高中毕业班第二次统一检测(理数)

试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估 2015届高中毕业班第二次统一检测题
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．设i 为虚数单位，则复数
34i
i
-= A ．43i -- B ．43i -+ C ．i 4+3 D ．i 4-3
2．已知向量(1,2),(1,0),(4,3)===-a b c ．若λ为实数，()λ+⊥a b c ，则λ=
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 3．若p 是真命题，q 是假命题，则
A ．p q ∧是真命题
B ．p q ∨是假命题
C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是真命题 4．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =
A ．44
B ．33
C ．22
D ．11 5．下列函数为偶函数的是
A ．sin y x =
B ．)
ln y x = C ．x y e = D ．ln y =6．5
22
)11)(
2(-+x
x 的展开式的常数项是 A ．2 B ．3 C ．-2 D ． -3
7．若函数x y 2=图象上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+,,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值
为
A ．2
B ．
23 C ．1 D ．2
1 8．集合M 由满足：对任意12,[1,1]x x ∈-时，都有1212|()()|4||f x f x x x -≤-的函数()
f x 组成．对于两个函数2()22,()x f x x x
g x e =-+=，以下关系成立的是 A ．(),()f x M g x M ∈∈ B ．(),()f x M g x M ∈∉ C ．(),()f x M g x M ∉∈ D ．(),()f x M g x M ∉∉ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9．在ABC ∆中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = ▲ . 10．若不等式2|4|≤-kx 的解集为}31|{≤≤x x ，
则实数=k ▲ .
11．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，R x ∈，
则)(x f 的最小值是 ▲ .
12．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体
的体积为 ▲ .
13．函数()()()
()
3141log 1a a x a
x f x x
x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩在定义域R
上不是．．
单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲
.
（ ） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为
cos 5ρθ=，则点π43⎛⎫
⎪⎝⎭
，到直线l 的距离为 ▲ .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的
割线，若2=PT ，1=PA ，o
60=∠P ，则圆O 的半径=r ▲ .
正视图 侧视图 俯视图
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知向量()()2,sin 1,cos a b θθ==与互相平行，其中(0,)2
π
θ∈．
（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若(
)sin 102
π
θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．
17．（本小题满分12分）
贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查.
（1）求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率； （2）设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆东站）个数为X ，求X 的分布列及其均值（即数学期望）.
18．（本小题满分14分）
如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，︒=∠=∠90CBD BAC ，AB AC =，︒=∠30BCD ，BC =6.
（1）证明：平面ADC ⊥平面ADB ； （2）求二面角A —CD —B 平面角的正切值.
C
B
D
A
19．（本小题满分14分）
已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *
∈.
（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（）设数列1
(1)n n a a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：13n T <.
20．（本小题满分14分）
若函数2
13
21)(2+-=x x f 在区间 [a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ].
21．（本小题满分14分）
已知函数x
kx
x x f +-
+=1)1ln()(，k R ∈. （1）讨论)(x f 的单调区间；
（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值， 并证明
()1111
ln 1234
1
n n ++++
<++.
