________．
三、解答题（本大题共6个小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22-23小题为选考题，考生根据要求作答，每题10分） （一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）设数列
}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足
)1(23
-=
n n b S 且
2512,b a b a ==
（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n T 为数列}{n S 的前n 项和，求n T ．
18．（本小题满分12分）在正三角形ABC 中, ,,E F P 分别是,,AB AC BC 边上的
点,3=AB ,:::1:2AE EB CF FA CP PB === (如图1),将AEF ∆沿EF 折起到1
A EF ∆的位置,
使二面角
1A EF B --成直二面角,连接11,A B A P (如图2).
（Ⅰ） 求证:
1A E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求二面角1B A P F --的余弦值的大小.
19．（本小题满分12分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为43
；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为54
.每台仪器各
项费用如表：
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）； （Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记χ为生产两台仪器所获得的利润，求χ的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）已知动圆P
过定点(
)M
且与圆(2
2:16
N x y +=相切，记动
圆圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）过点
()
3,0D 且斜率不为零的直线交曲线C 于A ， B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得
直线,AQ BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数()22ln 2(0)
f x x mx x m =-+>
（Ⅰ）讨论函数
()
f x 的单调性；
（Ⅱ）当
2m ≥
时，若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于,A B 两点，其横坐标分别为
1212,()x x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且12,x x 恰为函数()2
ln h x x cx bx =--的零点，求
证：
()()1202
'ln23x x h x -≥-
+.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的方程为θρcos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直
角坐标系，直线l 经过点),6,5(M 且斜率为34。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于AB 两点，求MB
MA +的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)0(|12|||)(>-++=m x m x x f . （Ⅰ）当1=m 时，解不等式3)(≥x f ；
（Ⅱ）当[]
2
2,m m x ∈时，不等式|1|)(21
+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.
第六次月考参考答案
一．选择题
1. D 因为
i z 5251+=，所以i
z 5251-=-，故D 。

2. B 阴影部分表示B A ⋂，{}2,1,321|=⋂⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<<=B A x x A ，故选B 。

3. A ()()x f x f -=-，函数为奇函数，排除B,C ，()ππ
f f >)2(，排除D ，故选A 。

4．C 0)2(=⋅+→
→
→
b b a ，解得042=+⋅→
→b a ，则2-=⋅→
→b a ,
设向量→
→b a ,的夹角为θ，则：
2
1
|
|||cos -
=⋅⋅=
→
→→
→b a b
a θ，据此可得：
π
θ3
2=。

5．B 抛物线
28y x =的焦点为(2,0)F ，设A 、B 横坐标为,A B x x ；A 、B 中点到抛物线准线距离为4426;
2p
+
=+=A 、B 在准线上的射影为A B ''、；||||||||||2612.
AB AF BF AA BB ''=+=+=⨯=故选B 。

6．C 如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，
7．C ∵输入的3,2==n x ，当输入的a 为2时，2=s ，1=k ，不满足退出循环的条件；当再次输入的为2时，6=s ，2=k ，不满足退出循环的条件；当输入的a 为5时，17=s ，3=k ，满足退出循环的条件；故输出的s 值为17，故选C 。

8． D 由题意有2+a −a 2
>0，解得−1<a <2.由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=
.故选
D 。

9． A 推导出A 1C 1⊥BD ，A 1C 1⊥DD 1，从而D 1O ⊂平面BDD 1，由此得到A 1C 1⊥D 1O ．故选
A 。

10．A
)(2ππf f =⎪⎭
⎫
⎝⎛，即
ϕϕϕϕs i n 2c o s s i n 2c o s --=+，即
2
1
t a n -
=ϕ，
53
tan 1tan 1sin cos sin cos 2cos 2
22222=+-=+-=ϕϕϕϕϕϕϕ。

11．D ,2||||a CF CA =+最小距离和也为a 2，所以C ，A ，F 三点共线，且A 是线段CF 的中点，
),0,2(),4,0(p F C 所以)2,2(p A ，则22424=⇒⋅=p p
p ，所以
223=
a ，圆心C 到直线x y OA 22:=的距离为
34
3|40|=
-=
d 所求的弦长为
327)34(222=-a 。

