(完整word)九年级数学提升之辅助圆问题

九年级数学尖子生辅导提升
辅助圆问题
考点一：共顶点等线段问题
1. 如图1，在直角梯形ABCD 中90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===，点
E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.
2. 在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．
⑴ 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；
⑵ 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ， 猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
3. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．
图1
N
M
O
P
D
C
B
A
图2
N
M O
P
D
C
B
A
⑴ 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时
AD
BC
=________； ⑵ 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算AD
BC
的值（用含α的式子表示）；
考点二：定边对定角问题
1. 已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；
R
B
P
C
A
D O
G S M
3
2
1
G N S
H O
D
A
C
M
P
B
R
2. 如图，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90
AEB
∠=︒，连结DE，求DE的最小值
.
3. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，ME AM
⊥交BCD
∠的外角平分线于E，求证：AM EM
=．
A
B C
D
E
M
4.如图, 45
XOY
∠=︒，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在,
OX OY 上移动，10
AB=，求点O到AB距离的最大值.
5. 如图，正三角形ABC
AD BC，点E是射线AD上一动点(不
∆边长为2，射线//
与点A重合)，AEC
∆外接圆交EB于点F，求AF的最小值.
6. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
D
考点三：四点共圆问题
1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：
BC CD =．
2. 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=3
1AC ，AE=3
2
AB ，
BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A 、E 、F 、D 四点共圆；
（2）若正△ABC 的边长为2，求A 、E 、F 、D 所在圆的半径。

3. 如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点E ，H 分别是边AB 上的点，点K 和M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH=AC ，EB=BC ，AE=AK ，BH=BM 。

D
C
B A
（1）求证：E、H、M、K四点共圆；
（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。

4. 如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP于D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点。

（1）证明：O、D、B、C四点共圆。

（2）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小。

考点四：最大张角问题
1. （1）如图1，在矩形ABCD中，3
BC=，如果BC边上存在点P，
AB=，4
使APD ∆为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD ∆,并求出此时BP 的长.
(2)如图2，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =, AD 是BC 边上的高，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点.当6AD =时，BC 边上存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BP 的长.
(3)有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE .山庄保卫人员想在线段
CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使AMB ∠大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知90A E D ∠=∠=∠=︒，270AB =m ，
400AE =m ， 285ED =m ，340CD =m,问在线段CD 上是否存在点M ，使60AMB ∠=︒?若存在，请求出符合条件的DM 的长;若不存在，请说明理由.
2. 如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使30APB ∠=︒的点P 有 个.
(2)若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标.
(3)当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值?若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由;若没有，也请说明理由
.
练习反馈：
1. 如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边CD AD 、的中点，BE CF 、相交于H ，求证：AH AB =．
H
F
E D
C B
A
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333y x =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ．
⑴求证：ABC
△是等边三角形；
⑵点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．
①若6
∠的度数；
CP=，直接写出AEP
②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），AEP
∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP
∠的度数；
3. 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为2
2013cm，P为正方形内一点，且PA PB=，求PB的长．
∠=︒，:5:6
OPB
45
4. 设D是等腰Rt ABC
、两点（但不过点A）任作一圆交△底边BC的中点，过C D
直线AC于点E，连接BE交此圆于点F．求证：AF BE
⊥．
5.如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为
B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。

AD⊥DC，D为垂足。

（1）求证：A、D、F、B四点共圆；
（2）求证：EF=FB。