2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06 数列)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（06数列）
一、选择题：
1．(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 【解析】
18833363
6978()
442
2
26
a a S a a a a a a d a a d +=⇒=⇒+=∴==-=+=-
【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.
2．(2013福建理) 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++
*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=⋅⋅⋅∈则以下结论一定正确的是（ ）
A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q
B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q
C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2
m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为m
m q
【答案】C
【解析】等比数列{}n a 的公比为q,
22
22222
,m m m m
m m m a a a a a
a ++++=⋅=⋅112...m c a a a =⋅⋅⋅,212...,
m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅321222...,m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅2213c c c ∴=⋅∴数列{}n c 为等比数列，
2221212211212............m
m m m m m m m m m
a a a a a a q c q q c a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q 故选C
3．(2013江西理) 等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A
解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.
4．(2013辽宁文、理)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( )
A ．p 1，p 2
B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4 答案 D
解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．
na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．
对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d
n (n －1)
，
当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n
n
}递增，
但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，
则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.
∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.
【解析2】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312
n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但
1
1n a n n
=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确
5．(2013全国大纲文、理) 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43
-
，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10
) B ．
19
(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－
10) 答案：C
解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝4
3
-，∴a 1＝4.
∴S 10＝
101413113
⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.
6．(2013全国新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )
A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又
a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝1
9
.
7．(2013全国新课标Ⅰ文) 设首项为1，公比为2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-
答案 D
解析 S n ＝a 1(1－q n
)1－q ＝a 1－q ·a n
1－q
＝1－23a n
13
＝3－2a n .
故选D.
8、(2013全国新课标Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知m S =1()
2
m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.
9、(2013全国新课标Ⅰ理)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n
2
，则( )
A 、{S n }为递减数列
B 、{S n }为递增数列
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【命题意图】 【解析】B
二、填空题：
10．(2013安徽理)如图，互不-相同的点12,,,n A A X K K 和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上，
所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列
{}n a 的通项公式是_____*,23N n n a n
∈-=____。

【答案】 *,23N n n a n ∈-=
【解析】 22
10011011)(a a
S S S S A B B A S O B A n n n n =+⇒
∆++的面积为，梯形的面积为设.
4
1
)(
,32210==⇒a a S S .)(132
32.)(3431)()1(21
22122100+++++=+-=++⇒=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面
131
)(13113231077441)()()()()(21121121243232221+=
⇒+=+-⋅⋅==⇒+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n ΛΛ*,231,1311N n n a a n a n n ∈-=⇒=+=⇒+且
11．(2013北京文、理)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.
答案 2 2n ＋
1－2
解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q
＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－2
＝2n ＋1
－2.
12．(2013广东文) 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了15
13. (2013广东理) 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.
【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.
或:()57383220a a a a +=+=
14、(2013湖北理) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，
第n 个三角形数为()2111
222
n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k
边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 ()211
,322N n n n =+
正方形数 ()2
,4N n n =
五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2
,62N n n n =-
……
可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

【解析与答案】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故
()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴=
【相关知识点】归纳推理，等差数列
15．(2013湖南理) 设n S 为数列{}
n a 的前n 项和，1
(1),,2
n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；
（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫1
2100－1 解析 (1)∵S n ＝(－1)n a n －1
2n .
n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－1
8①
n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－1
16
，
∴a 1＋a 2＋a 3＝－1
16.②
由①②知a 3＝－1
16
.
(2)n >1时，S n －1＝(－1)n －
1a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1，
∴a n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n
.
当n 为奇数时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1
2a n －1；
当n 为偶数时，a n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n
.
故a n ＝⎩⎨⎧
－⎝⎛⎭⎫12n ＋1，n 为奇数，⎝⎛⎭⎫12n ，n 为偶数. ∴S n ＝⎩
⎨⎧
－12n ＋1，n 为奇数，0，n 为偶数.
∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝⎛⎭⎫122＋124＋126
＋…＋12100
＝－14⎝⎛
⎭⎫1－121001－1
4
＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫1
2
100－1
16. (2013湖南文) 对于E={a 1，a 2,….a 100}的子集X={a 1，a 2,…,a n },定义X 的“特征数列” 为x 1,x 2…,x 100,其中x 1=x 10=…x n =1.其余项均为0，例如子集{a 2，a 3}的 “特征数列”为0，1，0，0，…,0
(1) 子集{a 1,a 3,a 5}的“特征数列”的前三项和等于_____2________;
(2) 若E 的子集P 的“特征数列”P 1，P 2，…,P 100 满足P 1+P i+1=1, 1≤i ≤99;
E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，q 100 满足q 1=1，q 1+q j+1+q j+2=1， 1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为___17______. 【答案】 （1） 2 （2）
【解析】 (1) 由题知，特征数列为：1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前3项和 = 2。

