2014-2015学年浙江省台州市温岭市八年级(下)期末数学试卷

2014-2015学年浙江省台州市温岭市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A．B．C．D．
2．（4分）下列计算中，正确的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于对这组数据的描述错误的是（）
A．众数是80 B．平均数是80 C．中位数是75 D．极差是15
4．（4分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD=BC B．AC=BD C．∠A=∠C D．∠A=∠B
5．（4分）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
6．（4分）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3：4，则对角线的长分别是（）
A．12cm，16cm B．6cm，8cm C．3cm，4cm D．24cm，32cm
7．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=1：1：2，其中能判断△ABC是直角三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（4分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P 点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）
A． B．C．
D．
9．（4分）定义运算*为：a*b=如：1*（﹣2）=﹣1×（﹣2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°．AB=AD=4，CD=3，点P在四边形ABCD的边长，若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）甲、乙两人在相同的条件下各射击了10次，两人命中的环数的平均
数
甲=
乙
=8环，方差S
甲
2=2环2，S
乙
2=2.2环2，则射击成绩较稳定的是．
12．（5分）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为．
13．（5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使点A落在对角线BD上的点F处，折痕为DE，则AE的长为．
14．（5分）一组数据1，2，x，4的中位数是3，则x的取值是．15．（5分）若直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是．
16．（5分）某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报销有两种方案如图所示．设推销员推销产品的数量为x（件），付给推销员的月报酬为y（元）．若公司决定改进“方案二”，保持基本工资不变，每件报酬增加m元，使得当销售员销售产品达到40件时，两种方案的报酬差额不超过100元，则m的取值范围是．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，AF、DE相交于点N，BF、CE相交于点M．求证：四边形EMFN是平行四边形．
19．（8分）如图，已知线段AC，利用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），作正方形ABCD，使AC为对角线．
20．（8分）一次函数y=ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点在一次函数y=ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a的值．
21．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥
AC且DE=AC，连结AE，OE，AE交OD于点F．
（1）求证：BF=3DF
（2）若正方形ABCD的边长为2，求AE的长．
22．（12分）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（图1）．
（1）请根据图1，回答下列问题：
①这个班共有名学生，发言次数是5次的男生有人、女生有人；
②男、女生发言次数的中位数分别是次和次；
（2）通过张老师的鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2所示，求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．
23．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，kb+a）（k为常数，k≠0），则称点P′和点P的“k交融点”，例如：P（1，4）的“2的交融点”为P′（2×1+4，2×4+1），即P′（6，9）
（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2的交融点”P′的坐标为
②若点P的“3的交融点”为P′（3，3），求点P的坐标．
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k交融点”为P′点，且△OPP′为等腰三角形，则k的值为
（3）点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=x的图象上，且点A是点B的
“交融点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
24．（14分）设直线AB与坐标轴交于两点A（x0，0），B（0，y0），以线段AB为边作菱形，使点C，D在坐标轴上，得到菱形ABCD（如图1）
（1）若直线AB的解析式为y=2x+3，则菱形ABCD的面积为；
（2）如图2，若直线AB的解析式为y=x+时，则菱形ABCD从点B出发，沿射线BC的方向以1个单位/秒的速度匀速运动，得菱形A′B′C′D，设运动时间为t秒．
①用含t的式子表示点B′的坐标；
②当t为何值时，B′C=BC；
（3）在（2）的条件下，过点B′作B′F⊥AD于F
①过点B′作y轴的平行线交直线CD于点E，当t为何值时，△B′EF为等腰三角形；
②当t为何值时，线段B′D=（直接写出t的值）
2014-2015学年浙江省台州市温岭市八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A．B．C．D．
【解答】解：A、2+x≥0，解得x≥﹣2．故本选项错误；
B、2﹣x≥0，解得x≥2．故本选项错误；
C、x﹣2＞0，解得x＞1．故本选项错误；
D、x﹣2≥0，解得x≥2．故本选项正确；
故选：D．
2．（4分）下列计算中，正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、=3，故本选项错误；
B、=5，故本选项错误；
C、==，故本选项错误；
D、=×=6，故本选项正确；
故选：D．
3．（4分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于对这组数据的描述错误的是（）
A．众数是80 B．平均数是80 C．中位数是75 D．极差是15
【解答】解：将6名同学的成绩从小到大排列，第3、4个数都是80，故中位数是80，
∴答案C是错误的．
故选：C．
