2019年高考数学理科考点一遍过13定积分与微积分基本定理(含解析)

考点13 定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.
一、定积分 1．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
2．求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .
3．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξ
i
(i =1,2, …,n )，作和式
1
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作
()d b
a
f x x ⎰
，即()d b
a
f x x ⎰=1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
. （2）在
()d b
a
f x x ⎰
中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函
数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b
b
a a
kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；
（2）[()()]d ()d ()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰
⎰⎰；
（3）
()d =()d +()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x ⎰
⎰⎰(其中a <c <b )．
【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．
5．定积分的几何意义
（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，
x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
（2）一般情况下，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，
x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该
区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b a
S f x x =⎰； （2）()d b
a
S f x x =-⎰；
（
3）
()()d d c b
a
c
S f x x f x x
=-⎰⎰； （4）
()()()()d d []d b
b
b
a
a
a
S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.
7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，
b ]上的定积分，即()d b
a
s v t t =
⎰
.
（2）变力做功
一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .
如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d b
a
W F x x =
⎰
.
二、微积分基本定理
一般地，如果 f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么
()d b
a
f x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其
中F (x )叫做 f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b
a F x ，即
()d b
a
f x x ⎰
=()|b a F x =F (b )−
F (a )． 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(b
b a a C x Cx C =⎰
为常数)；
（2）11d |(1)1
b
n n b
a a
x x x n n +=
≠-+⎰
； （3）sin d cos |b
b a a x x x =-⎰
； （4）cos d sin |b
b a a x x x =⎰；
（5）1
d ln |(0)b
b a a
x x b a x
=>>⎰
； （6）
e d e |b
x x b a a x =⎰
；
（7）d |(0,1)ln x b
x
b
a a a a x a a a
=
>≠⎰；
（8）
3
22|(0)3
b a a
x x b a =>≥⎰
.
考向一 定积分的计算
1．求定积分的三种方法
（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；
（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积
求定积分．例如，定积分
x ⎰
的几何意义是求单位圆面积的1
4
，所以
π
=
4
x
⎰.
2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；
（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
（5）计算原始定积分的值.
3．分段函数的定积分
分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
4．奇偶函数的定积分
（1）若奇函数y=f(x)的图象在[−a，a]上连续，则()d0
a
a
f x x
-
=
⎰；
（2）若偶函数y=g(x)的图象在[−a，a]上连续，则
()d2()d
a a
a
g x x g x x
-
=
⎰⎰.
典例
A．
1
2
B．1
C．2D．3
【答案】A
故选A．
【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.
1．若
cos2cos d
t
t x x
=-⎰，其中()
0,π
t∈，则t=
A ．
π
6 B ．
π3 C ．π
2
D ．5π6
考向二 利用定积分求平面图形的面积
利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数
求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．
（3）与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
典例2 设抛物线C ：y =x 2
与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．
13 C ．
2
3
D ．43
【答案】D
【解析】由2
1
y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.
如图，由对称性可知，1
2
30
1142(11d )2(11)033
S x x x =⨯-=⨯-=⎰. 故选D.
2．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是
A ．()d c
a f x x ⎰
B ．()d c
a
f x x ⎰
C ．
()d ()d b
c
a
b
f x x f x x +⎰
⎰
D ．
()d ()d c
b
b
a f x x f x x -⎰
⎰
考向三 定积分的物理意义
利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.
典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25
()731v t t +t
=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln
113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2
【答案】C
【解析】令v (t )=0得，3t 2
−4t −32=0，解得t =4(8
3
t =-舍去). 汽车的刹车距离是4
24
00
253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +
t t t t t -=-++=++⎰
故选C.
3．已知物体运动的速度与时间的关系式为49v t =-，则物体从0t =到5t =所走的路程为 A ．11
B ．5
C ．
101
4
D ．20
1
A
B C ．π
D ．2π
2．求曲线2
y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是 A ．()1
2
0d S x x x =
-⎰
B ．()
1
2
0d S x
x x =
-⎰
C ．()
12
d S y y y =-⎰
D 3
．若
()π4
sin cos d 2
a
x x x +=
⎰，则a 的值不可能为 A ．
13π
12 B ．
7π4 C ．29π12
D ．37π12
4．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()3
4120f x x x f f '+'=-，则1
()d f x x =⎰
A ．1
B ．1-
C ．
39
4
D ．394
-
5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是 A ．5m B
C ．6m
D
6．若函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫
=-
>> ⎪⎝
⎭
的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为
A ．
1
2
B ．
14
C ．
24
D ．
22
7．已知二项式9
12x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中3
x 的系数为212-，则e 1d a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为 A ．2e 1
2+
B ．2e 32-
C ．2e 32
+
D ．2e 52
-
8．曲线2
y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为
A ．1
4
-
B ．
C ．1-
D 1 9．设()2
2f
x x x =-
,在区间[]01，上随机产生10000个随机数，构成5000个数对
()(),1,2,
,5000i i x y i =，记满足()()1,2,,5000i i f x y i ≥=的数对(),i i x y 的个数为
X ,则X 的估计值约为
A ．3333
B ．3000
C ．2000
D ．1667
10．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，
且
()0
d 6a f x x =⎰，则()()2d a
a
f x
g x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰
__________．
1．（2015年高考湖南卷理科）
2
(1)d x x -=⎰
．
2．（2015年高考天津卷理科）曲线2
y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．
4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.