12．B ,
ln ln ),()(2
x e x x x e ax x g x f -=+=整理得 ,
ln 11
ln x x e x x e a -
=+
0)1()1()(,ln )(2=---+===a t a t t m t x x e x h ,2')ln 1()(x x e t h -=,所以
h(x)在（0，e)上单调递增，在),(+∞e 上单点递减。

由⎩
⎨
⎧><,0)1(0
)0(m m 解得1>a 。

二．填空题 13.3
由z ＝2x ﹣y 得y ＝2x ﹣z ，
平移直线y ＝2x ﹣z ，由图象可知当直线y ＝2x ﹣z 经过点A （1，﹣1）时，直线y ＝2x ﹣z 的截距最小，此时z 最大．即z ＝2×1+1＝3． 14.240 15.240
16．23
根据正弦定理可得：
B A B A B A B A sin cos 3sin sin sin cos 3cos sin 3+=+，3tan =B ，
3π
=
B , 根据余弦定
理
,
cos 2222B ac c a b -+=得
ac
ac ac ac c a =-≥-+=2322，
23321sin 2121⨯
⨯≤==B ac bh S ，解得
23
max =h 。

三.解答题
17.（Ⅰ）
21,3n
n n a n b =-=；
（Ⅱ）
2
1(369)4n n T n +=
--.
试题解析：（Ⅰ）由
)1(23-=
n n b S ，当1n =时，13b =，当2n ≥时，113
(1)
2n n S b --=-，
1133
(1)(1)22n n n n n b S S b b --=-=
---，即13n n b b -=，所以数列}{n b 的通项公式为3n
n b =，
又因为数列}{n a 是等差数列，且21523,9a b a b ====，所以
52
2
3a a d -=
=，可得数列}{n a 的通
项公式为
21n a n =-. （6分）
（Ⅱ） n
n b 3=，所以数列}{n b 其前n 项和)13(23)1(23-=-=n
n n b S ，
∴
)963(41
)333(23221--=-+⋅⋅⋅++=
+n n T n n n . （12分）
考点：求数列的通项公式，数列求和.
18．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） 7
.
8-
（Ⅰ）在图1中，取BE 的中点D ，连接DF .
::1:2AE EB CF FA ==, 2.AF AD ∴==而0
60,A ADF ∠=∴∆是正三角形，又
1,.AE DE EF AD ==∴⊥在图2中， 1
,A E EF BE EF ⊥⊥,1A EB ∴∠为二面角1A EF B --的平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，
1A E BE ∴⊥,又BE EF E ⋂=,1A E ∴⊥平面BEF ，即
1A E ⊥平面.BEP
（Ⅱ） 由 （Ⅰ） 知，即
1A E ⊥平面,.BEP BE EF ⊥
以E 为原点，以
1,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图3所示的坐标系如图，则
()(
)(
)()10,01,2,0,0,,.
A B F P
()()()1
1
1
2,0,1,1,3,1,0,
3,1
A B A P A F ∴=-=-=-
设()()111222,,,,,m x y
z n x y z ==分别是平面1A BP 和平面1A PF 的法向量，由111
11200x z x z -=⎧⎪⎨
+-=⎪⎩.取
11y =
，得(
3,1,2m =
.
由2222200z x z ⎧-=⎪⎨
-=⎪⎩，取21y =，得(
0,1,.n =所以7
c o s ,.8m n m n m n ⋅〈〉==因为二面角
1B A P F --为钝角，所以二面角1B A P F --的余弦值为7
.
8-
19．（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则
201
)541)(431()(=
--=A P ， 所以每台仪器能出厂的概率
2019
2011)(__
=
-
=A P 。

（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率
51
54)
43
1()
(
=
⨯-=A P ． （Ⅲ）X 可取3800,3500,3200,500,200，-2800。

