河北省沧州市示范名校2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析

河北省沧州市示范名校2024届数学高一第二学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．2
sin y x =是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为2π的奇函数
2．如图，已知正三棱柱111ABC A B C －的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）cm ．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
263
B ．
283
C ．10
D ．
323
4．()tan 675-︒的值为（ ）
A ．1
B ．22
-
C ．
22
D ．1-
5．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5
D ．m =3, n = 5
6．圆()2
224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()0,2,2
B ．()2,0,2
C ．(2,04),-
D ．()2,0,4
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()2
e
e cos ()x
x x f x x
--=
的部分
图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若实数x ，y 满足21
1x y y x -≥⎧⎨≥+⎩
，则z ＝x +y 的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]
x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．数列{}n b 的前500项和为（ ） A ．900
B ．902
C ．890
D ．892
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知数列{}n a 的首项1a a =，2162a a =-，()
1842,n n a a n n n N *
++=+≥∈.
若对任意n *∈N ，都有1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是_____ 12．函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为______.
13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22b =且ABC ∆面积为
()2
22312
S b a c =
--，则面积S 的最大值为_____． 14．已知等比数列
中，
，
，则
______.
15．若()cos 3sin f x x x =在[],a a -上是减函数，则a 的取值范围为______. 16．已知圆2
2
2
:(3)(4)C x y r -+-=上有两个点到直线340x y +=的距离为3，则半径r 的取值范围是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．如图，已知ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，
1DC =，F 是BE 的中点，
求证：（1）FD ∥平面ABC ； （2）AF ⊥平面EDB .
（3）求几何体ED BAC -的体积.
18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA =AD ．
（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ． 19．已知函数()2
sin 3sin cos f x x x x =.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，求m 的最小值.
20．数列{}n a 中，11a =，112n n n n a a a a ++-=.
（1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：12
n T <. 21．定义：对于任意*n N ∈，满足条件2
12
n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列.
（1）若(
)2
*
8n a n n n =-+∈N
，证明：数列{}n
a 是T 数列；
（2）设数列{}n b 的通项为3502n
n b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；
（3）设数列()*1,12n p
c n p n
=
-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
将函数2
sin y x =化为()1
1cos22
y x =-的形式后再进行判断便可得到结论． 【题目详解】
由题意得()()2
1
sin 1cos22
y f x x x ===
-， ∵()()f x f x -=， 且函数()()11cos22f x x =
-的最小正周期为2π
2
π=， ∴函数2sin y x =时最小正周期为π的偶函数． 故选A ． 【题目点拨】
判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为()y Asin x ωϕ=+或
()(0)y Acos x ωϕω=+>的形式，然后利用公式2π
T ω
=
求解即可得到周期．
2、B 【解题分析】
将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．
【题目详解】
将正三棱柱111ABC A B C －沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度， 即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值， 由已知求得的长等于6212⨯=，宽等于5， 由勾股定理得2212513d =+=，故选B ．
【题目点拨】
本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题． 3、B 【解题分析】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解． 【题目详解】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以
4S =上底，16S =下底，
∴该正四棱台的体积()
128
441616133
V =⨯+⨯⨯=. 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题． 4、A 【解题分析】
利用诱导公式将675-︒转化到()0,360︒，然后直接计算出结果即可. 【题目详解】
因为()()tan 675tan 452360-︒=︒-⨯︒，
所以()tan 675tan 451-︒=︒=. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：
()()tan 360tan k k Z αα+︒⋅=∈. 5、D 【解题分析】
因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知
469
5,3,322
m n m +-=
=-=∴=. 6、B 【解题分析】
根据圆的标准方程()()()22
20x a y b r r -+-=>形式直接确定出圆心和半径. 【题目详解】
因为圆的方程为：()2
224x y -+=，所以圆心为()2,0，半径2r
，
故选：B. 【题目点拨】
本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为
()()
()22
20x a y b r r -+-=>，其中圆心是(),a b ，半径是r .
