(完整版),初中二次函数知识点详解及典型例题,文档

知识点一、二次函数的看法和图像
1、二次函数的看法
一般地，若是特y ax2bx c( a, b,c是常数， a 0) ，特别注意a不为零那么 y 叫做 x的二次函数。

y ax2bx c(a, b,c是常数， a0) 叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a
抛物线的主要特色：
①有张口方向；②有对称轴；③有极点。

3、二次函数图像的画法
五点法：
〔1〕先依照函数剖析式，求出极点坐标，在平面直角坐标系中描出极点M ，并用虚线画出对称轴〔2〕求抛物线y ax2bx c 与坐标轴的交点：
当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。

将这五个点按从左到右的序次连接起来，并向上或向下延伸，就获取二次函数的图像。

当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D 。

由 C、M 、 D 三点可大概地画出二次函数的草图。

若是需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A 、B ，尔后按次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点二、二次函数的剖析式
二次函数的剖析式有三种形式：口诀-----一般两根三极点
〔1〕一般一般式：〔2〕两根当抛物线
y ax2bx c(a,b, c是常数， a0)
y ax2bx c 与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx c 0有
实根 x1和 x2存在时，依照二次三项式的分解因式ax 2bx c a( x x1 )( x x2 ) ，二次函数y ax2bx c 可转变为两根式y a( x x1)( x x2)。

若是没有交点，那么不能够这样表示。

a的绝对值越大，抛物线的张口越小。

〔3〕三极点极点式：y a(x h)2k (a, h, k是常数， a0)
知识点三、二次函数的最值
若是自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕，即当 x b
时，2a
y最值
4ac b2
4a。

若是自变量的取值范围是x1x x2，那么，第一要看b可否在自变量取值范围 x1x x2内，
2a
b4ac b2
假设在此范围内，那么
当x=时， y最值；假设不在此范围内，那么需要考虑函数在
2a4a
x1x x2范围内的增减性，若是在此范围内，y 随 x 的增大而增大，那么当x x2时，
y
最
大ax22bx2 c ，当x x1时，y最小ax12bx1 c ；若是在此范围内，y 随 x 的增大而减小，那么
当x x1时，y最大ax12bx1 c ，当x x2时，y最小ax22bx2 c 。

知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数
函数
图像性质
y ax
2
( , ,是常数，
a
0)
bx c a b c
a>0a<0
y
y
0x0x
〔 1〕抛物线张口向上，并向上无量延伸；〔1〕抛物线张口向下，并向下无量延伸；
〔 2〕对称轴是 x=
b
，极点坐标是〔 b ，〔2〕对称轴是 x=b，极点坐标是
2a2a2a
4ac b2
〔
b
，
4ac b2
〕；
2a4a
〕；
4a
〔 3〕在对称轴的左侧，即当 x<
b
时， y 随〔3〕在对称轴的左侧，即当 x<b时， y
2a2a x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即
b
时， y 随 x 的增大而增大，简记左减
当 x>
b
时， y 随 x 的增大而减小，简
2a
2a
右增；
记左增右减；
〔 4〕抛物线有最低点，当
x=
b
时， y 有最
〔4〕抛物线有最高点，当
x=
b
时， y 有最
2a
2a
4ac b 2
4ac b 2
小值， y 最小值
大值， y 最大值
4a
4a
2、二次函数 y
ax 2 bx c(a,b, c 是常数， a 0) 中， a 、 b 、 c 的含义：
a 表示张口方向： a >0 时，抛物线张口向上
a <0 时，抛物线张口向下
b 与对称轴相关：对称轴为
b
x=
2a
c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：〔 0， c 〕
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的
b 2 4a
c ，在二次函数中表示图像与
x 轴可否有交点。

当 >0 时，图像与当 =0 时，图像与当 <0 时，图像与
x 轴有两个交点；
x 轴有一个交点；
x 轴没有交点。

知识点五 中考二次函数压轴题常考公式〔必记必会，理解记忆〕
1、两点间距离公式〔当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以追求解题方法〕
y
如图：点 A 坐标为〔 x 1， y 1〕点 B 坐标为〔 x 2， y 2〕
那么 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为x 1 x 2
2
y 1 y 2
2
A
x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线剖析式转变为极点式y a x h
2
h ，k ；
k ，确定其极点坐标 ② 保持抛物线 y
ax 2 的形状不变，将其极点平移到
h ，k 处，详尽平移方法以下：
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax
2
y=ax 2
+k
【【 (h>0)【【【( h<0)【 【【 (h>0) 【【【( h<0) 【 【【(h>0)【【【 (h<0)【 【【 |k|【【【
【【 |k|【【【
【【 (k>0) 【【【 (k<0) 【 【【|k| 【【【
【【 |k|【【【
y=a( x-h)
2
【【(k>0) 【【【 (k<0)【【【 |k|【【【
y=a(x-h)2
+k
③平移规律
在原有函数的基础上
“h 值正右移，负左移；
函数平移图像大体地址规律〔中考试题中，只占
很大帮助，能够大大节约做题的时间〕
k 值正上移，负下移
〞．
3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有
特别记忆
--
同左上加
异右下减
(
必定理解记忆
)
说明①
函数中
ab
值同号，图像极点在
y 轴左侧 同左 ， a
b 值异号，图像极点必在
Y 轴右侧 异
右
②向左向上搬动为加
左上加 ，向右向下搬动为减 右下减
3、直线斜率：
k
tan y 2 y 1
x 2
b 为直线在 y 轴上的截距 4、直线方程：
x 1
4、① 两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y y 1 kx b
(tan ) x b
y 2
y 1
x( x x 1 )
x 2 x 1
此公式有多种变形
牢记
② 点斜 y y 1 kx(x x 1 )
③ 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式
: y ＝ kx ＋b( k ≠ 0)
x y
1
④ 截距
由直线在 x 轴和 y
轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
a b
牢记口诀 ---两点斜截距--两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，l1
：
y k1 x b1l 2
：
y k 2x b2假
设
l 1 //l 2，那么
有
l 1 // l
2
k
1
k
2且
b
1
b
2。

