高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像课时作业1北师大版必修1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.1 二次函数的图像课时作业1 北师大版必修1
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2。

4.1二次函数的图像
一、选择题
1．已知抛物线经过点（－3，2)，顶点是(－2，3），则抛物线的解析式是( ）
A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1
C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1
[答案]A
［解析]设抛物线的解析式为y＝a（x＋2)2＋3。

将点(－3,2）代入，得2＝a(－3＋2）2＋3，
即a＝－1。

所以y＝－（x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
2．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，（横坐标不变），所得图像对应的函数解析式为( ）
A．y＝2x2B．y＝4x2
C．y＝错误!x2D．y＝错误!x2
［答案］A
［解析］由图像变换可知选A。

3．已知抛物线过点(－1，0)，（2,7），（1，4），则其解析式为（)
A．y＝错误!x2－2x＋错误!B．y＝错误!x2＋2x＋错误!
C．y＝错误!x2＋2x－错误!D．y＝错误!x2－2x－错误!
[答案］B
[解析]设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则根据题意得错误!
解得错误!
所以y＝1
3
x2＋2x＋错误!，故选B。

4．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图像中,可以成立的是（）
［答案]C
［解析]由b<0，排除B，D；A是抛物线开口向下，a<0,而直线体现了a〉0,从而排除A.
5．将函数y＝2(x＋1）2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )
A．y＝2x2B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
[答案]D
[解析］将y＝2(x＋1）2－3的图像向左平移1个单位后,得到y＝2(x＋2）2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2（x＋2）2的图像，故选D。

6．已知f（x)＝2(x－1)2和g(x)＝错误!（x－1）2，h(x）＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线,在同一坐标系中,哪个开口最开阔（）
A．g(x）B．f(x）
C．h（x）D．不确定
[答案］A
［解析]因二次函数y＝a(x－h)2＋的|a|越小，则二次函数开口越开阔．
二、填空题
7．二次函数f（x）＝错误!x2－x＋错误!的图像的顶点坐标为________．
［答案］（1，1)
［解析]f（x）＝错误!x2－x＋错误!＝错误!(x2－2x＋3）＝错误!(x－1）2＋1，所以其顶点坐标为(1，1)．
8．已知二次函数的图像经过点(1，4）,且与x轴的交点为(－1，0)和（3，0），则该函数的解析式是________．
［答案]f（x)＝－x2＋2x＋3
[解析]设函数的解析式为f(x）＝a(x＋1)（x－3）（a≠0）,
将点（1,4)代入，得a＝－1.
则f（x）＝－（x＋1）(x－3）＝－x2＋2x＋3。

三、解答题
9．已知二次函数的图像的顶点坐标是（1，－3)，且经过点P（2，0)，求这个函数的解析式．
[解析］解法1：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,
由题意得错误!解得错误!
∴函数的解析式为y＝3x2－6x。

解法2：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由题意得错误!解得错误!
∴函数的解析式为y＝3x2－6x。

解法3：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h）2＋(a≠0)，则顶点坐标为(－h,），
已知顶点为(1，－3),∴h＝－1，＝－3，
即所求的二次函数y＝a（x－1)2－3。

又∵图像经过点P(2，0),
∴0＝a×（2－1）2－3,∴a＝3，
∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x。

解法4：设解析式为y＝a（x－x1）(x－x2)（a≠0)，
其中x1，x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标，
已知抛物线与x轴的一个交点P（2，0），对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（0,0）,
∴x1＝0,x2＝2，
∴所求的解析式为y＝a（x－0）（x－2），
又∵顶点为(1，－3），∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.
10．已知二次函数满足f（x－2)＝f(－x－2），且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2错误!，求f（x）的表达式．
［解析］设f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0），
由f（x－2)＝f(－x－2)得对称轴为x＝－错误!＝－2,
∴b＝4a.
∵图像在y轴上的截距为1，∴c＝1，
又｜x1－x2｜＝错误!＝2错误!，
∴b＝2或b＝0（舍去）,a＝1
2
，
∴f(x)＝错误!x2＋2x＋1.
一、选择题
1．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB｜等于( ）A。

错误!B．－错误!
C．±c
a
D．以上都不对
［答案］B
[解析]∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(0)＝c〉0，a〈0，
设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1·x2＝c a ，
∴|OA｜＝－x1，|OB|＝x2,
∴|OA|·|OB|＝－错误!.故正确答案为B。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a〉b>c，且a＋b＋c＝0,那么它的图像是下图中的（)
[答案］A
[解析］因为a〉b〉c且a＋b＋c＝0，所以a〉0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．
二、填空题
3．若函数y ＝x 2
＋(a ＋2）x ＋3，x ∈[a ，b ］的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________. [答案］ 6
［解析] 解法1：二次函数y ＝x 2
＋（a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－错误!＝1,∴a ＝－4.
而该函数是定义在[a ，b ］上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的,则有a 到对称轴的距离与
b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.
解法2：∵二次函数y ＝x 2
＋(a ＋2）x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为
y ＝（x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数,可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4。

求b 同
解法1。

4．把二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度,所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.
[答案] －6 6
［解析] 由题意知y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2
－2x ＋1＝(x －1）2
先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到,即y ＝x 2
＋bx ＋c ＝（x －3)2
－3＝x 2
－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6。

三、解答题
5．已知二次函数g (x ）满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式． [解析] 由题意设g （x )＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0)， ∵g (1)＝1，g （－1）＝5,且图像过原点，
∴⎩⎨⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.
∴错误!∴g (x ）＝3x 2
－2x 。

6．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(错误!,错误!）所在的象限．
[解析] 由抛物线开口向上知a >0，
∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴, ∴c 〈0。

又∵对称轴x ＝－错误!在y 轴左边， ∴－错误!<0。

∴错误!>0.
∴a，b同号．
∵a〉0,∴b>0.
又∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2－4ac>0。

∴
a＋b
b2－4ac
〉0,错误!<0.
∴点(错误!，错误!)在第四象限．
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个不同的交点A(x1,0）、B(x2，0）且x21＋x错误!＝错误!，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？
［解析]由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3（x－1）2＋，展开得y＝－3x2＋6x－3＋,
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝错误!，
所以x2，1＋x错误!＝(x1＋x2)2－2x1x2＝错误!,得
4－错误!＝错误!，解得＝错误!。

所以，该抛物线是由y＝－3（x－1)2的图像向上平移错误!个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x－1)2＋错误!，
即y＝－3x2＋6x－错误!.。