河南郑州2019高三上第一次质量检测-数学(理)

河南郑州2019高三上第一次质量检测-数学（理）
理科数学
第I 卷
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、
1.假设集合},2,1,0{x A =，A B A x B =⋃=},,1{2，那么满足条件的实数x 的个数有 A 、个B 2个C 、3个D 4个
2.假设复数i z -=2，那么
z
z 10+
等于 A.i -2 B.i +2 C.i 24+ D.i 36+
3.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，那么b a +2的值等于 A.2B 、1-C 、D 、2-
4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有5架歼15-飞机预备着舰假如甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法 A.12B.18C.24D.48
5.执行如下图的程序框图，假设输入2=x ，那么输出y 的值为 A 、5B.9C.14D.41
6.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(H h ≤≤0)，那么该函数的大致图象是
7.双曲线)0,0(12222>>=-b a b
x a y 的离心率为3，那么双曲线的渐近线方程为 A.x y 2
2
±
= B.x y 2±= C.x y 2±= D.x y 21±=
8.把70个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的6
1
是较小的两份之和，问最小的份为
A.2
B.8
C.14
D.20
9.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为
2
6,23,22，那么该三棱锥外接球的表面积为 A.π2 B.π6 C.π64 D.π24
10.设函数x x x f cos sin )(+=，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m a 平移后的图象恰好为函数)('
x f y =的图象，那么m 的最小值为
A.
4πB.3πC.2πD.3
2π 11.抛物线y x 42
=上有一条长为6的动弦AB ，那么AB 中点到x 轴的最短距离为
A.
43B.2
3
C.D.2 12.设函数x
x x f 1)(-=，对任意),1[+∞∈x ,⋅<+0)(2)2(x mf mx f 恒成立，那么实数m 的取值范围是
A.)21,(--∞
B.)0,21(-
C.)21,21(-
D.)2
1,0( 第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生依照要求作答。

【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.
)6,(),2,1(x b a ==,且b a //，那么b a -=_______
14.—个几何体的三视图如下图(单位:m )那么该几何体的体积为______3m .
15.假设y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ，当且仅当3==y x 时，
y ax z -=取最小值,那么实数a 的取值范围是______.
16()dx x a n
n ⎰+=
012，数列}1
{n
a
的前n 项和为n S ,数列}{n b 的通项公式为
8-=n b n ,那么n n S b 的最小值为_____.
【三】解答题：本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题总分值12分〕
c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，.2cos 2c a c b -=
(I )求B ;
(II)假设ABC ∆的面积为3，求b 的取值范围.
18.(本小题总分值12分〕
某高校组织自主招生考试,共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组:第一组
[)205,195,第二组)215,205[，…，第八组[]275,265.如图是按上述分组方法得到的频率分
布直方图，且笔试成绩在260分(含260分〕以上的同学进入面试.
(I)可能所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；
(II)面试时，每位考生抽取三个问题，假设三个问题全答错，那么不能取得该校的自主招生资格；假设三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，那么获A 类资格;其它情况下获B 类资格.现某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答三个面试问题时，三人对每一个问题正确回答的概率均为2
1
，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望.EX
19.(本小题总分值12分〕
如图，ABC ∆是等腰直角三角形，,2,90a AC ACB ==∠E D ,分别为AB AC ,的中点，沿DE 将ADE ∆折起，得到如图所示的四棱锥.BCDE A -'
(I)在棱B A '上找一点F ，使//EF 平面⋅'CD A
(II)当四棱锥BCDF A -'体积取最大值时，求平面CD A '与平面BE A r 夹角的佘弦值. 20.(本小题总分值12分〕
椭圆)0(1:2
222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为21,F F 点A 在椭圆C 上，⋅1AF 01=F ，,5||.||31212A F AF A F AF ⋅-=2||21=F F ，过点2F 且与坐标轴不垂直的
直线交椭圆于Q P ,两点.
(I )求椭圆C 的方程；
(I I )线段2OF 上是否存在点)0,(m M ,使得?MQ PQ MP QP ⋅=⋅假设存在，求出实数m 的取值范围；假设不存在，说明理由. 21. (本小题总分值12分〕 函数).(1)1ln()(R a x
ax
x x f ∈--
+= (I)求函数)(x f 的单调区间；
(I I )假设数列}{m a 的通项公式)()1
2201311(2013
N m a m
m ∈+⨯+
=，求证：)(3...21⋅∈<⋅⋅⋅N m a a a m
22. (本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲
如图:AB 是O Θ的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是O Θ的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点F ，交直线AD 于点F ，过点G 作O Θ的切线，切点为.H
求证：〔I)F E D C ,,,.四点共圆； (II)假设4,6==GE GH ,求EF 的长.
23.(本小题总分值10分〕选修4一4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为θ
θ
s c x y o 22sin 2{+==θ(为参数〕，在极坐标系〔与直角坐
标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴〕中，直线的方程
函数.|2||12|)(a x x x f -+-= (I )当1=a 时，求3)(≤x f 的解集；
(I I )当]2,1[∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 【参考答案】
1.B 【解析】由A B A =⋃知A B ⊆，因此02=x 或22=x 或x x =2，解得
.1,2,0±=x 验证1,0=x 不满足元素的互异性. 2.D 【解析】
().
365
2102210210i i i i i z z +=+++=-++=+ 3.C 【解析】由
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=++=+k a b a k 33131得,2,1=-=b a 因此.12=+b a
4.C 【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A ，有22
A 种方法；A 与戊机形成三个“空”，
把丙、丁两机插入空中有23A 种方法；考虑A 与戊机的排法有22
A 种方法。

