2019届高三文科数学测试题(二)附答案

2019届高三文科数学测试题(二)附答案
2019届高三理科数学测试卷（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合(){}
2log 2A x y x ==-，若全集U A =，{}12B x x =<<，则U B =（ ）
A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
2．设i 是虚数单位，若复数()5i
12i
a a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
3．若()0,πα∈，()2
sin πcos 3
αα-+=
，则sin cos αα-的值为（ ） A ．
23
B ．23
-
C ．
43
D ．43
-
4．设平面向量(
)
3,1=
a ，(),3x =-
b ，⊥a b ，则下列说法正确的是（ ）
A ．3x =是⊥a b 的充分不必要条件
B ．-a b 与a 的夹角为
π
3 C ．12=b
D ．-a b 与b 的夹角为π
6
5．已知双曲线()22
22:10,0y x C a b a b
-=>>的离心率为3，且经过点()2,2，则双曲线的实轴
长为（ ） A ．
12
B ．1
C ．22
D ．2
6．若3
21n xdx =+⎰，则二项式22n
x x ⎛
- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．
45
256
B ．45256
-
C ．
45128
D ．45128
-
7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为10，4，则输出的a =（ ）
A ．0
B ．14
C ．4
D ．2
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163
B ．
203
C ．
169
D ．
209 9．已知0a >，1a ≠，()2x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有()1
2
f x <则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥
⎝⎦
B ．(]10,1,22⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．(]1,11,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．[)1,12,2⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
10．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ） A ．31200元
B ．36000元
C ．36800元
D ．38400元
11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫
⎪⎝⎭上为
单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当1t ，217π2π,123t ⎛⎫
∈-- ⎪⎝
⎭，且12t t ≠时，()()12f t f t =，则()12f t t +=（ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
12．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）
A ．存在点P 使得1k ≥
B ．对于任意点P 都有1k <
C ．对于任意点P 都有0k <
D ．至少存在两个点P 使得1k =-
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知平面向量()1,x y =-a ，1≤a ，则事件“y x ≥”的概率为__________．
14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足3
2
NF MN =
，则NMF ∠=_________． 15．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，
AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．
16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111
...2n
T T T +++<．
18．（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，
90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点． （1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；
（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --10
请说明理由．
21．（12分）已知()()()ln f x x m mx m =+-∈R ， （1）求()f x 的单调区间；
（2）设1m >，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已
知曲线1C
上的点1,2M ⎛ ⎝⎭
对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫
⎪⎝⎭， （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（2）若点A ，B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2
2
11OA
OB
+
的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；
（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．
高三理科数学（二）答 案
一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B 二、填空题．
13．【答案】1142π-
14．【答案】π
6
15．【答案】3 16．【答案】
4
3
三、解答题． 17．【答案】（1）1
2
n n a -=；（2）见解析．
【解析】（1）11n n a S +=+，2n ≥，11n n a S -=+，所以()122n n a a n +=≥， 又11a =，所以22a =，212a a =符合上式，
所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12n n a -=． （2）由（1）知()()1212log log 2221n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，
所以()
21212
n n T n n +-==， 所以
()22212111111111......1...1212131n T T T n n n
+++=+++≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n
++-=-<-．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，
平面ABCD 平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC AE ⊥，又∵AE BE ⊥，BC
BE B =，
∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE △中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ． （2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =，
则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，()
0,0,0E ，
设()0,,0P a ，()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，()
2,0,2EC =，
因为0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅=，
所以EC ⊥平面BDF ，故()2,0,2EC =为平面BDF 的一个法向量， 设⊥n 平面BDP ，且(),,x y z =n ，则由BD ⊥n 得220x y z -++=， 由PB ⊥n 得20x ay -=，从而(),2,1a a =-n ，
cos ,EC EC EC ⋅<>=
=
n n n
，
∴cos ,10
EC <>=
n ，解得0a =或1a =，即P 在E 处或A 处． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题意可知， 4.5x =，21
y =，
8
8i i
