高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 理(2021年最新整理)

2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及其性质理
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第5讲直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α,m∥α，则l∥m
答案B
2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β"是“m⊥β”的( ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.
答案B
3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是（)．
A．PA＝PB＝PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等
解析条件A为外心的充分必要条件,条件C、D为内心的必要条件，故选B。

答案B
4。

如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°,BC1⊥AC，则C
在底面ABC上的射影H必在
1
( )．
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案A
5．设α，β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是 ( ）．
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β,m⊥n,则n⊥α
C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
D．若m∥α,n∥β，m⊥n,则α⊥β
解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B,存在n∥α情况,故B错；对D,存在α∥β情况，故D错．由n⊥α,n⊥β，可知α∥β,又m⊥β,所以m⊥α，故C正确，选C.
答案C
6．如图（a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点,现在沿AE、AF 及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H,如图(b）所示，那么,在四面体A－EFH中必有 ( ）．
A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，
∴AH⊥面HEF。

答案A
二、填空题
7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面
的位置关系是________．
解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案垂直
8．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β。

给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确;因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l,m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确;因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β,所以α，β可能平行或相交，故④错误．
答案①③
9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，
PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC。

又∵BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC。

同理PB⊥AC、PC⊥AB。

但AB不一定垂直于BC。

答案3个
10。

如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB;②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。

其中正确结论的序号是________．
解析由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC。

又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB,AF⊥BC。

又AE⊥PB,AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF。

故①②③正确．
答案①②③
三、解答题
11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC 上．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2)若AB 1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证:A1C∥平面AB1D.
解析（1）∵B1D⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴B1D⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，
∴AC⊥平面BB1C1C.
（2）错误!≠⇒
错误!⇒BC1⊥B1C,
∴四边形BB1C1C为菱形，
∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．
连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，
∴A1C∥平面AB1D。

12．如图所示，在直四棱柱ABCD－A 1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC,点M是棱BB
上一点．
1
（1）求证：B1D1∥平面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC;
（3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1）证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，
又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形,
∴B 1D1∥BD。

而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD,
∴B1D1∥平面A1BD。

（2）证明∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC。

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.
而MD⊂平面BB1D,∴MD⊥AC。

(3）解当点M为棱BB1的中点时，
平面DMC1⊥平面CC1D1D.
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O,连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，
∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1。

又可证得O是NN1的中点，
∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D。

13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
（2)证明：平面BDE⊥平面BCD.
（3)求三棱锥D－BCE的体积．
（1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD,
又MN＝AE＝错误!CD，
∴四边形ANME为平行四边形,
∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME,EM⊂平面CME，
∴AN∥平面CME。

(2）证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，
∴AN⊥平面BCD.
由(1)，知AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD。

又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD。

（3）解V D－BCE＝V E－BCD＝错误!S△BCD·｜EM｜
＝错误!×错误!×错误!＝错误!。

14．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1,AB＝AC ＝AA1＝错误!BC，B1C1綉错误!BC.
(1）求证：A1B1⊥平面AA1C；
(2)若D是BC的中点,求证：B1D∥平面A1C1C。

（3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．
（1）证明∵AB＝AC＝错误!BC，AB2＋AC2＝BC2,∴AB⊥AC,
又AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴AA1⊥AB,AA1∩AC＝A，
∴AB⊥平面AA1C，
又∵AA1綉BB1，∴四边形ABB1A1为平行四边形．∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C。

（2）证明∵B1C1綉错误!BC，且D是BC的中点,∴CD綉C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，
∴B1D∥C1C,B1D⊄平面A1C1C且C1C⊂平面A1C1C，∴B1D∥平面A1C1C.
(3)解连接AD，DC1,
V＝V三棱柱A
1B
1
C
1
－ABD＋V四棱锥C－AA1C1D
＝错误!×1×1×错误!＋错误!×（错误!×1）×1＝错误!.。