由乘法原理可知
共有2
2
A 23A 22
A 24=种不同的着舰方法。

5.D 【解析】依程序运算得,41,14==y x 满足“是”，输出.
6.B 【解析】易排除C,D.当H h →时,S 减小的速度变小.由图象确定B 符合.
7.A 【解析】()22,31222±
==
+a
b a b ,因此双曲线的渐近线方程为x y 2
2±=. 8.A 【解析】不妨设为54321a a a a a <<<<，那么,7054321=++++a a a a a .143=a
由
()()5432161a a a a a ++=+得42121a a a =+，即()()()
d a d a d a +=-+-3332
1
2，解得,6=d .21
=a
9.B 【解析】设相互垂直的三条侧棱分别为,,,c b a 能够到
2221=ab ，2
621=bc ，2221=ab ，解得.3,2,1===c b a 因此62222=++=c b a R ，因此球的表面积
为.642ππ==R S
10.C 【解析】
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=4sin 2cos sin )(πx x x x f ， ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=-=4sin 2sin cos )('πx x x x f ，
由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+42sin 224sin 2ππππx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4cos 2πx .4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx 11.D 【解析】设AB 的中点为M ，焦点为()1,0F ，过M 作准线1-=y 的垂线MN ，作
l AC ⊥于C ，l BD ⊥于D .那么,32
22=≥+=+=
AB BF AF BD AC MN 因此AB 中点到x 轴的最短距离为.13min
-=d
12.A 【解析】由x x x f 1)(-=、0)(2)2(<+x mf mx f 可得m
m mx 241422
+<.
假设0>m ，那么关于m m mx 241422
+<得2
22
841m
m x +<不恒成立。

假设0<m ，那么关于m m mx 241422
+<得222841m m x +>，当),1[+∞∈x ，2
22
841m
m x +>时，只需,18412
2<+m
m 即,412
>m 因此.21-<m 综上可知.2
1-<m
二填空题
13.
.3,0261==-⨯x x 14.π+6【解析】该组合体有圆锥和长方体组成，
.
6313
11232
ππ+=⨯⨯⨯+⨯⨯=V
15.⎪⎭
⎫
⎝⎛-
53,32【解析】画出可行域，得到最优解()3,3，把y ax z -=变为z ax y -=，即研究z -的最大值。

当⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈53,32a 时，z ax y -=均过()3,3且截距z -最大。

16.4-【解析】
()
n
n x
x a n n +=+=20
2，
1
111+-
=n n a n ，
1+=n n S n ， .
41019
1199-≥-+++=++-=n n n n S b n n 【三】解答题
17、【解析】⑴由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-， 在ABC ∆中，sin sin()sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，
sin (2cos 1)0C B ∴-=，又0,sin 0C C π<<>，
1cos 2B ∴=，注意到0,3
B B ππ<<∴=
、
⑵
1
sin 3,42
ABC
S ac B ac ∆==∴=， 由余弦定理得222222cos 4b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=， 当且仅当2a c ==时，“＝”成立，
2b ∴≥为所求、
18、【解析】⑴设第(1,2,,8)i i =组的频率为i f ，
那么由频率分布直方图知
71(0.0040.010.010.020.020.0160.008)100.12.f =-++++++⨯=
因此成绩在260分以上的同学的概率
7
80.14
2
f p f ≈+=， 故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人、
⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙，且甲的成绩在270分以上， 记事件,,M N R 分别表示甲、乙、丙获得B 类资格的事件， 那么
113()1884P M =--=，17()()188
P N P R ==-=
，
因此
1(0)()256
P X P M N R ===
，
17(1)()256P X P M N R M N R M NR ==++=
，
91(2)()256P X P MN R M NR M NR ==++=
，
147(3)()256
P X P MNR ===
，
因此随机变量X 的分布列为：
117911475()01232562562562562
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
、
19、【解析】⑴F 为棱A B '的中点、证明如下：
取C A '的中点G ，连结GF EF DG ,,， 那么由中位线定理得 BC
DE BC DE 2
1
,//=，且.
2
1
,//BC GF BC GF = 因此GF DE GF DE =,//，从而四边形DEFG 是平行四边形，.//DG EF 又⊄EF 平面CD A '，⊂DG 平面CD A '， 故F 为棱A B '的中点时，//EF A CD '平面、 ⑵在平面A CD '内作CD H A ⊥'于点H ，
DE A D
DE CD DE A CD A H DE A D CD D '⊥⎫⎪
''⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪'=⎭
平面，
又DE
CD D =，
⊥'∴H A 底面BCDE ，即H A '确实是四棱锥A BCDE '-的X
0 1 2 3
P
1
256 17256 91256 147256
高、
由A H AD '≤知，点H 和D 重合时，四棱锥A BCDE '-的体积取最大值、 分别以A D DE DC ',,所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图， 那么
()0,0,A a '，()0,2,a a B ，()
0,,0a E ，
(),2,A B a a a '=-，
()
0,,A E a a '=-， 设平面A BE '的法向量为()
,,m x y z =， 由
0,0,
m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得
20,
0,ax ay az ay az +-=⎧⎨
-=⎩即
20,,
x y z y z +-=⎧⎨
=⎩
因此，可取
()
1,1,1m =-、同理能够求得平面A CD '的一个法向量
()0,1,0.
n =
1011103
cos ,,
331m n
m n m n
⋅-⨯+⨯+⨯===⨯⋅
故平面A CD '与平面A BE '夹角的余弦值为
.3
3 20、【解析】⑴由题意
1212390,cos 5
AF F F AF ∠=∠=
，
注意到
12||2
F F =，因此
121235
||,||,2||||4
22
AF AF a AF AF ===+=， 因此2222,1,3a c b a c ===-=， 即所求椭圆方程为2