数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题 9．
3
25
10．2 11. 12. π3
13．()11
0,[,1)
1,73
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 14． 3 15
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵与互相平行，∴θθcos 2sin =， （2分） 代入1cos sin 2
2
=+θθ得5
5
cos ,552sin ±
=±
=θθ， （4分） 又(0,
)2
π
θ∈，∴5
5
cos ,552sin =
=
θθ. （6分） （2）∵2
0π
ϕ<
<，2
0π
θ<
<，∴2
2
π
ϕθπ
<
-<-
， （7分）
由10
10)sin(=
-ϕθ，得10103)(sin 1)cos(2
=--=-ϕθϕθ， （9分）
∴cos ϕ2
2
)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ （12分） 17．（本小题满分12分）
解：（1）设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A ，
则54
)(3
6
2
4121422=+=C C C C C A P （4分） （2）X 的可能取值为0，1，2，3 （5分）
()0333361020C C P X C ===，()12
333
69
120
C C P X C ===， （7分）
E
C
B
D A
F
()2133369220C C P X C ===，()30
333
61
320
C C P X C ===， （9分） 所以X 的分布列为
（10分） X 的数学期望()19913
0123202020202
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （12分）
18．（本小题满分14分）
（1）证明：因为,,,ABC BCD BD BC ABC BCD BC BD BCD ⊥⊥=⊂面面面面面，
所以BD ABC ⊥面. （3分） 又AC ABC ⊂面，所以BD AC ⊥. （4分） 又AB AC ⊥，且BD
AB B =，
所以AC ADB ⊥面. （5分） 又AC ADC ⊂面，所以ADC ADB ⊥面面.（6分）
（2）取BC 的中点E ，连接AE ，则AE BC ⊥， （7分） 又,ABC BCD ⊥面面,ABC
BCD BC =面面所以,AE BCD ⊥面 （8分）
所以,AE CD ⊥过E 作EF DC F ⊥于，连接AF ，则,DC AEF ⊥面则,DC AF ⊥所以
AFE ∠是二面角A CD B --的平面角. （11分）
在Rt CEF ∆中，0
13
30,22
ECF EF CE ∠===，又3AE =， （13分） 所以tan 2AE
AFE EF
∠==，即二面角A CD B --平面角的正切值为2.（14分）
19．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：
由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分）
两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （4分） 所以数列{}n a 是等差数列. （5分）
由⎩⎨⎧=-=12321
1a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （6分）
故12)1(1+=⨯-+=n d n a a n 21n a n =+. （8分） 方法二：
将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得
1
1
111+-=+-+n n n a n a n n ，（3分） 即
n a n a n n 1
111-=+-+. （4分） 所以
1
1
11-=-a n a n （5分） 所以12+=n a n （6分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列. （8分） （2）因为
()111111(1)2(21)21(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫
=<=- ⎪-+-+-+⎝⎭
， （11分）
所以n
n n a a a a a a T )1(1
)1(1)1(12211-+
+-+-=
)]121121()7151()5131[(2161+--++-+-+≤
n n 3
124131<+-=n （*N n ∈） （14分） 20．（本小题满分14分）
解：()f x 在(),0-∞上单调递增，在[0,)+∞上单调递减. （1分） （1）当0a b <<时，假设有()()2,2f a a f b b ==， （2分） 则()2f x x =在(),0-∞上有两个不等的实根a ，b . （4分） 由()2f x x =得2
4130x x +-=，
因为0>ab ，所以13-≠ab ，故假设不成立. （5分）
（2）当0a b <≤时，假设有1322b =，即13
4
b =. （6分） 当0413<≤-
a 时，a f x f 2)413()(min ==，得6439
=a 不符合； （7分） 当4
13
-<a 时，a a f x f 2)()(min ==， （8分）
解得172--=a 或172+-=a （舍去）. （9分）
（3）当0a b ≤<时，假设有⎩⎨⎧==a b f b a f 2)(2)(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-a
b b a 22132
221322
2 （11分）
解得1
3
a b =⎧⎨
=⎩. （13分） 综上所述所求区间[,]a b 为[1,3]
或1324⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦ （14分）
21．（本小题满分14分）
解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞. （1分）
22
1(1)1()1(1)(1)
x x x k
f x k x x x +-+-'=
-=+++ （3分） 当0k ≤时，()'0f x >在()1,-+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()1,-+∞，无单调递减区间. （5分）
当0k >时，由()'0f x >得1x k >-，由()'0f x <得1x k <-，所以()f x 的单调递增区间是()1,k -+∞，单调递减区间是()1,1k --， （7分）
（2）由（1）知，当1k =时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上的最小值为()00f =. （9分）
所以
)1ln(1x x x
+<+（0>x ） （10分） 所以)1
1ln(111
n n n +<+，即
n n n ln )1ln(11-+<+（*N n ∈）. （12分） 所以)1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 1
1
3121+=-+++-+-<++
++n n n n （14分）。