山东省2013届高三高考模拟卷二文科数学

山东省2013届高三高考模拟卷（二）
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{2,0}x
M y y x ==>
，{N y y ==，则M N 等于
A ．∅
B ．{1}
C ．{1}y y >
D ．{1}y y ≥
2．已知复数2i
i i
a b -=+（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则2a b -= A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A. 3,y x x R =∈
B. sin ,y x x R =∈
C. lg ,0y x x =>
D. 3(),2
x
y x R =∈ 4．命题“对任意的01,2
3
≤+-∈x x x R ”的否定是 A ．不存在01,23
≤+-∈x x x R B ．存在01,2
3≤+-∈x x x R C ．存在01,23
>+-∈x x x R
D ．对任意的01,2
3
>+-∈x x x R
5.向量a ，b 的夹角为60︒，且||1a = ，||2b = ，则|2|a b -
等于
A.1
D.2 6．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60︒，E 为BC 的中点，
则AE BD =
A ．3-
B ．1-
C ．0
D ．1
7．已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为
A ．13422=+y x
B ．16822=+y x
C ．122
2=+y x
D ．1422=+y x 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2181
3
a a =，则313335319log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=
A. 5
B. 5-
C. 53
D.10
3
9．把函数)2,0(),sin(π
φωφω<>+=x y 的图像向左平移3π个单位，所得曲线的一部分
如图示，则,ωϕ的值分别为 A ．3,1π B ．3,1π- C ．3,2π D ． 3,2π-
10．已知()f x '是函数()f x 的导函数，如果()f x '是二次函数，()f x '的图象开口向上，顶点坐标为
(1,1)，那么曲线()f x 上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是
A. (1,]4π
B. [,)42ππ
C. 3(,]24ππ
D.[,)4
π
π
11．若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是
A ．211>ab
B ．111≤+b a
C ．2≥ab
D ．8
1122≤+b a
12．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则有
A. 2(2)(3)(l o g
)a
f f f
a << B. 2(3)(log )(2)a f f a f << C. 2(l o g )(3)(2)
a
f a f f
<< D. 2(log )(2)(3)a f a f f << 第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分．
13．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的弦长是 ．
14．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；
⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是
15．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
,则目标函数2z x y =+的最大值是 ．
16.已知偶函数()y f x =（x R ∈），满足：(1)(1)f x f x +=-，且[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数
()y f x =与函数3|log |y x =图象的交点个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3
cos 5
B =，且符合21AB B
C ⋅=- ．
（Ⅰ）求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若7a =，求角C ．
18．（本小题满分12分）
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求
() P E F ．
19．（本小题满分12分）
数列}{
n a 是首项14a =的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列． （Ⅰ）求数列}{
n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切*n ∈N 恒
成立，求实数λ的最小值．
20．（本题满分12分）
如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．
(Ⅰ) 当1BE =，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP PD λ=
，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
(Ⅱ) 设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A -CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．
21．（本题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>．
（Ⅰ）设椭圆的半焦距1c =，且222,,a b c 成等差数列，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设（1）中的椭圆C 与直线1y kx =+相交于P Q 、两点，求OP OQ
的取值范围．
22．(本小题满分13分)
已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. (Ⅰ) 求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
(Ⅱ) 若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,求a 的取值范围； (Ⅲ) 若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.