x y x y
r -=
=
∑
94
0.924 4.58 5.57
=
==≈⨯⨯，
因为[]0.920.75,1∈，所以变量x ，y 线性相关性很强．
（2）8
1
82
2
21
88508 4.521
ˆ 2.242048 4.5
8i i
i i i x y
x y
b
x x
===⋅-⨯⨯==
=-⨯-∑∑， ˆˆ21 2.24 4.510.92a
y bx =-=-⨯=， 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92y
x =+， 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y
=⨯+=， 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33． （3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有
0，3，6，9，12千元， ()1110224P X ==⨯=，()111
32233
P X ==⨯⨯=
，
()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()111
92369P X ==⨯⨯=
，
()111
126636
P X ==⨯=
， 所以奖金总额的分布列如下表：
()
036912
44318936
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元．
20．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）．
【解析】（1，∴2
2b a
=， ∵离心率为
2，∴2
c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
（2）①当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形
②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =， 得()()22222400k x k x k ∆-++=>， 设M ，N 的横坐标分别为M x ，N x ，
则242M N x x k +=
+，∴2
4
4M N
MN x x p k =++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()1
10y x k k =--
≠，联立椭圆C 的方程，消去y
，
得()()222242200k x x k ∆+-+-=>，
设P ，Q 的横坐标为P x ，Q x ，则2
4
2P Q x x k
+=+，22222P Q k x x k -=+， ∴)22
12k PQ k +==+，
)
()2
222
1122PMQN
k S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令()2
11k t t +=>，
则()(
)2222111111PMQN
S t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭
四边形 综上(
)
min
PMQN
S =四边形
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析
．
【解析】（1）∵()()ln f x x m mx =+-，∴()1
f x m x m
'=-+， 当0m ≤时，∴()1
0f x m x m
'=
->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；
当0m >时，∴()11m x m m f x m x m x m
⎛
⎫-+- ⎪
⎝⎭'=-=++， 由()0f x '=，得()1
,x m m m =-+∈-+∞，
1,x m m m ⎛
⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，
1,x m m ⎛⎫
∈-++∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭，
单调递减区间为1,m m ⎛⎫
-++∞ ⎪⎝⎭
．
（2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫
-++∞ ⎪⎝⎭
，
不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122
ln ln x m mx x m mx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1
2
12e e mx
mx x m x m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 构造函数()e mx g x x =-，()e mx g x x =-与y m =图象两交点的横坐标为1x ，2x ，
由()e 10mx g x m '=-=可得ln 0m
x m
-=
<， 而()2ln 1m m m >>，∴
()ln ,m
m m
-∈-+∞， 知()e mx g x x =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增， 可知12ln m
m x x m
--<<
< 欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<-
，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫
<--∈-+∞ ⎪⎝⎭
， 考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫
<- ⎪⎝⎭， 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫
<-
⎪⎝⎭， 令()()2ln 2ln 2ln e 2e mx m mx m m h x g x g x x m m ---⎛⎫
=--=--- ⎪⎝⎭
， 则()(
)2ln 2ln e e 2e
e 222220e m mx
m mx
mx mx h x m m m ---⎛⎫
'=---=+-≥== ⎪⎝
⎭，
所以()h x 为增函数，又ln 0m h m ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，结合1
ln m m x m --<<知()10h x <， 即()112ln m g x g x m -⎛⎫
<-
⎪⎝⎭
成立，即120x x +<成立． 22．【答案】（1）见解析；（2）
5
4
．
【解析】（1
）将M ⎛ ⎝⎭
及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，
得π1cos 3π
sin 3a b ⎧
=⎪⎪=，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，ϕ为参数，即2214x y +=．
设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ= （或()2
22x R y R -+=），
将点π1,3D ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，
所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=即()2
211x y -+=．
（2）设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭在曲线1C 上，
所以
222
2
11
cos sin 14
ρθ
ρθ+=，
222222sin cos 14
ρθ
ρθ+=，
所以
22222
2
2
2
1
2111
1
cos sin 5sin cos 444
OA
OB
θθθθρ
ρ⎛⎫⎛⎫+
=
+
=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤．
【解析】（1）()34f x x x =-++，∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，
∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3
349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③，
解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．
（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，
可以作出()21,4
347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
的图象，
而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，
可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。