浙江省2013届高三数学一轮复习 三角恒等变换单元训练

浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：三角恒等变换 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＞0，则α在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )
A ．－45
B ．－35
C ．35
D ．45
【答案】B
3． 设2234sin sin 2,sin ,25cos cos 2a a a a a a
ππ+<<=-+则的值为（ ） A ．20 B ．-20 C ．4 D ．-4
【答案】A
4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 【答案】C
5．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A 247 B 247- C 724 D 7
24- 【答案】D
6．计算︒-5.22sin 212的结果等于（ ）
A ． 21
B ． 2
2 C ． 3
3 D ． 23 【答案】B 7．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )
A ．－
1＋a 2 B ．－1－a 2
C ．－
1＋a 2 D ．－1－a 2 【答案】B 8． 已知tan α＝4，则21cos 28sin sin 2ααα
＋＋的值为（ ）
A ．
B ．65
4 C ．4
D ．3 【答案】B
9．已知53sin =α，则⎪⎭⎫
⎝⎛+απ2sin 的值为（ ）
A ．54
±
B ．54
-
C ．54
D ． 53
-
【答案】A
10．cos 2π8－1
2的值为( )
A ．1
B ．1
2
C ．2
2 D ．2
4
【答案】D
11．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π
4－1是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
【答案】A
12．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π
3－sin x (x ∈0，π
2)的值域是(
) A ．－2,2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1
2，32
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1
2，32
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知cos(α+
2π)=45,且α∈(32π,2π),则sin2α=_______. 【答案】-2425
14．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________
15．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的最大值是______． 【答案】34
16．有四个关于三角函数的命题：
p 1：∃x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x 2＝12
； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；
p 3：∀x ∈0，π，1－cos 2x 2
＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2
． 其中假命题有________．(填代号)
【答案】p 1，p 4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin2ωx 2(ω>0)的最小正周期为3π
(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，3π4时，求函数f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．
【答案】f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos(ωx )2
＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1， 依题意函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋π6－1.
(1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3
， 所以，当23x ＋π6＝2π3，即x ＝3π4
时， f (x )最小值＝2×32
－1＝3－1. (2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2C 3＋π6－1及f (C )＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2C 3＋π6＝1，因为0<C <π， 所以π6<2C 3＋π6<5π6，所以2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2
， 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2
，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )， ∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，
∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52
， ∵0<sin A <1，∴sin A ＝
5－12． 18．已知cos α=17,cos(α-β)= 1314,且0<β<α< 2
π. (1)求tan2α的值；
(2)求β.
【答案】(1)由cos α=17,0<α<2
π,
得sin α==.
∴tan α= sin 7cos 1
α==α
于是tan2α=()222tan 243831tan 47143α⨯==--α-. (2)由0<β<α< 2π,得0<α-β< 2
π, 又∵cos(α-β)= 1314, ∴sin(α-β)= 2213331cos ()1()1414
-α-β=-=. 由β=α-(α-β)得:
cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=113433317147142⨯+⨯=,所以β= 3
π. 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为225,105
． (Ⅰ）求)tan(βα+的值； (Ⅱ）求2αβ+的值．
【答案】由已知条件及三角函数的定义可知，225cos ,cos 105
αβ==.
因为α,β为锐角，所以.5
5cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.2
1cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα (Ⅰ）
.3217121
7tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+
=-+=+βαβαβα (Ⅱ）解法一：β
βαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+ .12
1)3(1213-=⨯--+
-= .432πβα=
+∴ 解法二：因为22tan 4tan 21tan 3
βββ==-， 所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴
20．化简下列各式：
(1)cos A ＋cos(120°＋B )＋cos(120°－B )sin B ＋sin(120°＋A )－sin(120°－A )； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A
． 【答案】(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos B sin B ＋2cos120°sin A
＝cos A －cos B sin B －sin A
＝2sin A ＋B 2sin B －A 22cos A ＋B 2sin B －A 2
＝tan A ＋B 2． (2)原式＝(sin A ＋sin5A )＋2sin3A (sin3A ＋sin7A )＋2sin5A
＝2sin3A cos2A ＋2sin3A 2sin5A cos2A ＋2sin5A
＝2sin3A (cos2A ＋1)2sin5A (cos2A ＋1)＝sin3A sin5A
． 21．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sin x 2
，x ∈(0，π)． (1)将f (x )表示成cos x 的多项式；
(2)求f (x )的最小值．
【答案】(1)f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2
＝2cos 3x 2sin x 2sin x 2
＝2cos 3x 2cos x 2 ＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.
(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98
， 且－1＜cos x ＜1.
∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98
．
22．已知51cos sin ,02=+<<-
x x x π. (I ） 求sin x －cos x 的值；
(II ） (Ⅱ）求2
23sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x
-++的值 【答案】(1)
.57cos sin -=-x x (2) 125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x (Ⅰ）由,25
1cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=
+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π
故 .57
cos sin -=-x x
(Ⅱ）
x
x x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2tan 1tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-
=--=x x x x。