(2) P 的“特征数列”:1,0,1,0 … 1,0. 所以P = },,{99531a a a a Λ.
Q 的“特征数列”:1,0,0,1,0,0 …1,0,0,1. 所以Q = },,,{10097741a a a a a Λ. 所以, {=⋂Q P },,971371a a a a Λ,共有17个元素。

17．(2013江苏) 在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为 ． 【答案】12
【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧
=+=
3
)1(2
15141q q a q a ，得：a 1＝1
32
，q ＝2，
a n ＝26－n
．记5
212
1
2-=+++=n n n a a a T Λ，2)1(212n
n n n a a a -==∏Λ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：52
11
212212+->-n n n ，当5
2
11212+->n n n 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故n max ＝12．
【解析2】
Q n N +
∈
112,n n N +
∴≤≤∈
又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12
18. (2013江西文) 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于 。

[答案]：6 [解析]：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解2
3
1
222...222100n
n +++++=-≥得n 为6.
19．(2013辽宁文、理)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63
解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，
因此S 6＝1×(1－26)
1－2
＝63.
20．(2013全国新课标Ⅱ理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 答案 －49
解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝10
3
.
两式相减得a 15－a 10＝10
3
＝5d ，
∴d ＝2
3
，a 1＝－3.
∴nS n ＝n ·⎝⎛⎭
⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝1
3
n (3n －20)．
由函数的单调性知f (6)＝－48，f (7)＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.
21、(2013全国新课标Ⅰ理) 若数列{n a }的前n 项和为S n ＝
21
33
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.
【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系，是容易题. 【解析】当n =1时，1a =1S =
121
33
a +，解得1a =1，
当n ≥2时，n a =1n n S S --=
2133n a +－(12133n a -+)=12
23
3n n a a --，即n a =12n a --， ∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1
(2)n --.
22．(2013重庆理) 已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64
解析 因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·
a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝(a 1＋a 8)×8
2
＝4×(1＋15)＝64.
23．(2013重庆文) 若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________.
答案 72
解析 设等差数列2，a ，b ，c,9的公差为d ，则9－2＝4d ，
∴d ＝74，c －a ＝2d ＝2×74＝72
.
三、解答题：
24．(2013安徽文) 设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n N ∈，函数
1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅ 满足'()02
f π
=
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1
22
n
n n a b a =+（
），求数列{}n b 的前n 项和n S .
【解析】由12a = 248a a +=
1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅
1212--sin -cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=+⋅⋅（
） 121'()--02
n n n n f a a a a π
+++=+=
所以，122n n n a a a ++=+ {}n a ∴是等差数列. 而12a = 34a = 1d =
2-111n a n n ∴=+⋅=+（）
（2）1111
22121222
n n n a n n b a n n +=+=++=++（
）（）（） 111-22122121-2
n n n n S ++=+
（）
（）
21=31-21
31-2
n
n
n n n n ++=++（）
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查
逻辑推理能力和运算能力.
25．(2013安徽理)设函数22222()1(,)23n n
n x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈K ，证明：
（Ⅰ）对每个n n N ∈，存在唯一的2
[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；
（Ⅱ）对任意n
p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<。

