人教版九年级数学上第二十二章 二次函数22.3第三课时最大面积是多少教学设计.doc

第二十二章二次函数22.3第三课时最大面积是
多少
陕西省旬邑县张洪镇原底社区初级中学李建成
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。

学生的活动经验基础：通过第七节的学习，学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了处理经验。

二、教学任务分析
教学目标：
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)过程与方法
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学
方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．
三、教学过程分析
第一环节 创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。

在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．
活动内容：由四个实际问题构成
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽△EAF ，得
AF
BC EA EB =即304040BC x =-．所以AD ＝BC ＝4
3(40－x )．
(2)要求面积y 的最大值，即求函数y ＝AB ·AD ＝x ·4
3(40－x )的最大值，就转化为数学问题了．
下面请小组开始讨论并写出解题步骤．
(1)∵BC ∥AD ，
∴△EBC ∽△EAF ．∴AF
BC EA EB =． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴
304040BC x =-．∴BC ＝4
3(40－x )． ∴AD ＝BC ＝43(40－x )＝30－4
3x ． (2)y ＝AB ·AD ＝x (30－43x )＝－4
3x 2＋30x ＝－4
3(x 2－40x ＋400－400) ＝－4
3(x 2－40x ＋400)＋300 ＝－43(x －20)2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．
即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．
2．问题二：将问题一变式：“设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？” 解：∵DC ∥AB ，
∴△FDC ∽△FAE ． ∴FA
FD AE DC =． ∵AD ＝x ，FD ＝30－x ． ∴
30
3040x DC -=． ∴DC ＝3
4(30－x )． ∴AB ＝DC ＝3
4(30－x )． y ＝AB ·AD ＝x ·34(30－x )
＝－
3
4x 2＋40x ＝－3
4(x 2－30x ＋225－225) ＝－34(x －15)2＋300． 当x ＝15时，y 最大＝300．
即当AD 的长为15m 时，长方形的面积最大，最大面积是300m 2．
3．问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.
40m 30m N
O A B
C
M
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB 边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y 的最大值是多少?
4．问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积
都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy ＋2
πx 2最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx ＝7x ＋4y ＋πx ＝15，所以y ＝4715x x π--．面积S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π--＝2
1πx 2＋2
715)x x (x π--＝－3.5x 2＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15，
∴y ＝4
715x x π--． 设窗户的面积是S (m 2)，则
S ＝
2
1πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4
715x x π-- ＝21πx 2＋2715)x x (x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x
＝－3.5(x 2－
7
15x ) ＝－3.5(x －1415)2＋392
1575． ∴当x ＝14
15≈1.07时， S 最大＝3921575≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多．
第二环节 归纳升华
活动内容：
同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出： 基本流程为：理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学问题．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
第三环节 课堂练习，活动探究
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用
竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养
鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
2. 正方形ABCD 边长5cm,等腰三角
形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点
B 、
C 、Q 、R 在同一直线l 上，当
C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以
1cm/s 的速度沿直线l 向左方向开
始匀速运动，ts 后正方形与等腰三
角形重合部分面积为Scm 2，解答下列问题：
(1)当t=3s 时，求S 的值；
(2)当t=3s 时，求S 的值；
(3)当5s ≤t ≤8s 时，求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值。

第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
第五环节 课后作业
习题22． 1、2
B。