4．（4分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD=BC B．AC=BD C．∠A=∠C D．∠A=∠B
【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．
5．（4分）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【解答】解：A、∵当x=﹣1时，y=4≠3，∴它的图象必经过点（﹣1，3），故A 错误；
B、∵k=﹣3＜0，b=1＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x=时，y=0，∴当x＞时，y＜0，故C正确；
D、∵k=﹣3＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
6．（4分）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3：4，则对角线的长分别是（）
A．12cm，16cm B．6cm，8cm C．3cm，4cm D．24cm，32cm
【解答】解：菱形的周长为40cm，则菱形的边长为10cm，
菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，
设菱形的对角线长为2x、2y，则x：y=3：4，
在Rt△ABO中，x2+y2=102，
解得x=6cm，y=8cm，
故对角线长为12cm，16cm．
故选：A．
7．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=1：1：2，其中能判断△ABC是直角三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，所以是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故不是直角三角形；
③∵a2=（b+c）（b﹣c），∴a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④∵a：b：c=1：1：2，∴a2+b2≠c2，不是直角三角形．
∴其中能判断是直角三角形的个数有2个，
故选：B．
8．（4分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P 点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）
A． B．C．
D．
【解答】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选：A．
9．（4分）定义运算*为：a*b=如：1*（﹣2）=﹣1×（﹣2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（）
A． B． C． D．
【解答】解：y=2※x=，
x＞0时，图象是y=2x的正比例函数中y轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=﹣2x 的正比例函数中y左侧的部分，
故选：C．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°．AB=AD=4，CD=3，点P在四边形ABCD的边长，若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=3，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB•sin∠ABD=4•sin45°=2＞，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，
∵sin∠CDF=，
∴CF=CD•sin∠CDF=＞，
所以在边BC和CD上到BD的距离为的点有2个，
总之，P到BD的距离为的点有4个．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）甲、乙两人在相同的条件下各射击了10次，两人命中的环数的平均
数
甲=
乙
=8环，方差S
甲
2=2环2，S
乙
2=2.2环2，则射击成绩较稳定的是甲．
【解答】解：∵平均数
甲=
乙
=8环，方差S
甲
2=2环2，S
乙
2=2.2环2，
∴S
甲2＜S
乙
2，
∴射击成绩稳定的是甲；故答案为：甲．
12．（5分）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为4或．
【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：=，
当5是斜边长时，第三边长为：=4，
故答案为：4或．
13．（5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使点A落在对角线BD上的点F处，折痕为DE，则AE的长为3．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD===10，
∵△DEF是由△DEA翻折得到，
∴DF=AD=6，BF=4，设AE=EF=x，
在Rt△BEF中，∵EB2=EF2+BF2，
∴（8﹣x）2=x2+42，
∴x=3，
∴AE=3，
故答案为3．
14．（5分）一组数据1，2，x，4的中位数是3，则x的取值是x≥4．
【解答】解：∵一组数据1，2，x，4的中位数是3，
∴当x＜4时，中位数小于3，不符合题意，
当x≥4时，中位数是3，
故答案为：x≥4．
15．（5分）若直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是±6．
【解答】解：直线y=3x+b与两坐标轴的交点为（0，b）、（﹣，0）
则直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积：•|b|•|﹣|=6
解得：b=6，b=﹣6，
则b的值是±6．
故答案为：±6
16．（5分）某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报销有两种方案如图所示．设推销员推销产品的数量为x（件），付给推销员的月报酬为y（元）．若公司决定改进“方案二”，保持基本工资不变，每件报酬增加m元，使得当销售员销售产品达到40件时，两种方案的报酬差额不超过100元，则m的取值范围是2.5≤m≤7.5．
【解答】解：设方案一的函数解析式为：y1=kx+b，
把（0，1200），（30，2700）代入得：，
解得：，
∴y1=50x+1200，
同理得：方案二的函数解析式为：y2=30x+1800，
增加报酬后方案二的解析式为：y2=（30+m）x+1800，
当x=40时，根据题意得：
①50x+1200﹣[（30+m）x+1800]≤100，
m≥2.5；
②[（30+m）x+1800﹣50x﹣1200]≤100，
m≤7.5；
∴2.5≤m≤7.5；
故答案为：2.5≤m≤7.5．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（8分）计算：．
【解答】解：原式=3﹣2﹣4+3
=﹣1．
18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，AF、DE相交于点N，BF、CE相交于点M．求证：四边形EMFN是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴AE∥CF，BE∥DF，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形，
