北京第四中学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作
//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）
A ．
AE EF
EC CD
= B ．
BF EG
CD AB
= C ．
AF BC
FD GC
= D ．
CG AF
BC AD
= 2．如图，一次函数y ＝﹣2x +10的图象与反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ，若
5
2
BC BD =，则△ABC 的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
3．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若
10BE CG +=，
3
2
AG BE =，则AF 的长为（ ）
A ．1
B ．
43
C ．
95
D ．2
4．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若
2
3
=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）
A ．
1
3
B ．
23
C ．
25
D ．
35
5．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定
ABC ADB ∽△△（ ）
A ．C ABD ∠=∠
B ．CBA ADB ∠=∠
C ．
AB AD
AC AB
= D ．
AB BC
AC BD
= 6．如图，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，点D 、E 在AB 边上，
45DCE ∠=，若3,4AD BE ==，则
ABC ∣的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．32
D ．36
7．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
8．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（ ）
A ．1:2
B ．1:4
C ．2:1
D ．3:2
9．已知线段a 、b 有5
2
a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1
B ．7:2
C ．7:3
D ．3:7
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ）
A ．
35
2
B ．
25
3
C ．5
D ．
35
4
11．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点
G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：
①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
12AD BD =，则AE
EC
=（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
32
二、填空题
13．己知
034
x z
y ==≠，则
345x y z x y z -+=++________． 14．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为
2.5m ，则路灯的高度AE 为________．
15．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________
16．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．
17．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得20BE m =，10EC m =，20CD m =，则河的宽度AB 等于_______．
18．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．
19．在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC与ADE相似，则AD=__________．
20．如图，已知△ABC中，若BC＝6，△ABC的面积为12，四边形DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是__．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B （﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点．
（1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1 ，并写出点P的对应点P1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2 ，使它与△OAB 的相似比为2：1，并写出点P的对应点P2的坐标；
（3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将ABC 放大为原来的2倍后的位似图形
111A B C △．
（2）已知ABC 的面积为
7
2
，则111A B C △的面积是_________． 23．如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．
（1）求
AG
GF
的值． （2）如果43BD =，4DF =，请找出与BDA 相似的三角形，并挑出一个进行证明． 24．如图，在ABC 中，正方形EFGH 内接于ABC ，点E F 、在边AB 上，点
G H 、分别在BC AC 、上，且2EF AE FB =⋅， （1）求证：90C ∠=︒
（2）求证：AH CG AE FB ⋅=⋅．
25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为()3,1A -，()1,1B -，()0,3C ．
（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；
（2）画出ABC 以点O 为位似中心的位似图形222A B C △，ABC 与222A B C △的位似比为1:2（画一个即可） ．
26．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．
（1）问题发现
如图①，对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线
BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变
换603⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小
角的度数，并就图②的情形说明理由． （3）问题解决
如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得
AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的
值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
根据平行线分线段成比例性质进行解答便可． 【详解】 解：∵EF ∥BC ，
∴AF AE
FD EC =， ∵EG ∥AB ，
∴AE BG
EC GC
=， ∴
AF BC
FD GC =， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．
2．B
解析：B 【分析】
过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得
23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，
由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由
ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC
S
．
【详解】
过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，
则有//BM CN ， ∴BMD CND ∽，又
5
2
BC BD = ∴
2
3
BM BD CN CD ==，
设点2,
2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭．
∵点A ，B 在直线AB 上，
∴2210223103k
x x k x x
⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩
∴解得：112x k =⎧⎨=⎩
，
∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --． 设直线BC 的解析式为y=mx+n ，
则有：26
34m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，
解得：2
2m n =⎧⎨=⎩
，
∴直线BC 解析式为22y x =+， ∴点()0,2D ，
∵点F 是直线AB 与y 轴的交点， ∴点()0,10F
∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△ 又∵:2:5ABD ABC S S =△△，
∴55
S 4102
2
ABC
ABD
S
==⨯=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．
3．C
解析：C 【分析】
过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，设BE ＝2x ，进而可表示出相关线段长，再根据CH ＝
1
2CG 列出方程求得x ＝1，最后再根据GAF GDE △∽△可得AF AG DE DG
=，进而可求得
AF 的长． 【详解】
解：过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，
设BE ＝2x ，
∵10BE CG +=，3
2
AG BE =， ∴CG ＝10－2x ，AG ＝3x ， ∴AC ＝CG －AG ＝10－5x ，
∵
ABC 和CDE △都是等边三角形，
∴BC ＝AC ＝10－5x ，CD ＝DE ＝CE ＝BC －BE ＝10－7x ，∠ABC ＝∠DEC ＝∠C ＝60°， ∵GB ＝GE ，GH ⊥BE ， ∴BH ＝HE ＝x ， ∴CH ＝CE ＋HE ＝10－6x ， ∵∠GHC ＝90°，∠C ＝60°， ∴∠HGC ＝30°， ∴CH ＝
1
2
CG ， ∴10－6x ＝
1
2
（10－2x ）， 解得：x ＝1，
∴AG ＝3x ＝3，CG ＝10－2x ＝8，CD ＝DE ＝10－7x ＝3， ∴GD ＝CG －CD ＝5， ∵∠ABC ＝∠DEC ， ∴AB//DE ，
∴
GAF GDE ∽， ∴AF AG
DE DG =， 即3
35
AF =， 解得9
5
AF =，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，
设BE ＝2x ，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【分析】 先由
23AB BC =得出25
AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】 ∵
23AB BC =， ∴25
AB AC =， ∵a ∥b ∥c ， ∴
25
DE AB DF AC ==， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A 、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC ∽△ADB ；
B 、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△AB
C ∽△ADB ；
C 、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC ∽△ADB ；
D 、无法判断三角形相似．
故选：D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．D
解析：D
【分析】
设DE x =，则7AB x =+，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x 的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．
【详解】
设DE x =，则7AB x =+，
45DCE CAE DBC ∠=∠=∠=︒，
ACE CDE BDC ∴△△△．
设,CD a CE b ==，
则有以下等式：()::3x b b x =+，()::4x a a x =+，::x a b AC =，
整理得()()22
3,4,b x x a x x x AC ab =+=+⋅=， ()()()22222227342
x x x x x a b x AC +++===， 解得5x =，
12AB ∴=，
62AC BC ∴==， 16262362
ABC S ∴=⨯⨯=△， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 7．D
解析：D
【分析】
根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴
AD AE DB EC =，即643EC
=， 解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 8．C
解析：C
【分析】
为了便于计算，可设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y ，利用AG ∥BD ，可得
△AGF ∽△BDF ，从而可求出AG ，那么就可求出AE ：EC 的值．
【详解】
解：如图所示，
∵AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1
∴设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y
∵12//l l ，
∴△AGF ∽△BDF ， ∴
AG BD ＝AF BF ∴3AG y ＝23
∴AG ＝2y
∴AE ：EC ＝AG ：CD ＝2y ：y ＝2：1
故选：C ．
【点睛】
根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.
【详解】 ∵
52
a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =
∴:7:3a b =
故选C.
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 10．A
解析：A
【分析】
设BC 边上的高为AD ，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD ∽△BAD ，可得BD:AD=OD:BD ，利用勾股定理可求解AD 的长，进而可求解OD 的长．
【详解】
解：如图，设BC 边上的高为AD ，
∵点O 为△ABC 三条高的交点，
∴AD ⊥BC ，BO ⊥AC ，
∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠OBD=∠CAD ，
∵AB=AC ，∴D 为BC 的中点，∠BAD=∠CAD ，
∴∠OBD=∠BAD ，
∴△OBD ∽△BAD ，∴BD:AD=OD:BD ，
∵BC=25∴5
在Rt △ABD 中，AB=5，∴()22225525AB BD -=-= ∴5255OD =，解得152 ∴OA=AD−OD=1352552=， 故选A ．
【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．
11．D
解析：D
【分析】
证明△ABE ≌△DCE ，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE ≌△DCE ，△ABG ≌△CBG ，可得∠BCF=∠CDE ，由余角的性质可得结论②；证明△DCE ≌△CBF 可得结论③，证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，