【答案】 （Ⅰ） 见下.
（Ⅱ）见下.
【解析】 （Ⅰ） 2
24232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n ++++++-=∴=>ΛΘ是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且. 010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅
++-<--⋅++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122242322Λ时当]1,3
2
[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f
综上，对每个n n N ∈，存在唯一的2
[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕)
（Ⅱ） 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x x x x x x f x x n n
n n n n n n p n n Λ
0)()1(4321)(2
212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f p n p
n n p n n p n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式
相减：
2
21
224
23
22
2242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n
p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++
++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）
（
）（2
2
12
2
4
42
3
32
2
2)
()
1(-4
-3-2
--p n x n x n
x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ΛΛ n
x x n
p n n p n n 1
-111<⇒<+-=
+.(证毕)
26．(2013北京文)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i . (1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；
(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． (3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．
(1)解 d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明 因为a 1>0，公比q >1.
∴数列a 1，a 2，a 3，…，a n (n ≥4)是递增数列． 因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1，
∴d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1q n －
1(1－q )．
因此d i ≠0，且d i ＋1
d i
＝q (i ＝1,2，…，n －2)，
故数列d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．
(3)证明 设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差，且d >0， 对于1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0.
∴A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i ，
又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i . 从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列， 因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1， 所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1.
因此a n ＝B 1，所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i ，
因此对于i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d . 故数列a 1，a 2，a 3，…，a n －1是等差数列．
27．(2013北京理)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .
(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；
(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列； (3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为 1.
(1)解 d 1＝1，d 2＝1，d 3＝3，d 4＝2. (2)证明 充分性：
若{a n }为公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 于是A n ＝a n ＝a 1＋(n －1)d ，B n ＝a n ＋1＝a 1＋nd . 因此d n ＝A n －B n ＝－d (n ＝1,2,3，…)．
必要性：因为d n ＝－d ≤0，∴A n ＝B n ＋d n ≤B n ∵a n ≤A n ，a n ＋1≥B n
∴a n ≤a n ＋1，于是A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1. 因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d . 故数列{a n }是公差为d 的等差数列． (3)证明 1°首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，矛盾． 2°{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：
若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项． {a n }中一定存在项为1，否则与d 1＝1矛盾； 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾；
因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a i ＝1，此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项． 所以由1°，2°知，{a n }中的项只能为1或2. ∵对任意n ≥1，a n ≤2＝a ，
∴A n ＝2，故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.
因此对任意正整数n ，存在m 满足m >n ，且a m ＝1，即数列{a n }中有无穷多项为1.
28．(2013福建文) 已知等差数列{}n a 的公差1d ，前n 项和为n S ．
（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．
本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，
所以21115108a a a +>+；即2
113100a a +-<，解得152a -<<
29．(2013广东文) 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且
2514,,a a a 构成等比数列．
(1)
证明：2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有
122311111
2
n n a a a a a a ++++<L ． 【解析】（1）当1n =时，22
122145,45a a a a =-=+
，20n a a >∴=Q
（2）当2n ≥时，()2
14411n n S a n -=---，22
114444n n n n n a S S a a -+=-=--
()2
221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+Q
∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514,,a a a Q 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2
222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=
21312a a -=-=Q ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）
()()
122311111111
1335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+L L 11111111123355721211111.2212
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.
30．(2013广东理) 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知
11a =,
21212
33n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；
(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有
1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,1212
2133S a =---,又111S a ==,所以24a =；
(Ⅱ) 当2n ≥时,32112
233
n n S na n n n +=---,
()()()()32
1122111133
n n S n a n n n -=-------
两式相减得()()()2112
213312133n n n a na n a n n n +=----+---
整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121
a a
-=
故数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为111a =,公差为1的等差数列,
所以()111n a
n n n
=+-⨯=,所以2n a n =.
(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,1211157
1444a a +=+=<；
当3n ≥时,
()21111111n a n n n n n
=<=---,此时 222121111111111111
111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L L 111717
14244
n n =++-=-<
综上,对一切正整数n ,有121117
4
n a a a +++<L .
31．(2013湖北文) 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；
若不存在，说明理由．
解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1
.
(2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]
1－(－2)
＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013，
则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立；
当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．
32、(2013湖北理) 已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ,使得
121111m
a a a +++≥L ？若存在,求m 的最小值；若不存在,说明理由。

【解析与答案】（I ）由已知条件得：25a =，又2110a q -=，13q ∴=-或， 所以数列{}n a 的通项或2
53n n a -=⨯
（II ）若1q =-，
121111
05
m a a a +++=-L 或，不存在这样的正整数m ； 若3q =，12111919
110310
m
m a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，不存在这样的正整数m 。

【相关知识点】等比数列性质及其求和
33. (2013湖南文) 设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a •=-11，∈n N *
（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛n na ｝的前n 项和。

【答案】 （Ⅰ） *,21N n a n n ∈=- （Ⅱ）*,12)1(N n n n ∈+⋅-
【解析】 (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，
当Θ.1,011=≠⇒a a 111
1
1111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当-
.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为
（Ⅱ）n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅=ΛΛ321321321321设
1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT Λ
上式左右错位相减：
n n n n
n n n n na q
q a na a a a a T q 21211)1(111
321⋅--=---=-++++=-++Λ
*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒。