若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截
面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【点睛】本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.求解时，首先求出定积分
cos d
t
x x
⎰，代入0
cos2cos d
t
t x x
=-⎰，利用二倍角公式得到关于sin t的方程，求出sin t，结合t的范围可得结果.
2．【答案】D
【解析】由定积分的几何意义知，图中阴影部分的面积为
()
[]d()d()d()d
b c c b
a b b a
f x x f x x f x x f x x
-+=-
⎰⎰⎰⎰.
故选D．
3．【答案】B
【解析】由积分的物理意义可知物体从t=0到t=5所走的路程为()()
525
49d29|50455
t t t t
-=-=-=
⎰.
故选B．
1．【答案】A
【解析】(()22
11
y x x y
=∴-+=表示以()
1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积
分
x
⎰等于该圆的面积的四分之一，∴A．2．【答案】A
【解析】如图所示，
由定积分几何意义可得()1
2
d S x x x =-⎰，
故选A ． 3．【答案】B 【
解析】由题得
()()ππ4
4
ππ
sin cos d sin cos |cos sin cos sin sin cos 44a
a
x x x x x a a a a +=-=---=-⎰
π42a ⎛
⎫=-=
⎪⎝⎭
，所以π1sin 42a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，把7π4a =代入，3π1sin 22≠,显然不成立，故选B ．
5．【答案】D
【解析】由题意可得在第
1s
至
2s
之间的
1s
内经过的路程
13
2
=
,故选D ． 6．【答案】C
【解析】由图可知，1A =，
πππ
2362
T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πT =，∴2ω=，则()πs i n 26f
x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
. ∴
图
中
的
部
分
的面积为
π
π12
120
π1π1πππs i n 2d c o s (
2
62
626
6
S x x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=
--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰
.
112⎛=⨯= ⎝⎭
.故选C ． 【名师点睛】本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解函数的解析式，再在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法： ①利用微积分基本定理求原函数；
②利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；
③利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0. 7．【答案】B
【解析】二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭的展开式的通项为99219911C C 22r r
r r r r r T x x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3r =可得3
x 的系数为3
393
121C 22a a ⎛⎫
⋅= ⎪⎝⎭
．由题意得3212122a =-，解得1a =-． 所以e
e 12
12e 11d 1e 3
ln |2d 2x x a x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰．
故选B ．
【名师点睛】先由二项式定理求得展开式的通项，根据题意求得实数a 的值，再根据微积分基本定理求定积分． 8．【答案】D
【解析】如图所示，曲线2
y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2
y x x =--与
直线y kx =的交点为()
21,k k k ----和0,0（）．
由题意和定积分的几何意义得：
()
22
1
1()d 2d k
x x x x
x kx x -----=---⎰
⎰
，
化简得：()()33
111=2
632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭
，即3
1=1+2k （），解得：112k =-=-．
故选D ．
【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：
(1)画出图形，确定图形范围；
(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．
2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】A
【解析】满足()i i y f x ≤是在曲线()y f x =、0,1y x ==所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为()1
2
2
310
122d |33x x x x
x -=-=⎰，故X 的估计值为2
500033333
⨯≈. 故选A ．
【名师点睛】对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.设事件A 为“[]
0,1上随机产生数对(),x y ，满足()y f x ≤ ”，则总的基本事件为01
01
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，对应的测度为正方
形的面积1，而随机事件A 对应的测度为为曲边梯形()0101y f x x y ⎧≤⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
的面积，它可利用定积分
来计算. 10．【答案】12
【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，
∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0
d 2d 12a
a a f x x f x x -==⎰
⎰，()d 0a
a
g x x -=⎰，
∴
()()()()2d d 2d 12a
a
a
a a a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．
【点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分
()()d (0)b
a f x x f x >⎰的
几何意义是表示曲线()y f x =以下、x 轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．
1．【答案】0 【解析】
2
22
00
11(1)d ()|42022
x x x x -=-=⨯-=⎰.
2．【答案】
1
6
【解析】由题意可得封闭图形的面积为
1
2
23100
11111()d ()|23236
x x x x x -=-=-=⎰
.
4．【答案】
5
12
【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4,
阴影部分的面积S 阴影=322
211
1754d 44333
| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =55
3412
S S ==阴影.
5．【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2
225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225
y x =
，所以当前最大流量是
()()5
3
235
35
5
22
2240(2)d (2)(255)[255]2575
75753
x x x x ---
=-=⨯-
⨯-⨯--⨯-=⎰
，故
原始的最大流量与当前最大流量的比值是16
1.2
40
3
，所以答案为1.2．。