高中数学立体几何中的最值问题专题辅导

高中数学立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。

下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值
例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ）
A. 55
B. 552
C. 2
D. 1
解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。

过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，552=
OQ 中。

又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为
5
52，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。

故选B 。

图1
二、定性分析法求最值
例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。

AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。

解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。

过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。

连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。

则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=3。

故3≥CD 。

图2
三、展成平面求最值
例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。

平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）
A. 2a
B. 2b
C. 2c
D. a+b+c
图3-1
解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。

由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A ’、D 与D ’在四面体中是同一点，且''////D A BC AD ，'//CD AB ，A 、C 、A ’共线，D 、B 、D ’共线，BD DD AA 2''==。

又四边形PQRS 在展开图中变为折线S ’PQRS ，S ’与S 在四面体中是同一点。

因而当P 、Q 、R 在S ’S 上时，RS QR PQ P S +++'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。

又''SA A S =，所以最小值''DD SS L ==b BD 22==。

故选B 。

图3-2
四、利用向量求最值
例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为_______。

解析：以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），G （1，1，1）。

根据题意设P （x ，0，x ），则)01(x x BP ，，-=→，)111(---=→x x GP ，，，那么
图4
12234222+-++-=+x x x x PB GP
222221021220)1(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x 式子222
221021220)1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 可以看成x 轴正半轴上一点（x ，0，0）到xAy 平面上两点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0221，，、⎪⎭⎫ ⎝⎛02121，，的距离之和，其最小值为221+。

所以GP+PB 的最小值为222
212+=+
⋅。