2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1同步试题：3.3.1函数的单调性与导数课时

3.3.1函数的单调性与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是 A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增
【答案】A
【解析】因为1sin 0y x '=-≥恒成立，所以函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是增函数，故选A ．
2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x '=的图象可能是
【答案】B
3．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且满足()()f x f x '>，
(0)2f =，则不等式()2e x f x <的解集为
A ．(,0)-∞
B ．(,2)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(2,)+∞
【答案】C
【解析】，()F x 在R 上单调递减，又()2e x f x <等价于
4．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是
A ．(,2]-∞-
B ．(,1]-∞-
C ．[2,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】D
，因为函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，所以
()0f x '≥在区间(1,)+∞在区间(1,)+∞上单调递减，
所以1≥k ，故实数k 的取值范围是[1,)+∞．故选D ． 5在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是
A ．01a << B
C D ．1a >
【答案】D
6．设()sin f x x x =-，则()f x A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】因为()sin()(sin )()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数． 又()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，故()f x 既是奇函数又是增函数．故选B ． 7．已知函数()y f x =为定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-
（其中'()f x 是()f x 的导函数），若，(lg 3)(lg 3)b f =，
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
【答案】A
【解析】因为()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，则不等式'()()xf x f x <-为
'()()xf x f x <-，即'()()0xf x f x +<．设()()g x xf x =，则()g x 是偶函数，又'()'()()0g x xf x f x =+<，所以()g x 是(,0)-∞上的减函数，是(0,)+∞上的增函数，
，
，又，所以
，即c a b >>．故选A ．
8．（2016新课标全国I 在(,)-∞+∞单调递增，则
a 的取值范围是
A ．[1,1]-
B
C
D 【答案】C
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．函数2()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调递减区间为______________．
【解析】且(0,)x ∈+∞，
10．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实
数m 的取值范围是______________．
【解析】令()()F x f x x =-，则()()10F x f x ''=-<，故函数()()F x f x x =-在R 上单调递减，又由题设知(1)()12f m f m m -->-，则)()1(m F m F >-，故
m m <-1，即．故实数m 的取值范围是
11．已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠
______________． 【答案】1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知1x >，证明： 【答案】证明见解析．
∵1x >，∴()0f x '>， 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)ln111f x f >=+=．
13．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，试讨论()f x 的单调性．
【答案】见解析．
，0x >． 当0a ≤时，易知()f x 在(0,1)上为减函数，在[1,)+∞上为增函数；
当02a <<时，()f x 在上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；
当2a =时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；
当2a >时，()f x 在(0,1)上为增函数，在
14 （1）求函数()g x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值．
【答案】（1）函数)(x g 的单调递增区间是),e (+∞，单调递减区间是)e ,1(),1,0(；（2）
（2）因为()f x 在(1,)+∞上为减函数，且 在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．
a 15．（2016新课标全国I 文）已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(0,)+∞．
【解析】（1）()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f 'x a x x a x =-+-=-+，
（i ）设0a ≥，则当(,1)x ∈-∞时，()0f 'x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >． 所以()f x 在(1),-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． （ii ）设0a <，由()0f 'x =得1x =或(ln 2)x a =-．
，则()(1)(e e)x f 'x x =--，所以()f x 在R 上单调递增． ，则ln 21()a -<，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞时，()0f 'x >；
当(ln(2),1)x a ∈-时，()0f 'x <，所以()f x 在(,ln(2)),(1,)a -∞-+∞上单调递增，在(ln(2),1)a -上单调递减． ，则ln 21()a ->，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞时，()0f 'x >，当(1,ln(2))x a ∈-时，()0f 'x <，所以()f x 在(,1),(ln(2),)a -∞-+∞上单调递增，在
ln((1,)2)a -上单调递减．
（2）（i ）设0a >，则由（1）知，()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ，所以()f x 有两个零点． （ii ）设a =0，则()(2)e x f x x =-，所以()f x 只有一个零点．
（iii ）设a 1）知，()f x 在(1,)+∞上单调递增． 又当1x ≤时，，故()f x 不存在两个零点；
1）知，()f x 在(ln(1,2))a -上单调递减，在()n(),l 2a -+∞上单调递增．
又当1x ≤时()0f x <，故()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0,)+∞．
【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解．。