2
143
x y +=、 ⑵存在如此的点M 符合题意、
设线段PQ 的中点为N ，112200
(,),(,),(,)P x y Q x y N x y ，直线PQ 的斜率为
(0)k k ≠，
注意到2(1,0)F ，那么直线PQ 的方程为(1)y k x =-，
由
22
1,4
3(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，
由求根公式得：
1,2x =
因此
2122843
k x x k +=+，故
21202
4243x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，因此
22243(,)4343
k k N k k -++. 由
QP MP PQ MQ ⋅=⋅可得()20PQ MQ MP PQ MN ⋅+=⋅=，
即PQ MN ⊥，因此
2
22
30143443
MN
k k k k k m k ++=
=--+，
整理得
2
22
11
(0,)
3434
4k m k k =
=∈++，
因此在线段2
OF 上存在点)0,(m M 符合题意，其中
1(0,)
4
m ∈、
21、【解析】⑴由题意，函数的定义域为),1()1,1(+∞- ，
2
)1(11)(x a x x f --
+='，
当0≤a 时，注意到0)
1(,011
2
≤->+x a
x ，因此0)(>'x f ， 即函数()f x 的增区间为),1(),1,1(+∞-，无减区间； 当0>a 时，
2
22)1)(1(1)2()1(11)(x x a x a x x a x x f -+-++-=
--+='，
由0)(='x f ，得01)2(2=-++-a x a x ， 此方程的两根
2
82,2822221a a a x a a a x +++=
+-+=，
其中2111x x <<<-，注意到0)1)(1(2>-+x x ，
因此2
110)(x x x x x f ><<-⇔>'或，
21110)(x x x x x f <<<<⇔<'或，
A
即函数()f x 的增区间为),(),,1(21+∞-x x ，减区间为),1(),1,(2
1x x ，
综上，当0≤a 时，函数()f x 的增区间为),1(),1,1(+∞-，无减区间；
当0>a 时，函数()f x 的增区间为),(),,1(21+∞-x x ，减区间为),1(),1,(2
1x x ，
其中
2
82,2822221a
a a x a a a x +++=
+-+=、
⑵证明：当1=a 时，由⑴知，函数
x
x x x f --
+=1)1ln()(在)1,0(上为减函数，
那么当10<<x 时，
0)0(1)1ln()(=<--+=f x x x x f ，即x
x x -<
+1)1ln(，
令
1()201321m x m N *
=∈⨯+，那么11ln(1)20132120132m
m
+<⨯+⨯， 即
2013
11ln(1)2013212
m m
+<⨯+， 因此
1
2013
2
1(1)201321
m m m
a e =+<⨯+， 又
1
111124
2
2120,3
m
m
m m a a a a e e e
e
e -
>∴⋅⋅⋅<⋅⋅
⋅=<<、
22、【解析】⑴连接DB ，
AB 是⊙O 的直径，
090ADB ∴∠=，
Rt ABD Rt AFG ABD AFE ∆∆∠=∠在与中，，
又
ABD ACD ∠=∠， ACD AFE ∠=∠，
,,,C D E F ∴四点共圆、
⑵
2 C D F E GE GF GC GD GH O H GH GC GD ⇒⋅=⋅⎫⎬
⇒=⋅⎭
、、、四点共圆切于点⇒2
GH GE GF =⋅
又因为6,4GH GE ==，因此9,5GF EF GF GE ==-=、
23、【解析】⑴曲线C 的一般方程为22(2)4x y -+=，
即2240x y x +-=，化为极坐标方程是θρcos 4=、 ⑵ 直线的直角坐标方程为40x y +-=，
由
2240,4,
x y x x y ⎧+-=⎨
+=⎩得直线与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)，
因此弦长
2
2=OA 、――――10分
24、【解析】⑴原不等式可化为
2123
x x -+-≤，
依题意，当2x >时，333,x -≤那么2,x ≤无解，
当1
2
2
x ≤≤时，+13,x ≤那么2,x ≤因此1
2
2
x ≤≤，
当
1<2x 时，3-33,x ≤那么0,x ≥因此10<2
x ≤，
综上所述:原不等式的解集为
[]0,2、
⑵原不等式可化为2321
x a x -≤--，
因为
[]
1,2x ∈，因此24-2x a x
-≤，
即24242x a x x -≤-≤-， 故3424x a x -≤≤-对
[]
1,2x ∈恒成立，
当12x ≤≤时，34x -的最大值2，4x -的最小值为2， 因此为a 的取值范围为.。