精品解析：湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三期中检测
数学试卷（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，集合
或，所以，所以C.
2.已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
故“a=b=1”是“（a+bi ）2
=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi ）2
=2i”的充分不必要条件；
故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． 【此处有视频，请去附件查看】 3.已知是两相异平面，
是两相异直线，则下列错误的是（ ） A. 若
，则
B . 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，
则
【答案】D 【解析】 在A 中，若，则由直线与平面垂直的判定定理得，所以是正确的； 在B 中，若，则由平面与平面平行的判定定理得，所以直正确的； 在C 中，若，则由平面与平面垂直的判定定理得
，所以是正确的；
在D 中，若，则与平行或异面，故是错误的
，故选D.
4.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于的概率是（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为，
向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有：
共8个，
所以向上的点数之差的绝对值为的概率为，故选B.
5.等差数列的
前项和为，已知
.则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 设等差数列的公差为，又
，
所以，解得
，
所以，故选C.
6.已知P(x,y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（ ） A. 6 B. 0
C. 2
D.
【答案】A 【解析】 试题分析：由
作出可行域，如图，
由图可得，，由
，解得
，∴
，∴目标函数为，
∴当
过A 点时，z 最大，
. 考点：线性规划. 7.设，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
由题意，
所以，
，
所以，故选A.
8.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，执行第2次，S="S-m" =0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S="S-m" =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
执行第5次，S="S-m" =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
考点：程序框图
【此处有视频，请去附件查看】
9.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为
，选C.
考点：三视图，外接球
【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【此处有视频，请去附件查看】
10.若向量满足，则在方向上投影的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，所以，
设夹角为，则，所以，
所以在方向上投影为，
因为，所以，故选B.
11.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，
∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．
12.对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由，可得，
设，则可设，
则，所以，所以单调递减，
又，所以在单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
由题意得.
14.已知，点在内且.若，则
__________
．
【答案】
【解析】
如图所示，过分别作，并分别交于，
则，
所以，
为等腰直角三角形，所以，即，
所以.
15.已知函数，把的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数
的图象，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
按照向量平移后的图象，推出函数表达式，求导数推出函数y＝f′（x），利用两个函数表达式相同，即可求出m的最小值．
【详解】解：图象按向量（m，0）（m＞0）平移后，
得到函数f（x）cos（x﹣m）；
函数y＝f′（x）sin（x）cos（x），
因为两个函数的图象相同，
所以﹣m2kπ，k∈Z，所以m的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简，两角和与差的余弦函数，向量的平移，导数的计算等知识．
16.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的面积取最小值时有__________．
【答案】
【解析】
由正弦定理，
即为，又，即，
由于，即有，
即有，
由，即有，解得，
当且仅当，取得等号，
当取得最小值，
又（为锐角），则，
则.
点睛：本题主要考查了解三角形问题的综合应用，其中解答中涉及解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的运用等知识点的综合考查，着重考查了学生的运算能力和分析问题、解答问题的能
力，熟记公式、合理运用是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为，且为等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据数量和的关系，即可求解数列的通项公式，再利用等差数列通项公式，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.
试题解析：
（1）当时，，
当时，，
经验证当时，此时也成立，所以，
从而，
又因为为等差数列，所以公差，
故数列和通项公式分别为：.
（2）由（1）可知，
所以①
①得②
①-②得：
数列的前项和.
18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成组第组，第组，第组，
第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第组有人.
（1）求该组织的人数；
（2）若在第组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该组织决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组至少有名志愿者被抽中的概率.
【答案】（1）（2）应从第组中分别抽取人，人，人. （3）
【解析】
试题分析：（1）由题意第组的人数为，即可求解该组织人数.
（2）根据频率分布直方图，求得第组，第组，，第组的人数，再根据分层抽样的方法，即可求解再第
组所抽取的人数.
（3）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，列出所有基本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率.
试题解析：
（1）由题意第组的人数为，得到，故该组织有人.
（2）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为
，所以第组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组；第组；第组.
所以应从第组中分别抽取人，人，人.
（3）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，则从名志愿者
中抽取名志愿者有
，共有种.其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有
，共有种.
则第组至少有名志愿者被抽中的概率为.
19.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且
.
（1）求证：平面；
（2）设是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）利用直线与平面垂直的判定定理，容易判断平面，而又是等腰三角形底边上的高，所以，从而证明平面；.
（2）连，求出点到面的距离为，利用和椎体的体积公式，即可求解几何体的体积.
试题解析：
（1）证明：底面是棱形，对角线，
又平面平面，
又为中点，平面.
（2）连平面平面，平面平面，
，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连，
则底面，且，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，，
.
点睛：本题主要考查了直线与平面的垂直的判定与证明和几何体的体积的计算问题，其中解答中涉及直线与平面垂直的判定定理、椎体的体积公式和直角三角形的性质等知识点的综合考查，其中熟记判定定理和直角三角形的性质的应用是解答的关键，同时着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
20.已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线
相切（为常数）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由椭圆离心率为，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出的值，由此能求出椭圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，推导出，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解的取值范围.
试题解析：
（1）由题意
故椭圆.
（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，
，故.
②若直线斜率存在，设直线的方程为，
由消去得，
设，则.
，
则
代入韦达定理可得
由可得，结合当不存在时的情况，得.
点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系的应用，同时考查了向量的数量积的运算，解答时要认真审题，注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用，审题有一定的难度，属于中档试题.
21.函数，，
1若函数，求函数的极值．
2若在恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）．
【解析】
试题分析：（１）当时分析函数的单调性，确定函数的最大值；（２）在
恒成立，通过变量分离转化为在恒成立，进而构造新函数求最值即可．试题解析：
解：（1）当时，
由得；由得，
在递增，在递减
所以，当时，的最大值为
当时，的最大值为
（2）在恒成立
在恒成立
设
则
当时，，且
当时，
设，则在递增
又
使得
时，时，
时，时，
函数在递增，在递减，在递增
由知，所以
又
又当时，
，即的取值范围是.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线参数方程为
（为参数），直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.
【答案】（1），（2），
【解析】
试题分析：（1）消去参数可得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线的直角坐标方程；
（2）在上任取一点，求得曲线上的点到直线的最大距离，即可并求出这个点的坐标.
试题解析：
（1）曲线的方程为，直线的方程为.
（2）在上任取一点，
则点到直线的距离为，
当时，，此时这个点的坐标为.
23.设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）取得绝对值，得到三个不等式组，即可求解不等式的解集；(2)由绝对值的三角不等式，即可求解，由题意得，即可求解的取值范围．
试题解析：（1）等价于或或
解得或．
故不等式的解集为或．
（2）因（当时等号成立），所以，
由题意得，解得或．
考点：绝对值不等式的求解及应用．。