假设 l1 l 2k1k 21
d
kx0y0b kx0 y0b
k 2(1)2k 21 6、点 P〔x0，y0〕到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 :
7、抛物线y ax2bx c 中，a b c,的作用
〔 1〕a决定张口方向及张口大小，这与y ax 2中的a完满相同.
〔 2〕b和a共同决定抛物线对称轴的地址. 由于抛物线y ax2bx c 的对称轴是直线
x b
，故：① b 0 时，对称轴为y 轴；②
b
0 〔即 a 、 b 同号〕时，对称轴在y 轴左侧；
③ b2a a
0 〔即 a 、 b 异号〕时，对称轴在y 轴右侧.口诀 ---同左异右
a
〔 3〕c的大小决定抛物线y ax 2bx c 与 y 轴交点的地址.
当 x0 时，y c，∴抛物线y ax2bx c 与 y 轴有且只有一个交点〔0，c〕：
① c0 ，抛物线经过原点;
②c 0 ,与y轴交于正半轴；
③c 0 ,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，那
么
b
0 .
a
二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是要点；张口、极点和交点, 它们确定图象现；张口、大小由 a 断 ,c 与 Y 轴来相见 ,b的符号较特别，符号与 a 相关系；极点地址先找见，Y 轴作为参照线，左同右异中为 0，牢记心中莫凌乱；极点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。

假设求对称轴地址, 符号反 , 一般、极点、交点式，不相同表达能互换。

二次函数抛物线，选定需要三个点， a 的正负张口判， c 的大小 y 轴看，△的符号最简略，x 轴上数交点， a、 b 同号轴左侧抛物线平移 a 不变，极点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最要点。

关于 x 轴对称
y ax2bx c 关于 x 轴对称后，获取的剖析式是y ax2bx c ；
y a x h 2
y a x h
2 k 关于 x 轴对称后，获取的剖析式是k ；
关于y 轴对称
y ax2bx c 关于 y 轴对称后，获取的剖析式是y ax2bx c ；
y a x
2
k 关于 y 轴对称后，获取的剖析式是y a x h
2
h k ；
关于原点对称
y ax2bx c 关于原点对称后，获取的剖析式是y ax2bx c ；
y a x h 2
y a x h
2 k 关于原点对称后，获取的剖析式是k
关于极点对称
y ax2bx c 关于极点对称后，获取的剖析式是y ax2bx c b 2；
2a
y a x h 2
关于极点对称后，获取的剖析式是y a x h
2
k k ．
关于点m，n 对称
2
k 关于点 m，n 对称后，获取的剖析式是2
2n k
y a x h y a x h 2m
依照对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状必然不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛
物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原那么，选择合适的形式，习惯上是先确定原
抛物线〔或表达式的抛物线〕的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，尔后
再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是要点；
张口、极点和交点, 它们确定图象限；
张口、大小由 a 断 ,c 与 Y 轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与 a 相关系；极点地址先找见，线，左同右异中为 0，牢记心中莫凌乱；极点坐标最重要 , 一般式配方它就现，横标即为对称轴数最值见。

假设求对称轴地址 , 符号反 , 一般、极点、交点式，不相同表达能互换。

Y 轴作为参照 , 纵标函
解一元二次不等式：
第一化成一般式，构造函数第二站。

鉴识式值假设非负，曲线横轴有交点。

a正张口它向上，大于零那么取两边。

代数式假设小于零，解集交点数之间。

方程假设无实数根，口上大零解为全。

小于零将没有解，张口向下正相反。

13.1 用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，第一化成一般式。

调整系数随以后，使其成为最简比。

确定参数abc ，计算方程鉴识式。

鉴识式值与零比，有无实根便得知。

有实根可套公式，没有实根要告之。

用老例配方法解一元二次方程：
左未右已先分别，二系化“ 1 〞是其次。

一系折半再平方，两边同加没问题。

左侧分解右合并，直接开方去解题。

该种解法叫配方，解方程时多练习。

用间接配方法解一元二次方程：
未知先分别，因式分解是其次。

调整系数等互反，和差积套恒等式。

完满平方等常数，间接配方显优势
【注】恒等式
解一元二次方程：
方程没有一次项，直接开方最理想。

若是缺少常数项，因式分解没商讨。

b、 c 相等都为零，等根是零不要忘。

b、 c 同时不为零，因式分解或配方，也
可直接套公式，因题而异择良方。

二次函数：
二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定张口及大小，线轴交点叫极点。

极点非高即最低。

上低下高很惹眼。

若是要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定极点，两条路子再优选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就获取二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定张口及大小，张口向上是正数。

绝对值大张口小，张口向下 A 负数。

抛物线有对称轴，增减特色可看图。

线轴交点叫极点，极点纵标最值出。

若是要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定极点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大体定全图。

假设要平移也不难，先画基础抛物线，极点移到新地址，张口大小随基础。

【注】基础抛物线。