7、B 【解题分析】
由三视图可知几何体为四棱锥，利用四棱锥体积公式可求得结果. 【题目详解】
由三视图可知，该几何体为底面为长为5，宽为4的长方形，高为3的四棱锥
∴四棱锥体积1
543203
V =⨯⨯⨯=
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查根据三视图求解几何体体积的问题，关键是能够通过三视图将几何体还原为四棱锥，从而利用棱锥体积公式来进行求解. 8、D 【解题分析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．
【题目详解】
因为函数定义域为{}
0x x ≠，关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，C ；又因为()()
2
0e e f ππππ
---=
<，故排
除B ． 故选：D ． 【题目点拨】
本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题． 9、D 【解题分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【题目详解】
由实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩
作出可行域，如图：
联立21
1
x y y x -=⎧⎨=+⎩，解得()2,3A ，
化目标函数z x y =+为y x z =-+，
由图可知，当直线y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值为5. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题. 10、D 【解题分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得n a ，再利用[]n b lgn =，可得
12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==，
1001011021350002b b b b b ====⋯==．即可得出．
【题目详解】
解：n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =．n a n ∴=，
[]n b lgn ∴=，则1[1]0b lg ==，2390b b b ==⋯==，101112991b b b b ===⋯==， 1001011021350002b b b b b ====⋯==．
数列{}n b 的前500项和为：909014012892⨯+⨯+⨯=． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、()3,5 【解题分析】
代入2n =求得3a ，利用递推关系式可得28n n a a +-=，从而可证得{}2n a 和{}21n a +均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：
1232212122
n n n n a a a a a a
a +++<<⎧⎪
<⎨⎪<⎩，解不等式组求得结果. 【题目详解】
当2n =时，3220a a +=，解得：322042a a a =-=+ 由184n n a a n ++=+得：21812n n a a n +++=+ 28n n a a +∴-=
{}2n a ∴是以2a 为首项，8为公差的等差数列；{}21n a +是以3a 为首项，8为公差的等
差数列
()216281828n a a n n a ∴=-+-=-+，()214281824n a a n n a +=++-=+-
1n n a a +<恒成立 ()162428828428428182a a a n a n a n a n a ⎧<-<+⎪
∴+-<-+⎨⎪-+<++-⎩
，解得：35a <<
即a 的取值范围为：()3,5 本题正确结果：()3,5 【题目点拨】
本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.
12、()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【解题分析】
根据三角函数图象依次求得,,A ωϕ的值. 【题目详解】 由图象可知1A =，
2,23622
T T πππππ⎛⎫=--=== ⎪⎝⎭，所以2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，将点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入上式得sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，所
以3
π
ϕ=
.故()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 故答案为：()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
【题目点拨】
本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题. 13
、4-【解题分析】
利用三角形面积构造方程可求得tan 3
B =-
，可知56B π=，从而得到sin ,cos B B ；
根据余弦定理，结合基本不等式可求得(82ac ≤，代入三角形面积公式可求得最大值. 【题目详解】
()()222
3312cos sin 12122S b a c ac B ac B =
--=⋅-= sin 3
tan cos 3
B B B ∴=
=-
()0,B π∈ 56B π∴=
3
cos 2B ∴=-，1sin 2
B = 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：()
2
2
8323a c ac ac =++≥+（当且仅当
a c =时取等号）
()
882323ac ∴≤
=-+ 11
sin 42324
S ac B ac ∴==≤-
本题正确结果：423- 【题目点拨】
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型. 14、4 【解题分析】 先计算，代入式子化简得到答案.
【题目详解】
故答案为4 【题目点拨】
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 15、0,3
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解题分析】
化简函数解析式，()2cos()3
f x x π
=+
，[],x a a ∈-时，[,]333
x a a π
ππ
+
∈-+是余弦函数单调减区间的子集，即可求解. 【题目详解】
(
)cos2cos()
3
f x x x x
π
=-=+,
[],
x a a
∈-时，[,]
333
x a a
πππ
+∈-+,
且(
)cos
f x x x
=在[],a a
-上是减函数，
∴[,][2,2]
33
a a k k
ππ
πππ
-+⊆+k Z
∈，
22
33
2
22
33
k a a k
a k a k
ππ
ππ
ππ
πππ
⎧⎧
≤-≤-
⎪⎪
⎪⎪
∴⇒
⎨⎨
⎪⎪
+≤+≤+
⎪⎪
⎩⎩
，k Z
∈
因为0,0
a a a k
-<∴>=
解得0
3
a
π
<≤.
【题目点拨】
本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.