34．(2013江苏) 设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记c
n nS b n
n +=
2，*N n ∈，其中c 为实数．
（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）；
（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ． 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=，2
2)1(a
d n b n +-=．
当421b b b ，，成等比数列，412
2b b b =，
即：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322
d a a d a ，得：ad d 22
=，又0≠d ，故a d 2=．
由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 2
22=．
故：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）．
（2）c
n a
d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(， c n a d n c
a d n c a d n n ++--+-++-=2
222)1(22)1(22)1( c
n a d n c
a d n ++--+-=2
22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：022)1(2
=++-c
n a
d n c
，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c ．
经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．
35. (2013江西文) 正项数列｛a n ｝满足2
(21)20n n a n a n ---=。

（1）求数列｛a n ｝的通项公式a n ； （2）令1
(1)n n
b n a =
+，求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。

[解析]：(21)20n n ---=2
n n n n 解：（1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0
由于｛a n ｝是正项数列，则2n =n a 。

（2）由（1）知2n =n a ，故11111
()(1)(1)(2)2(1)
n n b n a n n n n =
==-+++
11111111(1...)(1)222312122
n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++n
36．(2013江西理) 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n
，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n
<564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2
＋n )](S n ＋1)＝0，
由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n .
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n .
(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n
＝n ＋1
4n 2(n ＋2)2
＝116⎣⎡⎦
⎤1
n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎡
⎝⎛
⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…
⎦
⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1
(n ＋2)2 ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝5
64
.
37．(2013全国大纲文) 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .
因为719
94,2,a a a =⎧⎨=⎩ 所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩
解得a 1＝1，1
2
d =.
所以{a n }的通项公式为1
2
n n a +=.
(2)因为222
11
n b n n n n ==-(+)+，
所以22222
22122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=
⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L .
38．(2013全国大纲理) 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝2
2a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式． 解：设{a n }的公差为d .
由S 3＝2
2a 得3a 2＝2
2a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得2
2S ＝S 1S 4.
又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．
若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.
39．(2013全国新课标Ⅱ文)已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；
解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，
即(a 1＋10d )2
＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n
2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .
40．(2013全国新课标Ⅰ文)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a
2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解 (1)∵S 3＝0，∴3a 2＝0， ∵S 5＝－5，∴5a 3＝5， ∴d ＝－1，a 1＝1. 故a n ＝2－n .
(2)1a 2n －1a 2n ＋1＝1(2n －1)(2n －3)＝12⎝
⎛⎭⎫1
2n －3－12n －1
S n ＝12⎝⎛⎭⎫－1－1＋1－13＋…＋12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫－1－12n －1＝－n
2n －1
41．(2013山东文) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－1
2
n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d 由⎩⎪⎨⎪⎧
s 4＝4s 2，a 2n ＝2a n
＋1得a 1＝1，d ＝2 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．
(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－1
2
n ，n ∈N *①
当n ≥2时，b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n －1a n －1＝1－1
2n －1②
①－②得：b n a n ＝12n ，又当n ＝1时，b 1a 1＝1
2也符合上式，
所以b n a n ＝1
2
n (n ∈N *)．
所以b n ＝2n －1
2
n (n ∈N *)．
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋322＋5
23＋…＋2n －12
n .
12T n ＝122＋3
23＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减得：
12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－1
2n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－2n ＋3
2
n .
42．(2013山东理) 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；
43. (2013陕西文) 设S n 表示数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式; (Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n
n q S q
-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.
【答案】(Ⅰ) )2
1
(2)(11d n a n a a n S n n -+=+=
;
(Ⅱ) }{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列。

【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=
)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n
n
n n ++++++++=⇒⎩⎨
⎧++++=++++=----ΛΛΛ)2
1
(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=⇒+=⇒.
(Ⅱ) 1,011≠≠=q q a 由题知，。

n n n n n n n n n n q q q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=⇒--=∈∀++++11111111
111*
，
*211
11N n q a n q
n a n n n n ∈=⇒⎩⎨⎧≥==--，.
所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列。

44. (2013陕西理) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
【答案】(Ⅰ) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)
1(,1)
1()1(,11q q q a q na S n n ; (Ⅱ) 见下；
【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

①.}{111111na a a a S a a q n n =+++==Λ的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211ΛΛ时，当.
上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=-Λ（
q q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒。