数学（文科）参考答案
一、选择题：
A
B C
D
E
F
E
F
A
B
C
D
1．A 2．C 3． A 4．C 5． D 6． C 7． A 8 ．B 9． D10． B 11． D 12． C
二、填空题：
13． 2 14．④ 15．
16． 3 三、解答题：
17．【解析】（Ⅰ）21cos()21AB BC AB BC B π⋅=-⇒⋅⋅-=-
………………2分 cos 21c a B ⇒⋅⋅=． …………………………………………………………… 3分
又3
cos 5B =，故35ac =． ………………………………………………4分
由3cos 5B =
可推出4
sin 5B == ………………………………………5分
1
sin 14.2
ABC S ac B ∆∴== ………………………………………6分
（Ⅱ）7,35a ac ==由，可得5c =， ………………………………………7分
又2223
cos 2cos 325
B b a c ac B b =∴=+-=⇒= ………………8分
cos C ∴=
= ………………10分 又(0,)C π∈
，4
C π
∴=． ………………12分 18．【解析】（Ⅰ）第六组的频率为
4
0.0850
=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； ……………………………4分 （Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=， 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=， 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=， 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=，
由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 …………………………6分
由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,
所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为0.18800144⨯=人． ………………8分
（Ⅲ）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，
因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为
,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7
()15
P E =
． ……………………10分 由于max 19518015x y -=-=，所以事件F ={15->x y }是不可能事件，()0P F =， 由于事件E 和事件F 是互斥事件，所以7
()()()15
P E F P E P F =+=
………12分 19．【解析】（Ⅰ）当1q =时，32412816S S S ===，，,不成等差数列……………1分
当1q ≠时，234111(1)(1)(1)
2111a q a q a q q q q
---=+
--- ，∴2342q q q =+ ，…………3分 ∴220q q +-=，∴2q =-， …………………………………………………………4分
∴114(2)(2)n n n a -+=-=-．………………………………………………………………5分
（Ⅱ）1
22log log (2)
1n n n b a n +==-=+，………………………………………… 6分 11111
(1)(2)12
n n b b n n n n +==-
++++， ………………………………………… 7分 11111111233412222(2)
n n
T n n n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=
++++， ………………8分 1n n T b λ+≤，∴
(2)2(2)n n n λ≤++，∴2
2(2)n
n λ≥+， …………………… 10分 又211142(2)2(44)16
2(4)n n n n
=≤=
++++，∴λ的最小值为116
． ……… 12分 20．【解析】(Ⅰ)存在P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时
3
2
λ=．…………… 2分
下面证明：
当32λ=时，即此时32AP PD = ，可知
3
5AP AD =，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有 35
MP FD =，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP //=EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．……………………… 6分
(Ⅱ)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ．由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x (0<x …4)，FD ＝6-x ．故
222
111112(6)(6)[(3)9](3)332333
A C D F V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，
A CDF V -有最大值，最大值为3． ……………………… 12分
21．【解析】（Ⅰ）由已知：2
2
1a b =+，且2
2
21b a =+，解得22
3,2a b ==， ……4分
所以椭圆C 的方程是22
132
x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）将1y kx =+代入椭圆方程，得22
(1)132
x kx ++=， …………………………6分 化简得，()22
32630k x kx ++-= …………………………7分
E F
A
B C D M P
设()()1122,,,P x y Q x y ，则121222
63
,3232
k x x x x k k +=-
=-++， …………………8分 所以，()()()()21212121212121111OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x =+=+++=++++
()
2222222
316613
1232323232
k k k k k k k -+--=-+==-+++++， ………………………10分 由22
2
233310,322,0,22322322
k k k k ≥+≥<≤-<-+≤-++，…………………12分 所以OP OQ 的取值范围是1(2,]2
--. …………………………13分
22．【解析】(Ⅰ)因为8
()2f x x
x
'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==- …………2分
又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即
67y x =-+ …………4分 (Ⅱ)因为2(2)(2)
()x x f x x
+-'=,又x >0,所以当x >
2时,()0f x '>；当02x <<时, ()0f x '<.
即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减 ……………………………………………5分
又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减 ………6分
欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则2
17a a ≥⎧⎨+≤⎩
,解得26a ≤≤ ……8分
(Ⅲ) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2
()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. ……………………9分 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点
……………………10分
又82(4)(21)()414x x h x x x x
-+'=--=,且0x >， 所以当4x >时,()0h x '>，函数()h x 单调递增；当04x <<时, ()0h x '<，函数()h x 单调递减. 故()h x 在4x =处取得最小值． ……………12分 从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--． ………13分
0z =。