高考数学一轮复习 第7章 立体几何2精品训练 理(含解析)新人教B版

2014年高考数学一轮复习 第7章 立体几何2精品训练 理（含解析）
新人教B 版
[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1．(2013年烟台调研)棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. 3 B ．4 C ．4 3
D ．16
解析：每个面的面积为： 12×2×2×3
2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.
答案：C
2．(2013年福州质检)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍
D ．32倍
解析：由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3
，知体积扩大到原来的
22倍．
答案：B
3．(2013年哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2
B.⎝
⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2
C.⎝
⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2
D. ⎝
⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2 解析：该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．
S 表面积＝S 上长方体＋S 下长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底
＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2·π(12)2＝94＋π
2.
答案：C
4．(2013年佛山模拟)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A.83 cm 3
B.43 cm 3
C. 23
cm 3
D.13
cm 3 解析：由三视图知几何体为三棱锥，如图所示：
V ＝13S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×2＝43
(cm 3)．
答案：B
5．(2013年西安模拟)有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )
A ．24π cm 2,
12π cm 3
B ．15π cm 2,12π cm 3
C ．24π cm 2,
36π cm 3
D ．以上都不正确
解析：此几何体是个圆锥，r ＝3 cm ，l ＝5 cm ，h ＝4 cm ，S 表面
＝π×32
＋π×3×5＝
24π(cm 2
)．
V ＝13
π×32×4＝12π(cm 3)．
答案：A 二、填空题
6．(2013年湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为
3
2
，连接顶点和底面中心即为高，可求高为
22，所以体积为V ＝13×1×1×22＝26
.
答案：
26
7．(2012年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3
.
解析：三棱锥的体积为：13×1×32×2＝1(cm 3
)．
答案：1
8．(2013年南京调研)如图，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________ cm.
解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52
＋122
＝13 (cm)．
答案：13
9．(2013年武汉调研)已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
解析：根据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为2，由空间几何体的所有顶点都在一个球面上，设球半径为R ，则R 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2332＋1，解得R 2
＝73，故球的表面积S ＝4πR 2＝28π3
. 答案：28π3
三、解答题
10．(2013年阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .
解析：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝1
3
×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42
＋32
＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2
＝42＋42
＝4 2.
故几何体的侧面面积为：
S ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.
11．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求： (1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
解析：(1)底面正三角形中心到一边的距离为 13×3
2
×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12
＋2
2
＝ 3.
∴S 侧＝3×1
2×26×3＝9 2.
∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2
＝92＋6 3.
(2)设正三棱锥P ­ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .
∴V P ­ABC ＝V O ­PAB ＋V O ­PBC ＋V O ­PAC ＋V O ­ABC ＝13S 侧·r ＋1
3S △ABC ·r ＝1
3
S 表·r ＝(32＋23)r .
又V P ­ABC ＝13×12×32×(26)2
×1＝23，
∴(32＋23)r ＝23，
得r ＝2332＋23＝232－23
18－12＝6－2.
∴S 内切球＝4π(6－2)2
＝(40－166)π.
V 内切球＝4
3π(6－2)3＝83
(96－22)π.
12．(能力提升)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
解析：(1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP ，EP ，CP .得到AD ⊥平面BPC ，
∴V A ­BCD ＝V A ­BPC ＋V D ­BPC ＝13·S △APC ·AP ＋1
3S △BPC ·PD ＝1
3·S △BPC ·AD ＝13·1
2·a a 2
－x 24
－a 2
4
·x
＝a
12
a 2
－x
2
x 2
≤a
12·3a 2
2＝1
8
a 3
⎝ ⎛⎭⎪⎫
当且仅当x ＝62a 时取等号.
∴该四面体的体积的最大值为18
a 3
.
(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为
6
2
a ，
∴S 表＝2×34a 2＋2×12×6
2
a × a 2－
6
4
a 2
＝
32a 2＋62a ×10a 4
＝32a 2＋15a 2
4 ＝
23＋154
a 2
. [因材施教·学生备选练习]
1．(2013年济南模拟)如图所示，在正三棱锥S ­ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S ­ABC 外接球的表面积是( )
A ．12π
B ．32π
C ．36π
D ．48π
解析：在正三棱锥S ­ABC 中，易证SB ⊥AC ， 又MN 綊1
2BS ，
∴MN ⊥AC .
∵MN ⊥AM ，∴MN ⊥平面ACM . ∴MN ⊥SC ，∴∠CSB ＝∠CMN ＝90°，
即侧面为直角三角形，底面边长为2 6.此棱锥的高为2，设外接球半径为R ，则(2－R )2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫26×
32×232＝R 2
， ∴R ＝3，∴外接球的表面积是36π.故选C. 答案：C
2．(2011年高考四川卷)如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
解析：解法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR2sin 2α.当sin 2α＝1时，S 圆柱侧最大为2π
R2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
解法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2.
∴S圆柱侧＝2πr·2R2－r2，
S′圆柱侧＝4πR2－r2－4πr2
R2－r2
.
令S′圆柱侧＝0，得r＝
2
2 R.
当0<r<
2
2
R时，S′>0；当
2
2
R<r<R时，S′<0.
∴当r＝
2
2
R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.
此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 答案：2πR2。