③综上，⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)
1(,1)
1()1(,11q q q a q na S n n
(Ⅱ) 使用反证法。

设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则 ①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立，则{1}n a +不是等比数列。

②当01*
≠+∈∀n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+1
1
111
111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当。

这与题目条件q ≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列。

（证毕）
45. (2013上海文) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知函数x x -=2)(f ，无穷数列{}n a 满足a n+1=f(a n ),n ∈N *
（1）若a 1=0，求a 2，a 3，a 4；
（2）若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值.
（3）是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n …成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由.
【答案】 （1） 2,0,2432===a a a
（2）22111+==a a ，或 （3）1,11==n a a 且
【解析】 （1） 2,0,20.||2)(432111===⇒=-=⇒=++a a a a a a a f a n n n n 由
（2）||-2|)|-2(||-2,,12212
221
2
23321a a a a a a a a a a a a ==⇒==⇒，且成等比Θ
|]-2|2[)-2(|]||-2|2[|)|-2(11211121a a a a a a -=⇒-=⇒
分情况讨论如何：
21-22[)-2(0-2112
111211≤=⇒=-=≥a a a a a a a ，且）（时，当
2
440482)4(22[)-2(0-212
11211111211=+-⇒=+-⇒-=--=<a a a a a a a a a a ）（时，当2222)2(0482112112
1≥+=⇒=-⇒=+-⇒a a a a a ，且
22111+==a a ，或综上，
（3）d a a a N n a d n n n n +=-=∈∀+||2*,,}{1则：满足题意，的等差数列假设存在公差为 .||2n n a a d +=-⇒讨论如下:
1122,0}{1=⇒=⇒===a a a d a m a n n n n 为常数数列时，即数列当
所以不满足题意。

，不是常数数列时当数列,02020}{>∃⇒=⇒=-<⇒n n n a d d a a 满足题意。

且的等差数列综上，存在1},{11==n n a a a
46．(2013上海理) 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a L 满足
*1(),n n a f a n N +=∈.
（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*
1,n n n N a a c +∈-≥，；
（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a L L 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【解答】：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，
3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+
（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立， ()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+ 即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；
若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立
综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*
n N ∈，1n n a a c +-≥
（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，
当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，
此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+L 也满足题意；
综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．
47．(2013四川文) 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．
解 设该数列的公比为q .由已知，可得 a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，
所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.
所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1
2
.
48．(2013四川理) 在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
解 设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0， 解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，
即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n
2
.
49．(2013天津文) 已知首项为3
2
的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N *)．
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3
＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3
2×⎝⎛⎭
⎫－12n －1
＝(－1)n －1·32
n .
(2)证明 S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋1
1－⎝⎛⎭⎫－12n
＝⎩
⎨⎧
2＋1
2n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)
，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6.
当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12.
故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤13
6
.
50．(2013天津理) 已知首项为3
2的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1
S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝
S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1
2
.故等比数列
{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32
n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n
＝⎩
⎨⎧
1＋1
2n ，n 为奇数，
1－1
2
n ，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝3
2
，故
0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝5
6
.
当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以3
4
＝S 2≤S n <1，故
0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7
12
.
综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤5
6.
所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7
12
.
51．(2013浙江文) 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；
(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.
所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.
则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21
2
n .
当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2
n ＋110.
综上所述，
|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩
⎨⎧
－12n 2＋21
2
n ， n ≤11，12n 2－21
2
n ＋110， n ≥12.
52．(2013浙江理) 在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列． （1）求n a d ,；
（2）若0<d ，求n a a a a ++++Λ321．
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

【答案解析】
（Ⅰ）由题意 5a 3⋅ a 1=(2a 2+2)2
，
即d 2
−3d −4=0． 故d =−1或d =4．
所以a n =−n +11，n ∈N *
或a n =4n +6，n ∈N *
（Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．因为d <0，由（Ⅰ）得d =−1，a n =−n +11．则
当n ≤11时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =−12n 2+21
2
n
当n ≥12时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=−S n +2S 11=12n 2−21
2
n +110
综上所述，
|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=⎩
⎨⎧−12n 2+21
2
n ， n ≤11， 12n 2−21
2
n +110，n ≥12．
53．(2013重庆文) 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.
解 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1
，S n ＝1－3n 1－3＝12
(3n
－1)．
(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，
故T 20＝20·3＋20·19
2
·5＝1 010.。