∴AF∥EC，DE∥BF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
19．（8分）如图，已知线段AC，利用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），作正方形ABCD，使AC为对角线．
【解答】解：如图所示：四边形ABCD即为所求．
20．（8分）一次函数y=ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点在一次函数y=ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a的值．
【解答】解：（1）把（﹣，3）代入y=ax﹣a+1得﹣a﹣a+1=3，解得a=；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x=2时，y有最大值2，把x=2，y=2代入函数关系式得2=2a﹣a+1，解得a=1；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x=﹣1时，y有最大值2，把x=﹣1代入函数关系式得2=﹣a﹣a+1，解得a=﹣，
所以或a=1．
21．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥
AC且DE=AC，连结AE，OE，AE交OD于点F．
（1）求证：BF=3DF
（2）若正方形ABCD的边长为2，求AE的长．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AO=AC．
∵DE=AC，
∴DE=AC，
∵DE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OF=DF=OD，
又∵BO=DO，
∴BF=3DF；
（2）∵正方形的边长为2，
∴AO=DO=，
∵OF=DF=OD，
∴OF=，
∴AF==，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴AE=2AF=．
22．（12分）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（图1）．
（1）请根据图1，回答下列问题：
①这个班共有40名学生，发言次数是5次的男生有2人、女生有5人；
②男、女生发言次数的中位数分别是4次和5次；
（2）通过张老师的鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2所示，求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．
【解答】解：（1）①（2+1+6+4+2+3+2）+（1+2+3+2+5+4+3）=20+20=40名；
发言次数是5次的男生有2人、女生有5人；
②∵按从小到大排序后，男生第10个，11个都是4；女生第10个，11个都是5．∴男、女生发言次数的中位数分别是4；5；
（2）发言次数增加3次的学生人数为：40×（1﹣20%﹣30%﹣40%）=4（人）全班增加的发言总次数为：
40%×40×1+30%×40×2+4×3，
=16+24+12，
=52次．
23．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，kb+a）（k为常数，k≠0），则称点P′和点P的“k交融点”，例如：P（1，4）的“2的交融点”为P′（2×1+4，2×4+1），即P′（6，9）
（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2的交融点”P′的坐标为（﹣4，﹣5）
②若点P的“3的交融点”为P′（3，3），求点P的坐标．
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k交融点”为P′点，且△OPP′为等腰三角
形，则k的值为或1
（3）点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=x的图象上，且点A是点B的
“交融点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
【解答】解：（1）①∵﹣1×2+（﹣2）=﹣4，﹣2×2+（﹣1）=﹣5，
∴P′的坐标为（﹣4，﹣5）．
故答案为：（﹣4，﹣5）．
②设点P的坐标为（x，y），
由已知得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，）．
（2）设点P的坐标为（m，0），则P′（mk，m）．
∵点P在x轴的正半轴上，
∴m＞0．
当OP=OP′时，由两点间的距离公式可知：m2=m2k2+m2，
解得：k=0（舍去）．
当OP′=P′P时，由两点间的距离公式可知：m2k2+m2=（mk﹣m）2+m2．
解得；k=．
当OP=P′P时，由两点间的距离公式可知：m2=（mk﹣m）2+m2．
解得：k=1．
综上所述，k的值为或1．
故答案为：或1．
设点B的坐标为（x，y），A（a，a）．
∵点A是点B的“交融点”，
∴x+y=a，y+x=a．
∴y+x=×（x+y），整理得：y=x．
∴点B在直线y=x上．
如图所示：过点Q作QB⊥直线y=x，垂足为B．
∵QB⊥OB，
∴QB的解析式为y=﹣x+4．
将y=﹣x+4与y=x联立得：，解得：x=3，y=
∴点B的坐标为（3，）．
24．（14分）设直线AB与坐标轴交于两点A（x0，0），B（0，y0），以线段AB为边作菱形，使点C，D在坐标轴上，得到菱形ABCD（如图1）
（1）若直线AB的解析式为y=2x+3，则菱形ABCD的面积为9；
（2）如图2，若直线AB的解析式为y=x+时，则菱形ABCD从点B出发，沿射线BC的方向以1个单位/秒的速度匀速运动，得菱形A′B′C′D，设运动时间为t秒．
①用含t的式子表示点B′的坐标（t，﹣t）；
②当t为何值时，B′C=BC；
（3）在（2）的条件下，过点B′作B′F⊥AD于F
①过点B′作y轴的平行线交直线CD于点E，当t为何值时，△B′EF为等腰三角形；
②当t为何值时，线段B′D=（直接写出t的值）
【解答】解：（1）如图1中，
∵直线AB解析式为y=2x+3，
∴点A坐标（﹣，0），点B坐标（0，3），∴OA=，OB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OA=3，BD=6，
=•AC•BD=9．
∴S
菱形ABCD
故答案为9．
（2）如图2中，
①∵直线AB解析式为y=x+，
∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA=1，OB=，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵BB′=t，
∴B′（t，﹣t）
故答案为（t，﹣t）．
②当CB′=BC时，由题意2﹣t=×2或t﹣2=×2，
解得t=或，
∴t=或秒时CB′=BC．
（3）①如图3中，作CK⊥AD于K．则四边形CKFB′是矩形．
∵B′E∥BD，
∴∠CB′E=∠CBO=30°，
∵B′F⊥AD，AD∥BC，
∴FB′⊥CB，
∴∠FB′C=90°，
∴∠FB′E=60°，
∵△EFB′是等腰三角形，
∴△EFB′是等边三角形，
∴∠FEB′=60°，∵∠B′EC=30°，
∴∠FEB′=90°，
在Rt△EFD中，∵∠EFD=30°，
∴DF=2DE，
∴2﹣t+1=2t，
∴t=1．
∴t=1时，△EFB′是等腰三角形．
②如图4中，
当B1′在BC上时，由题意可知DF=，∴2﹣t+1=，
∴t=3﹣．
当B2′在BC的延长线上时，BB2′=3+，∴t=3+．
∴当t=（3）秒时，线段B′D=．。