第3章-3.2.2-函数的奇偶性高中数学必修第一册湘教版

知识点2 奇、偶函数的单调性
例2-2 已知奇函数 在区间[2,3]上单调递增，求 在区间[−3, −2]上为的单调性.
【解析】任取1 ,2 ∈ [−3, −2]且1 < 2 ，∴ 2 ≤ −2 < −1 ≤ 3，又奇函数 在
[2,3]上单调递增，∴ −2 < −1 ，则− 2 < − 1 ,∴ 1 < 2 ，因
例5 判断函数 =
1 2
+ 1, > 0,
2
൞ 1
的奇偶性.
2
− − 1, < 0
2
【解析】函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，关于原点对称.
当 > 0时，− < 0， − = −
当 < 0时，− > 0， − =
1
2
综上可知，函数 是奇函数．
1
2
−
−
2
2
1
2
− 1 = −( 2 + 1) = − ；
1
2
1
2
+ 1 = 2 + 1 = −(− 2 − 1) = − .
例6（1） 已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
( D
)
A.ℎ = + 是偶函数
C.ℎ =
⋅
2−
是偶函数
B.ℎ = ⋅ 是奇函数
D.ℎ =

2−
是奇函数
【解析】对于A，ℎ = + = 4 − 2 + − 2 = 4 − 2 + 2 − ,
若 + + ⋅ = 4,则下列结论错误的是( C
A.
1
−
2
=0
C.函数
1
−
2
B.
是偶函数
1
2
)
= −2
D.函数
1
+
2
是减函数
1
2
≠ 0，
【解析】令 =
又
1
2
1
,
2
= 0，则有
1
2
+
1
2
× 0 =
1
2
[1 + 0 ] = 4 ×
1
×
2
0 = 0，
代入并整理可得等式不成立，故A错误；
若函数 的图象的对称中心是 −1, −2 ，则有 −1 − + −1 + = −4恒成立，
代入并整理可得等式不成立，故B错误；
若函数 的图象的对称中心是 1, −2 ，则有 1 − + 1 + = −4恒成立，代
入并整理可得等式成立，故C正确；
此， 在区间[−3, −2]上单调递增.
知识点3 函数图象的对称性
例3-3 函数 = 3 − 3 2 的图象的对称中心是( C
A. 1,2
B. −1, −2
C. 1, −2
)
D. −1,2
【解析】若函数 的图象的对称中心是 1,2 ，则有 1 − + (1 + ) = 4恒成立，
1+ 2 ++1
= 0,
∴ − = − ,
∴ 为奇函数.
方法2当 ≠ 0时， ≠ 0,此时
−

=
1+ 2 −−1
1+ 2 ++1
1+ 2 −+1
1+ 2 +−1
1+ 2 − +1 2
1+ 2 − −1 2
=
−2
2
=
= −1，即 − = − .
【解析】令1 = 0,2 = ,得 + − = 2 0 ①.
令2 = 0,1 = ,得 + = 2 0 ⋅ ②.
由①②得 + − = + ,
即 − = ,∴ 是偶函数.
（3）设函数 定义在 −, 上，证明： + − 是偶函数, − − 是奇函数.
∴ 0 = 0.
令 = −, = ,则 0 = − + ，
∴ − = − .
∴ 是奇函数.
（2）已知函数 , ∈ ，若∀1 ,2 ∈ ，都有
1 + 2 + (1 − 2 ) = 2 1 ⋅ 2 ，求证: 为偶函数.
【解析】∵ ∈ −, ，∴ − ∈ −, .
可见, − 的定义域也是 −, .
设 = + − , = − − ,
则 与 的定义域也是 −, ，显然是关于原点对称的.
∵ − = − + − −
− = − − − −
∵ − = − − 2 − − + 2 = + 2 − | − 2| = − − 2| − + 2| = − ，
∴ 函数 = − 2 − + 2 是奇函数.
方法2 （图象法） = | − 2 − + 2| =
−4, ≥ 2,
ቐ−2, −2 < < 2,
4, ≤ −2,
画出图象如图3.2.2-1所示，图象关于原点对称，因此函数 是奇函数.
图3.2.2-1
（3） = 2 +


≠ 0, ∈ ；
【解析】当 = 0（不要忽略对参数的讨论）时， = 2 为偶函数.
当 ≠ 0时， =
2
+


≠ 0 ，取 = ±1，得 −1 + 1 = 2 ≠ 0，
集是_______________________________________.
图3.2.2-2