∴AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
∴∠DEC=∠AEB ，∠BAE=∠CDE ，DE=AE ，故①正确，
∵AB=BC ，∠ABG=∠CBG ，BG=BG ，
∴△ABG ≌△CBG （SAS ）
∴∠BAE=∠BCF ，
∴∠BCF=∠CDE ，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF ⊥DE ，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF ，DC=BC ，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE ≌△CBF （ASA ），
∴CE=BF ，
∵CE=
12BC=12AB ， ∴BF=12
AB ， ∴AF=BF ，故③正确，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF ∽△CBF ∴
CH CE BC CF
= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF == ∴22CE CH CF =⋅
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴
AE EC =12
AD BD =． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．
二、填空题
13．【分析】可设则x=3ky=kz=4k 代入所求式子中求解即可【详解】解：设则x=3ky=kz=4k 则===故答案为：【点睛】本题考查比例的性质分式的求值熟练掌握比例的性质巧妙设参数是解答的关键 解析：43
【分析】 可设
=34
x z y k ==，则x=3k ，y=k ，z=4k ，代入所求式子中求解即可． 【详解】 解：设
=34x z y k ==，则x=3k ，y=k ，z=4k ， 则
345x y z x y z -+++ =
3344354k k k k k k -+⨯++ =1612k k
=43
， 故答案为：
43． 【点睛】
本题考查比例的性质、分式的求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参数是解答的关键． 14．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m
【分析】
由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【详解】
//CE AB ，
ADB EDC ∴∽，
::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，
解得： 4.8m AB =．
即路灯的高度为4.8米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．
15．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN
解析：【分析】
根据三角形重心的性质可得AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵点M 是△ABC 的重心，
∴AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，
∴△CMN ∽△CDB ， ∴
23MN CM DB CD ==，
2
3
=，解得MN =．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 16．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又
∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=
解析：1:2
【分析】
由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.
【详解】
解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，
∵2EFB EFD S S ∆∆=，
∴DF ：FB=1:2，
又∵DE ∥BC ，
∴△DFE ∽△BFC ，
∴DE:BC=DF:FB=1：2
故答案为1:2
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 17．【分析】易证△ABE ∽△DCE 即可求得【详解】
∵∠ABE=∠DCE=90°∠BEA=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ∴即故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 解析：40m
【分析】
易证△ABE ∽△DCE ，即可求得．
【详解】
∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE ∽△DCE ∴
=AB BE CD CE
即20=2010AB cm m cm =40AB m
故答案为：40m
【点睛】
本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：
78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，
∴AC ＝5，
∵DE ∥BC ，
∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，
设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，
∵△A ′EC 是直角三角形，
∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344
⨯=， ∴AD ＝1974248
⎛⎫-= ⎪⎝⎭；
②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣
54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258
．
故AD 长为78或258
． 故答案为：
78或258
． 【点晴】 本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 19．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性
质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴
解析：16
3
或3
【分析】
分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．
【详解】
如图
∵∠DAE=∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，
∴AB AD
AC AE
=，
即12
164
AD
=，
解得：AD=3，
∴当△AED∽△ABC，
∴AB AE AC AD
=，
即124
16AD
=，
解得：AD=16
3
，
故答案为：16
3
或3
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
20．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线 解析：125 【分析】
过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，证明DE DG MN ==（设为)λ，得到AM AN λ=-；证明△∽△ADG ABC ，列出比例式446
λλ-=，求出λ即可解决问题． 【详解】
解：如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，
四边形DEFG 是正方形，
DE DG MN ∴==（设为)λ，则AM AN λ=-；
6BC =，ABC 的面积为12，
∴1
6122
AN ⨯=， 4AN ∴=，4AM λ=-；
//DG BC ，
ADG ABC ∴∽，
∴446
λλ-=， 解得：125
