2.2.2双曲线的简单几何性质(1) 精品教案

2.2.2双曲线的几何性质（1）
一、教材分析
本节课选自人教A 版选修1—1第二章圆锥曲线与方程,是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利
利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义,渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键.
本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，主要应指对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作讲解完双曲线
的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b
y a x 。

对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离二、学情分析
我所任教的班级是文科实验班和文科平行班，学生基础不是特别好，这节课本身也是一个难点，因此，我在引导学生思考的同时，必须适当讲解。

在此之前，学生已经学习了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课，我将继续采用类比、归纳等方法，启发学生推导出双曲线的简单几何性质。

通过双曲线的学习，可以使学生在已有知识结构基础上，拓展延伸，构建新的知识体系，同时对由方程讨论曲线性质（由数到形）的思想方法有更深刻的认识。

三、教学目标分析
平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。

教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的基本几何性质，初步掌握根据曲线的方程，研
究曲线的几何性质的方法和步骤。

根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识与技能：
①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；
②掌握双曲线标准方程中c
b
a,
,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念；
③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）过程与方法: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.
（3）情感态度与价值观: 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，
以及类比的学习方法及极限思想方法；使学生在合作探究活动中体验
成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.
四、重点、难点分析
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现（教科书在
本节末的“探究与发现”栏目中，解释了“为什么
b
y x
a
=±是双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的渐近
线”供学生阅读参考）的接受、理解和掌握有一定的困难。

因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。

并借助多媒体用几何画板给学生动态演示了双曲线上点的移动过程，让学生直观感受了渐近线，学生也易接受。

因此，我把渐近线的理解作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

(1) 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；
(2) 教学难点：双曲线的渐近线.
五、教学方法分析
这节课内容是通过双曲线方程研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。

在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到；凡是难度不大，经过学习，学生自
己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的求知欲，同时也有利于学习信心的建立，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与理解、掌握有一定的困难。

因此，在教学过程中应着重培养学生的创造性思维，通过引导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

对于例题的选择，可将例题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题的能力。

六、教学程序
设计思路
七、教学设想：
（一）复习式导入：
大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）……（师生共答）
在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，
你认为应该研究双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的哪些性质呢？
生：范围、对称性、顶点、离心率等.
这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）讲授新课：
我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的简单几何性质 （1）范围
（PPT ）从图形看，x 的取值范围是什么？
师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈
（2）对称性 （PPT ）从图形看，双曲线关于什么对称性？
生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的
那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？
生：……（犹豫）
提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点
椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）
类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以
看到，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？两个，顶点坐标是(,0)a ±
虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在
图形上。

为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的
特征矩形。

椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。

双曲线中也有
类似的定义。

如图，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫
做半实轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长.
我们知道，双曲线定义中a 和b 的大小关系是不确定的。

但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b 。

此时实轴2a 和虚轴2b 也是相等的。

实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为 （4）离心率
a x a x -≤≥或012222≥-=a x
b y 2222,1a x a
x ≥≥∴即a
x a x -≤≥∴或)
0(22≠=-m m y x
类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率。

椭圆离心率的范围是什么？（10<<e ）。

它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e 越大椭圆越扁）。

那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？10>∴<<e c a
e 对双曲线的形状有何影响呢？通过几何画板演示，得出结论：e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.
（5）渐近线
几何画板演示：
图1：初中学过，双曲线x
y 1=
的图像与x 轴和y 轴无限接近但不相交，那么x 轴和y 轴就是双曲线x y 1=的渐近线，只不过双曲线x y 1=不在标准位置。

图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是
双曲线特征矩形的对角线，其方程是x a
b y ±= 定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。

双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是x a b y ±=即0x y a b
±= 注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中的1改为0后得到新的方程22
220(0,0)x y a b a b
-=>>，它的解就是两条渐近线方程。

（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，起个名字“变零法”，避免记忆公式）
等轴双曲线22(0)x y m m -=≠的渐近线方程是y x =±，离心率是e =√2
渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。

（简述作图过程） 下面，我们来研究一下焦点坐标在y 轴上的双曲线的简单几何性质。

2.双曲线22
221(0,0)y x a b a b -=>>的简单几何性质
（1）范围 a y a y -≤≥或 R x ∈
（2）对称性 关于x 轴、y 轴、原点都对称
（3）顶点 ),0(a ±
（4）离心率 a
c e = （5）渐近线 x b a y ±
= 即0y x a b ±= 此处渐近线方程和双曲线方程的关系与前面类似。

（三）例题讲解
例1、求双曲线22916144y x -=的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
选题意图：拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。

本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。

加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

解：把方程22
916144y x -=化为标准方程22
1169y x -=. 由此可知，半实轴长4a =，半虚轴长3b =. 25c a =+= 所以，焦点坐标是(0,5)± 离心率54c e a ==，渐近线方程是043y x ±= 注：此问题由学生口答。

练习：求双曲线22
2916x y -=的渐近线方程
变式：已知双曲线的渐近线方程为
043y x ±=，且双曲线过点(3,A -，求此双曲线的标准方程 选题意图：如何利用已知信息求解双曲线的方程。

然后求a 、b 。

深化知识，加强应用，使知识系统化。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

提示：渐近线方程为043
y x ±=的双曲线的标准方程可设为22(0)169y x λλ-=≠
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些
收获？
1.双曲线的简单几何性质
2.双曲线与渐近线
（1）双曲线2222(0)x y m n λλ-=≠的渐近线方程是22220x y m n -=即0x y m n
±= （2）渐近线是0x y m n
±=的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠ （五）作业布置 P53 练习1、2、3、4
思考：求与双曲线22
1916
x y -=有公共的渐近线，且经过点(3,23)A -的双曲线的标准方程.
提示：与22
1916
x y -=共渐近线的双曲线的标准方程可设为22(0)916x y λλ-=≠ 解：设所求双曲线的标准方程可设为22
(0)916
x y λλ-=≠，由题意得 22(3)(23)916λ--= 解得14
λ= 所以，所求双曲线的标准方程为221944
x y -= 八、板书设计
九、课后反思：让学生通过自我反思和互相质疑提问的方式，归纳、总结本节课的主要内容，本节课“我有什么收获，我认为本节课自己掌握不够好的知识，还存在什么问题”，进一步让学生明白本节课所学内容和数学思想方法。

作为老师，我觉得这节课例题设计方面，区分度不大，讲解时板演步骤有点乱，直接导致学生作业步骤不规范、不美观、不整洁，这一点，我需要时刻提醒自己去改进。

对于几何画板的演示，也出现了不完美
的地方，有些数据给的不太好，导致我上课意图没得到充分体现，也说明备课时，还是没准备太充分。

总之，以后的上课，我还是需要更好地完善自己，方能“知己知彼，完善课堂”。