高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及其运算解读素材 新人教A版选修2-

高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数导数概念及其运算教材解读素材新人教A版选修2-2
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导数概念及其运算教材解读
课标要求
1． 了解函数平均变化率的概念；掌握函数平均变化率的求法；
2．了解瞬时速度、瞬时变化率(导数)的定义，并掌握其求法； 3．了解导数的几何意义;
4．掌握几个常用导数的求法，掌握基本初等函数的导数公式； 5．灵活运用导数的运算法则。

基础知识 一、导数的概念 1．函数的平均变化率
一般地,函数)(x f y =，21,x x 是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子
2
121)
()(x x x f x f --表示,我们把这个式子称为函数)(x f y =从1x 到2x 的变化率(average rate of
change ）。

习惯上用x ∆表示12x x -即x ∆=12x x -，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用1x +x ∆代替2x ；类似地，)()(12x f x f f -=∆，于是平均变化率可以表示为
x
f ∆∆. 注意：（1）
x
x f x x f x x x f x f x f ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212，式子中x ∆、f ∆的值可正可负，但x ∆的值不能为零，f ∆的值却可以为零。

例如若函数)(x f y =是常函数时,f ∆=0；
（2)在式子
x
x f x x f x f
∆-∆+=
∆∆)()(11中，当1x 取定值，x ∆取不同的数值时，函数的变化率不同；同样地，当x ∆取定值,1x 取不同的值时，函数的平均变化率也不相同。

2．瞬时变化率
作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度.用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是)(t f s =,当t ∆趋近于0时,函数)
(t f
在0t 到0t +t ∆之间的平均变化率为t
t f t t f ∆-∆+)
()(00趋近于某一个常数，称这个常数为0t 时刻的
瞬时速度。

注意：（1) t ∆趋近于0是指时间间隔t ∆越来越小，能向零无限趋近，但时终不能为0； (2） t ∆，f ∆在变化率中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数；
(3)求瞬时速度的一般步骤:①设非匀速直线运动的规律为：)(t s s =；②时间改变量t ∆,位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆；③求平均速度t
s v ∆∆=；④求瞬时速度:取0→∆t ,得v t s
→∆∆(常
数)。

3．导数的概念
设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时,函数值相应地改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果当x ∆趋近于0时，平均变化率
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00趋近于一个常数l ，则这个常数l 称为函数)(x f 在0x 处的瞬时变化率，通常称为)(x f 在0x x =处的导数，记作)(/x f 或0|/x x y =即=)(0/x f x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000。

注意：（1） =)(0/x f x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
也可以写成=)(0/x f 00)()(lim 0x x x f x f x x --→，
=)(0/x f h
h x f h x f h 2)
()(lim
00
--+→等等；
（2）由导数的定义可知求)(x f y =在0x 的导数一般步骤:①求函数的增量
)()(00x f x x f y -∆+=∆;②求平均变化率：x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00；③取极限，得导数=)(0/x f x
y
x ∆∆→∆0lim。

二．导数的几何意义 1．导数的几何意义
函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f 的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率,即=k )(0/x f =x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000。

注意:(1)利用导数求曲线的切线方各的一般步骤：①求出函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f ;
②根据直线的点斜式方程，求得切线方程))((00/0x x x f y y -=-。

（2)若在点))(,(00x f x 处切线l 的倾斜角为
2
π
，此时切线平行于y 轴,导数不存在,不能用上方法求切线方程，此时可根据切线的定义直接得出切线方程0x x =。

2．导函数
如果函数)(x f 在开区间内每一点x 处均可导，则称)(x f 在区间(b a ,)内可导.在区间(b a ,）内,)(/x f 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f 的导函数，简称为导数。

注意：（1）函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量改变量比值的极限，它是一个常数；(2）函数的导函数是对于某一区间内的任意一点x 而言的,随着x 在区间内的取值的不同，其对对应的导数也不相同;(3) 函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f ，就是导函数
)(/x f 在x =0x 处的函数值.
三．导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
(1）若=)(x f c ，则=)(/x f 0; (2)若=)(x f )(*N n x n ∈，则=)(/x f 1-n nx ； (3）若=)(x f x sin ，则=)(/x f x cos (4)若=)(x f x cos ,则=)(/x f x sin -； (5)若=)(x f x a ,则=)(/x f )0( ln >a a a x ；（6）若=)(x f x e ，则=)(/x f x e ;
(7） 若=)(x f x a log ，则)10( ln 1)(/≠>=a a a
x x f 且；（8)若=)(x f x 1，则=)(/x f x 1
注意：(1） 以上八个基本初等函数的导数公式要求记熟并能熟练运用；
（2）在今后的求导运算时,只要不强调利用定义求导数，以上公式可直接应用而不加以证明。

2．导数的运算法则
（1)[])()()()(///x g x f x g x f ±=±；(2） [])()()()()()(///
x g x f x g x f x g x f +=⋅;
(3）)()()()()()()(2
///
x g x g x f x g x f x g x f -=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
注意:上述公式的记忆口诀：(1)和差导，导和差;(2）前导后不导,后导前不导，中间是加号；（3）分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号.
3．复合函数的求导法则
复合函数))((x g f y =的导数与函数)(),(x g u u f y ==的导数间的关系是///x u x u y y ⋅=。

注意：（1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当地选择中间变量； (2）分步计算中的每一步都要明确是寻哪个变量进行求导，其要特别注意的是中间变量的系数；
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间量换成自变量的函数；
（4)复合函数的求导熟练以后，中间的步骤可以省略不写。

特别提示
1．在求切线的方程时，首先应判断所给出的点是否在曲线上。

若在曲线上，可用求切线方程的步骤来求解；若不在曲线上，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标,从而得其方程；
2．熟记导数运算的四则运算法则是求导的基础，另外，根据题目特点恰当地选择求导法则会简化运算过程；
3．常用函数的导数公式也是求导的基础，它和导数的四则运算法则一样，在高考中经常涉及，但单独考查利用导数公式求导的题目并不多，所考查的题型大多是与其它知识相联系，所以在学习的时候在注意这一点。

4．对于复合函数的求导,要注意中间量的适当选取,要弄清每一步是对哪个变量求导,不要混淆。

另外新课标要求能求简单地复合函数的导数（仅限于形如)(b ax f +的形式)的导数，不要弄得太难。