【新】湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测(含答案)

八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测与简答
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，//EF AB ，39B ∠=︒，则1∠的度数为( ) A ．38︒
B ．39︒
C ．51︒
D ．52︒
2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15A ∠=︒，60DBC ∠=︒，1BC =，则AD 的长 为( ) A ．1.5
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是高，30MCA ∠=︒，若4AC =，则AB 的长度为( ) A ．8
B ．6
C ．4
D ．5
4．如图，在Rt ABC ∆中，CE 是斜边AB 上的中线，CD AB ⊥，若5CD =，6CE =，则ABC ∆的面积是( ) A ．24
B ．25
C ．30
D ．36
5．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线长为( ) A ．4
B ．5
C ．3或5
D ．4或5
6．若直角三角形的三边a ，b ，c 满足2222220a ab b a c -+-，那么这个三角形 是( ) A ．等边三角形
B ．有一角是36︒的等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．有一个角是30︒的直角三角形 7．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )
A ．两个锐角分别对应相等
B ．两条直角边分别对应相等
C ．一条直角边和斜边分别对应相等
D ．一个锐角和一条斜边分别对应相等
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
8．如图，AC BC =，AC OA ⊥，CB OB ⊥，则Rt AOC Rt BOC ∆≅∆的理由是( ) A ．SSS
B ．ASA
C ．SAS
D ．HL
9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是ABC ∆的一条角平分线．若6AC =，10AB =，则点D 到
AB 边的距离为( )
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，2CD =，则(AC = )
A ．4
B ．43
C ．6
D ．63
二．填空题（共8小题，每小题3分，共4分）
11．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，132ACD ∠=︒，A ∠= ．
12．如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，F 为BC 的中点，5DE =，8BC =，则DEF ∆的周长是 ．
13．如图，ABC ∆为等边三角形，BD AB ⊥，BD AB =，则DCB ∠= ︒．
14．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C 、D ，若要用“HL ”得到Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，则你添加的条件是 ．（写一种即可）
第8题图 第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若130∠=︒，220∠=︒，则B ∠= ． 16．如图，点M 是AOB ∠平分线上一点，60AOB ∠=︒，ME OA ⊥于E ，3OM =，如果P 是OB 上一动点，则线段MP 的取值范围是 ．
17．如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，一动点E 从
A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终
保持ED CB =，当点E 运动 秒时，DEB ∆与BCA ∆全等．
18．如图，OAB ∆是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB ∆外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在△11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，⋯⋯，按此规律作等腰直角三角形(1n n OA B n …，n 为正整数），回答下列问题：
（1）33A B 的长是 ； （2）△20202020OA B 的面积是 ． 三．解答题（共6小题）
19．请在下面括号里补充完整证明过程：
已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．
证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）
12∴∠=∠
CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）
Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）
∴ 90CFE +∠=︒
12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）
在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理）
第17题图
第18题图
CD AB ∴⊥ ．
20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．
21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；
（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．
22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；
（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．
23．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．
24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．
（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形； （2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测参考简答
一．选择题（共10小题）
1．C ． 2．B ． 3．A ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．A ． 8．D ． 9．C ． 10．C ． 二．填空题（共8小题）
11． 42︒ ． 12． 13 ． 13． 15 ︒． 14． AC BD = ． 15． 50︒ ． 16． 1.5MP … ． 17． 0，2，6，8 ． 18．（1） 22 ； （2） 20192 ． 三．解答题（共6小题）
19．请在下面括号里补充完整证明过程：
已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．
证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）
12∴∠=∠ （角平分线的定义）
CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）
Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）
∴ 90CFE +∠=︒
12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）
在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥ ．
【证明】：AF Q 平分CAB ∠（已知）
12∴∠=∠（角平分线的定义）
CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）
Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）
190CFE ∴∠+∠=︒（直角三角形的性质）
12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）(2)(3)90∴∠+∠=︒（等量代换）
在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥（垂直的定义）
． 故答案为：（角平分线的定义）；1∠；（直角三角形的性质）；2∠；3∠；（垂直的定义）．
20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．
【解】：如图，点P 即为所求．
21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；
（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．
【解】：（1）证明：AD DB ⊥Q ，点E 为AB 的中点， 1
2
DE BE AB ∴==
． 12∴∠=∠．
//DE BC Q ， 23∴∠=∠．
13∴∠=∠．
BD ∴平分ABC ∠．
（2）解：AD DB ⊥Q ，30A ∠=︒ 160∴∠=︒． 3260∴∠=∠=︒． 90BCD ∠=︒Q ， 430∴∠=︒．
2490CDE ∴∠=∠+∠=︒．
在Rt BCD ∆中，360∠=︒，23DC =，
4DB ∴=．
DE BE =Q ，160∠=︒， 4DE DB ∴==．
2222(23)427EC DE CD ∴=+=+=．
22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；
（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．
【解】：（1）证明：延长AE 交CF 于点H ，如图所示： 90ABC ∠=︒Q ， 90CBF ∴∠=︒，
在Rt ABE ∆与Rt CBF ∆中，AE CF AB BC =⎧⎨=⎩
，
Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆，
BAE BCF ∴∠=∠， 90F BCF ∠+∠=︒Q ， 90BAE F ∴∠+∠=︒， 90AHF ∴∠=︒， AE CF ∴⊥；
（2）AB BC =Q ，90ABC ∠=︒， 45ACB BAC ∴∠=∠=︒，
由（1）得：ABE CBF ∆≅∆， 25BAE BCF ∴∠=∠=︒， 452570ACF ∴∠=︒+︒=︒．
23．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．
【解】：（1）90BCA ∠=︒Q ，
390144∴∠=︒-∠=︒， //a b Q ， 2344∴∠=∠=︒；
（2）理由如下：过点B 作//BD a ，如图2
则1802ABD ∠=︒-∠，
//a b Q ，//BD a ， //BD b ∴， 1DBC ∴∠=∠，
60ABC ∠=︒Q ， 1802160∴︒-∠+∠=︒， 21120∴∠-∠=︒；
（3）12∠=∠，
理由如下：AC Q 平分BAM ∠， 260BAM BAC ∴∠=∠=︒，
过点C 作//CE a ，如图3
2BCE ∴∠=∠，
//a b Q ，//CE a ，
//CE b ∴，160BAM ∠=∠=︒，
30ECA CAM ∴∠=∠=︒， 260BCE ∴∠=∠=︒，
12∴∠=∠．
24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．
（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；
（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【解】：（1）证明：连接AD
AB AC =Q ，90A ∠=︒，D 为BC 中点 2
BC AD BD CD ∴=== 且AD 平分BAC ∠
45BAD CAD ∴∠=∠=︒
在BDE ∆和ADF ∆中，
45BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()BDE ADF SAS ∴∆≅∆
DE DF ∴=，BDE ADF ∠=∠ 90BDE ADE ∠+∠=︒Q
90ADF ADE ∴∠+∠=︒
即：90EDF ∠=︒
EDF ∴∆为等腰直角三角形．
（2）解：仍为等腰直角三角形． 理由：AFD BED ∆≅∆Q
DF DE ∴=，ADF BDE ∠=∠ 90ADF FDB ∠+∠=︒Q
90BDE FDB ∴∠+∠=︒
即：90EDF ∠=︒
EDF
为等腰直角三角形．。