分段函数与绝对值函数练习

分段函数与绝对值函数练习
一、双基题目练练手
1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,
114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］
D.［－2，0］∪［1，10］
2．(2006安徽)函数2
2,0
,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是 （ ）
A
．,020x
x y x ⎧
≥⎪=< B
．2,0
0x x y x ≥⎧⎪=< C
．,020x
x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ D
．2,0
x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩
3．(2007启东质检)已知21[1,0)
()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是(
)
4.（2006全国Ⅱ）函数19
1
()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45
5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),
2(2x x x 则f （lg30－lg3）
=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.
6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b b
a a
b a ＜,,,max 则函数
(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .
7.
已知函数13
2
(0)()(01)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=
8.函数221(0)()(0)x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。

简答:1-4.ACDC;
4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|
=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|
≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|
≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…
5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2， f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.
32,33x x x 当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.
当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5}
6. 由()()2
1212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩
如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 7.12
-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

二、经典例题做一做
【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩
⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000，
∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.
【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩
的奇偶性。

解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；
当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。

因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x
=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；
（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为
[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．
解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x x f x x x
⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩
∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数．
由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b +=
．∴2ab a b =+>
1>，即1ab >
（2）不存在满足条件的实数,a b ．
若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x
==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x x f x x x
⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ ①当,a b ∈（0，1）时，1()1f x x
=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11,11.b a a b
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．
②当,a b ∈[)1,+∞时，1()1f x x =-在（1，＋∞）上为增函数．故(),().
f a a f b b =⎧⎨=⎩，即11,11.a a b b
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时,a b 是方程210x x -+=的根，由于此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数,a b ．
③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =∉，故此时不存在适合条件的实数,a b ．
综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．
（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为
[,]ma mb ，则0,0a m >>．
①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ， 即11,11.mb a ma b
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在． ②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞． ∵|11|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =⎧⎨=⎩，即11,11.ma a mb b
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,a b 是方程210mx x -+=有两个根．
即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根．
设这两个根为12,x x ．则121211,x x x x m m
+=⋅=
∴1212
0,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩即140,120.m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩ 解得104
m <<． 综上m 的取值范围是104m <<
． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；
解：（I ）∵t=x +1+x -1,
∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1.
∵t 2=2+22
1x -∈[2,4],t ≥0, ① ∴t 的取值范围是[2,2]. 由①得2
1x -=2
1t 2-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=2
1at 2+t-a,t ∈[2,2]. (Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=2
1at 2+t-a, t ∈[2,2]的最大值. 注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 21at 2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论. (1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由 t=-a
1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.
(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.
(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段. 若t=-a
1∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-
a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a 21.
若t=-a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-2
1,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有
g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(21t 2-1)+t=2
1at 2+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论.
【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;
300200,3002,2000300t t t t ， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=
2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得
h (t )=f (t )－g (t )
即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200
12000217521200122t t t t t t ，，
当0≤t ≤200时，配方整理得
h (t )=－200
1(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t ≤300时，配方整理得
h (t )=－200
1(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．
综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.。