λ=． 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．（1）()12
1P m n +-，，作图见解析；（2） ()222P m n ，，作图见解析；（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）．
【分析】
（1）根据平移规律，画出111,,A B O 即可；
（2）根据位似图形的性质，画出△22OA B 即可；
（3）对应点连线的交点即为位似中心；
【详解】
解：（1）△111O A B 如图所示，1P （m+2，n-1）；
（2）△22OA B 如图所示，2P （2m ，2n ）．
（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）；
【点睛】
本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．
22．（1）画图见解析；（2）14
【分析】
（1）给A 、B 、C 三点坐标乘以-2，得到A 1、B 1、C 1的坐标，再描点连接即得到111A B C △；
（2）给ABC 的面积乘以4即得111A B C △的面积．
【详解】
（1）如图，111A B C △为所作．
（2）ABC 的面积为
72，位似比为2：1， ∴111A B C △的面积是
272142
⨯=． 故答案为：14．
【点睛】 此题考查位似图形和坐标变换．当位似中心为坐标原点时，位似图形的对应点之坐标比（即横坐标与横坐标之比，纵坐标与纵坐标之比）的绝对值等于位似比．当比值为负时，图形分居原点两侧；当比值为正时，图形在原点一侧．
23．（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析
【分析】
（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证．
【详解】
解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，
BD CD ∴=，AE CE =，
//GE BC ，
AGE ADC ∴∽△△，
12
AG GE AE AD CD AC ∴===， AG GD ∴=，2GE CD BD ==，
//GE BC ，
GEF DBF ∴∽△△，
12
GE GF BD DF ∴==， 2DF GF ∴=，
3AG DG GF ∴==，
3AG GF ∴=．
（2）当BD =4DF =时，
由（1）可得
122GF DF =
=，36AG DG GF ===，212AD AG ==， 1
2
GE BD ==， 4
BD DF ==AD BD ==， AD BD BD DF
∴=，
又
BDG ADB ∠=∠，
BDA FDB ∴∽△△，
3GE
GF =AD BD == AD GE BD GF
∴=， //GE BC ，
ADB EGF ∴∠=∠，
BDA FGE ∴∽△△．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
24．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）由已知可得RT △AEH ∽RT △GFB ，从而可得∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，进一步得到∠C=180°-90°=90°；
（2）根据由（1）所得RT △AEH ∽RT △HCG 的性质和已知条件可以得到解答．
【详解】
（1）证明：由已知，EF=EH=GF ，
∴由2EF AE FB =⋅可得：
AE EF EF FB =，即AE EH GF FB
=， 又四边形 EFGH 是正方形 ，∴∠AEH=∠GFB=90°,
∴RT △AEH ∽RT △GFB ，∴∠A=∠FGB ，
∴∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°； （2）∵四边形 EFGH 是正方形 ，∴HG ∥AB ，∴∠A=∠CHG ，
又∠AEH=∠C=90°，∴RT △AEH ∽RT △HCG ，
∴,?·AH EH AH CG HG EH HG GC
==， 由已知得：EF=EH=GH ，∴2··AH CG EF AE FB ==．
【点睛】
本题考查正方形与相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
25．（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】
（1）先画出点,,A B C 关于y 轴的对称点111,,A B C ，再顺次连接即可得；
（2）先根据位似中心、位似比得出点222,,A B C 的坐标，再画出点222,,A B C ，然后顺次连接即可得．
【详解】
（1）先画出点,,A B C 关于y 轴的对称点111,,A B C ，再顺次连接即可得111A B C △，如图所示：
（2）()3,1A -，()1,1B -，()0,3C ，且位似比为1:2，
()()()22232,12,12,12,20,3A B C ∴⨯-⨯⨯--⨯⨯，
即()()()2226,2,2,0,62,C A B ---，
先画出点222,,A B C ，再顺次连接即可得222A B C △，如图所示：
【点睛】
本题考查了画轴对称图形和位似图形，熟练掌握轴对称图形和位似图形的画法是解题关键．
26．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．
【分析】
（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，且相似比3，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；
（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::3AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；
（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC
'的值，进而求出n 的值． 【详解】
解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60,3⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，
∴AB C ''△∽ABC ，且相似比为3:1，60BAB '∠=︒，
∴B B '∠=∠，
∴()2
:3:13:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，
∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，
即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．
故答案为：3:1，60．
（2）根据题意得：::1:3AB AB AC AC ''==，35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，
∴BAB CAC ''∠=∠，
∴BAB '△∽CAC '△，
∴相似比AB k AC
=，BB A CC A ''∠=∠， :2AB AC =，
∴()2:22ABB ACC S S ''==，
延长CC '交BB '于D ，如图，
设CC '交AB '于E ．
DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，
∴DEB '△∽AEC '，
∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，
∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，
∴90BAC '∠=︒，
30BAC ∠=︒，
∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，
90ACB ∠=︒，
∴90ACC '∠=︒，
在Rt ACC '△中，12
AC AC '=， ∴21
AC AC '=， ∴2AC n AC
'==， 即n 的值为2．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．。