< 0的解
【解析】由题知， = 是偶函数， = 是奇函数.
根据奇、偶函数图象的对称性画出 = , = 在
[−3,0]上的图象如图3.2.2-3所示.由图可知，
若函数 的图象的对称中心是 −1,2 ，则有 −1 − + −1 + = 4恒成立，
代入并整理可得等式不成立故D错误.
方法帮丨关键能力构建
题型1 函数奇偶性的判断
例4 判断下列函数的奇偶性：
（1） =
3 − 2
；
−1
【解析】∵ 函数 =
=
2 −1
故⑥正确.
（这种函数只有一类，即 = 0, ∈ ,是关于原点对称的非空数集）
由于 是奇函数，且定义域为，所以∀ ∈ 都有 − = − ,令 = 0，得
−0 = − 0 ,即 0 = 0，故⑦正确.
（若奇函数 在 = 0处有定义，则一定有 0 = 0）
【解析】只有 的定义域关于原点对称，且 − = 时， 才是偶函数，
故①错误.
的定义域关于原点对称是 为偶函数的必要条件，故②正确.
对任意 ∈ ，满足 − = ， ( ∈ )才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值
相等不足以判定函数的奇偶性，故③错误.
−1 − 1 = −2 ≠ 0，即 −1 ≠ − 1 , −1 ≠ 1 ,∴ 函数 既不是奇函
数也不是偶函数.
综上所述，当 ∈ 且 ≠ 0时，函数 既不是奇函数也不是偶函数；
当 = 0时，函数 为偶函数.
（4） =
1+ 2 +−1
1+ 2 ++1
当 ∈ 是偶函数时，∀ ∈ , − = ,因此 −2 = 2 成立，故④正确.
反过来，只要有一个值0 ，使 0 ≠ −0 ,就一定能得出 ∈ 不是偶函数，
故⑤正确.
若 既是奇函数又是偶函数，则 = − − ，且 = − ，所以 = 0，
> 0 ⇔ 0 < < 2或−2 < < 0，
图3.2.2-3
< 0 ⇔ −3 ≤ < −2或2 < ≤ 3,
> 0 ⇔ 1 < < 3或−1 < < 0, < 0 ⇔ − 3 < < −1或0 < < 1.
∈ [−2,2]，ℎ − = 4 − 2 + 2 + ,由于ℎ − ≠ ℎ ,ℎ − ≠ −ℎ ,所以ℎ
既不是奇函数也不是偶函数.对于B，
ℎ = ⋅ = 4 − 2 − 2 = 4 − 2 2 − , ∈ [−2,2],
ℎ − = 4 − 2 2 + ,由于ℎ ≠ ℎ − ，−ℎ ≠ ℎ − ，所以ℎ 既不是奇函
2
2
2
1
− 是奇函数，所以C错误.
2

1
−
2
= 4 ×
1
2
=4× ×
1
−
2
1
−
2
，即
，即 −
1
2
= −2，故函数
对 −
+
1
2
对 −
1
2
= −2,令 + 1替换,有 + 1
= −2 − 2，即函数
1
2
= −2,令 = 1，有
1
−
2
= −2( + 1) = −2 − 2，即
.
【解析】 的定义域为，关于原点对称.
方法1∵ − +
=
=
1+ 2 −−1
1+ 2 −+1
+
1+ 2 +−1
1+ 2 ++1
[ 1+ 2 − +1 2 ]+[ 1+ 2 − −1 2 ]
=
1+ 2 −+1
1+ 2 ++1
−2+2
1+ 2 −+1
第3章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 函数的奇偶性
教材帮丨必备知识解读
知识点1 函数的奇偶性
例1-1 给出以下结论：
①若 的定义域关于原点对称，则 是偶函数；
②若 是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若 −2 = 2 ，则 ∈ 是偶函数；
当 = 0时， 0 = 0.（在利用
−

= ±1判断函数的奇偶性时，要求 ≠ 0，因
此对于使 = 0的自变量的值，需要单独考虑）
∴ 为奇函数.
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·河南省郑州市期中)已知 = 4 − 2 , = − 2 ，下列结论正确的是
数也不是偶函数.对于C，ℎ =
⋅
2−
= 4 − 2 , ∈ [−2,2)，定义域不关于原点
对称，故ℎ 不具有奇偶性.对于D，ℎ =

2−
=
4− 2
,

∈ −2,0 ∪
(0,2]，ℎ − = −
4− 2
,由于ℎ

− = −ℎ ，所以ℎ 是奇函数.
④若 ∈ 是偶函数，则 −2 = 2 ；
⑤若 2 ≠ −2 ，则 ∈ 不是偶函数；
⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是 = 0 ∈ ；
⑦若 是定义域为的奇函数，则 0 = 0.
②④⑤⑥⑦
其中正确的结论是____________．（填序号）
= − + = ,
= − − = −[ − − ] = − ,
∴ 为偶函数， 为奇函数，即 + − 是偶函数， − − 是奇函数.
【学会了吗丨变式题】
2.(2024·黑龙江省大庆铁人中学开学考试)已知函数 的定义域为，且
≠ 0，故1 + 0 = 0，即 0 = −1.
1
= ，
2
1
+
2
1
1
1
1
令
= − ，则有 − +
2
2
2
2
1
0
− = −1，
2
1
1
由 0 = −1，可得
− = 0，
2
2
1
1
又
≠ 0，故 − = 0，故A正确.
2
2
1
1
1
令 = − ，则有 − + −
1
+ 是减函数，所以D正确.
2
1
= −2 × 1 = −2，故B正确．故选C．
2
题型2 奇、偶函数图象特征的应用
例7 (2024·四川省成都市期中)已知 = 是偶函数， = 是奇函数，它们的
定义域都是[−3,3],且它们在[0,3]上的图象如图 3.2.2-2所示，则不等式
{| − < < −或 < < 或 < < }
−1
3 − 2
的定义域为{|
−1
∈ 且 ≠ 1}，（易忽略定义域，得
= 2 ,为偶函数）定义域不关于原点对称，
∴ 该函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2） = − 2 − + 2 ；
【解析】方法1 （定义法） 函数 = − 2 − | + 2|的定义域为，关于原点对称.