，，，
，
，．
X 的分布列为：
20.（Ⅰ）221
4x y +=（Ⅱ）当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为
1
20．
（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，由N ：
(2
216
x y +=及
(
)M 知点M 在圆N 内，则
有
,{4,
r PM PN r ==-从而
4PM PN MN +=
>=P
的轨迹C 是以M ， N 为焦点，
长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>，则24a =，
2c =2a =， 1b =， 故曲线C 的轨迹方程为2
21
4x y +=．
（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，由2
21,{4
3,x y x my +==+得
()2
2
4650
m y
my +++=，
所以
()62122
122
(4540,6{
,45
,4m m
y y m y y m
∆=-⨯+>+=-+=+则
()1212224
64x x m y y m +=++=
+，
()2
2
1212122364394m x x m y y m y y m -=+++=
+，假设存在定点(),0Q t ，使得直线AQ ， BQ 的
斜率之积为非零常数，
()()()2
121212x t x t x x t x x t --=-++
22223642444m t t m m -=-⋅+++
()2
22
2
4362444t m t t m -+-+=
+，所以
121200
AQ BQ y y k k x t x t --⋅=
⋅
--
()
2
2
22
2
5
44362444m t m t t m +=-+-++
(
)
2
22
5
436244t m t t =-+-+，要使
AQ BQ
k k ⋅为非零常数，当且仅当
2240,
{362440,t t t -=-+≠解得2t =±，
当2t =时，常数为553648164=-+，当2t =-时，常数为551
36481610020==
++，所以存在两个定点
()
12,0Q 和
()
22,0Q -，使直线AQ ， BQ 的斜率之积为常数，当定点为()12,0Q 时，
常数为5
4；当定点为()22,0Q -时，常数为120．
21.试题解析：（Ⅰ）由于
()2
2ln 2f x x mx x
=-+的定义域为
()0,+∞，则
()()
221
'x mx f x x
-+=
.
对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-.当240m -≤，即02m <≤时， ()'0
f x ≥恒成
立，故
()
f x 在
()0,+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等
是实x =，令()'0f x >，
得0x <<
或x >，此时()f x 单调递增；令()'0f x <
，得22m m x +<<，此时()f x 单调递减.
综上所述，当02m <≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时， ()f x
在
⎝⎭内单调递减，
在⎛ ⎝⎭，
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭内单调递
增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
()()
221
'x mx f x x
-+=
，所以
()
'f x 的两根
1x ， 2x 即为方程210
x mx -+=的两根.因
为
2m ≥
，所以240m ∆=->， 12x x m +=， 121x x =.又因为1x ， 2x 为
()2ln h x x cx bx
=--的零点，
所
以
2
111l n 0x c x
b x -
-=，
2
222ln 0
x c bx --=，两式相减得
()()()11212122ln 0x c x x x x b x x x --+--=，得()1
21212ln
x x b c x x x x =-+-.而()1'2h x cx b
x =--，
所以
()()12
'x x h
x -=
()120
012x x cx b x ⎛⎫
---= ⎪⎝⎭
()()()12
1212121212
ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()1211222ln x x x x x x -=-=
+ 1
21
12
2
12ln 1x x x
x x x -⋅-+.
令1
2(01)x t t x =<<，由()2212x x m +=得222
12122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t ++=，因
为
m ≥
，故15
2t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤.设()12ln 1t G t t t -=⋅
-+，所以()()
()2
21'01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，所以
()m i n 12ln2
23G t G ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭，
即()()120'y x x h x =-的最小值为2
ln23-
+.
所以
()()1202
'ln23x x h x -≥-
+.
22. （Ⅰ）
,cos 4,cos 42
θρρθρ==所以圆C 的直角坐标方程为
4)2(22=+-y x 。

54sin ,53cos =
=θθ，直线l 的参数方程为,546535⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x （t 为参数）。

（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 得：02056652
=++t t ，
566||||||||2121=
+=+=+t t t t MB MA 。

23. （Ⅰ）当m=1,⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
>≤
≤---<-=-++=21,3211,21,3|12||1|)(x x x x x x x x x f
解不等式,3)(≥x f 解集为),1[]1,(+∞--∞
（Ⅱ）|
1||12|21
||21|,1|)(21+≤-+++≤x x m x x x f ， 即x x x m ---+≤|12||1|2恒成立。

令⎪⎩⎪⎨
⎧
∈≥
-<≤+=---+=]2,[,21
,3210,13|12||1|2)(2m m x x x x x x x x x t ， 由题意得21,202>⎩⎨⎧<>m m m m ，则m m t x t ≥=)2()(2
min ，解得121≤<m。