16、(2,8)
【解题分析】
由圆222
(3)(4)
x y r
-+-=上有两个点到直线340
x y
+=的距离为3，先求出圆心到直线的距离，得到不等关系式，即可求解．
【题目详解】
由题意，圆222
:(3)(4)
C x y r
-+-=的圆心坐标为(3,4)，半径为r，
则圆心到直线340
x y
+=
的距离为5
d==，
又因为圆222
:(3)(4)
C x y r
-+-=上有两个点到直线340
x y
+=的距离为3，
则53
r-<，解得28
r
<<，即圆的半径的取值范围是(2,8)．
【题目点拨】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）见解析（3
【解题分析】
（1）如图：证明FD MC ∥得到答案. （2）证明,AF BE AF FD ⊥⊥得到答案.
（3）几何体ED BAC -转化为B ACDE V -，利用体积公式得到答案. 【题目详解】
（1）∵F 分别是BE 的中点，取BA 的中点M ， ∴FM ∥EA ，FM 1
2
=
EA ＝1 ∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ， ∴CD ∥FM ，又CD ＝FM
∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ， FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ∴FD ∥平面ABC ．
（2）因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 EA 垂直于平面ABC ∴CM ⊥AE ，
又 AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB ∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ， 因F 是BE 的中点，EA ＝AB 所以AF ⊥EB ．
EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ． （3）几何体ED BAC -的体积等于B ACDE V -
N 为AC 中点，连接BN
,NB AC BN AE BN ⊥⊥⇒⊥平面ACDE
11(12)2
33332
B ACDE ACDE V S BN -+⨯=⨯=⨯=【题目点拨】
本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解题分析】
（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG ∥AF ，只需证明AF ⊥面PDC ，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ． 【题目详解】
证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线，FG ∥CD ，FG =
1
2
CD ． ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE =1
2
CD ． ∴FG =AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）∵PA =AD ．∴AF ⊥PD PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，
又因为CD ⊥AB ，AP ∩AB =A ，∴CD ⊥面APD ∴CD ⊥AF ，且PD ∩CD =D ，∴AF ⊥面PDC 由（Ⅰ）得EG ∥AF ，∴EG ⊥面PDC 又EG ⊂平面PCE ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．
【题目点拨】
本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题． 19、（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π
3
. 【解题分析】
（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||
T π
ω=
可求最小正周期；（II ）根据[,]3
x m π
∈-，可求26
x π
-
的范围，结合函数图象的性质，可得参数m
的取值范围. 【题目详解】
（Ⅰ）(
)1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛
⎫=
+=-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭. 因为π,3x m ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.
要使得()f x 在π,3m ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，
即πsin 26x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.
所以ππ262m -
≥，即π3
m ≥. 所以m 的最小值为
π
3
. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 20、（1）1
21
n a n =-；（2）见解析 【解题分析】
(1)结合112n n n n a a a a ++-=,构造数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可. 【题目详解】
（1）由11a =，112n n n n a a a a ++-= （即()121n n n a a a ++=），可得()
*
0n a n N ≠∈，
所以
111
2n n
a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以111a =为首项，以2为公差的等差数列， 所以
()1
121n
n a =+-， 即1
21
n a n =
-.
（2）111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
=
⋅=- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以1111111111112133557
2121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫
=
-+-+-++
-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
， 因为
1
021
n >+， 所以1
2
n T <.
【题目点拨】
本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法,难度一般.
21、（1）证明见解析；（2）12
36002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
；
（3）615p <≤.
【解题分析】
（1）根据题中的新定义代入即可证出.
（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502n
n b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.
（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n p
c n
=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得6
15
p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【题目详解】 （1）
()2
2841616n a n n n =-+=--+≤，
且()()()()2
2
221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<， 则满足
2
12
n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥
则()()1
1
335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
， 得
332
2
log 1001log 100n ≤≤+，
n N *∈，12n ∴=，
则数列{}n b 的最大值为12
1236002b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则12
36002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
（3）
12p <<
112
n p
c ∴=
-<， 当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n
=-
， 由132521122033p p c c c p p +-=-+-
-+=-+≤，得615
p <≤， 当2n ≥时，()()
2122211202112n n n p p p p
c c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立，
则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为6
15
p <≤. 【题目点拨】
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.。