2024年山东省滨州市中考数学试卷正式版含答案解析

绝密★启用前
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−1
2
的绝对值是( )
A. 2
B. −2
C. 1
2D. −1
2
2.如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. (n3)3=n6
B. (−2a)2=−4a2
C. x8÷x2=x4
D. m2·m=m3
5.若点P(1−2a,a)在第二象限，那么a的取值范围是( )
A. a>1
2B. a<1
2
C. 0<a<1
2
D. 0≤a<1
2
6.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是( ) A. ②③
B. ①③
C. ①②
D. ①②③
7.点M(x 1,y 1)和点N(x 2,y 2)在反比例函数y =k 2
−2k+3
x
(k 为常数)的图象上，若x 1<0<x 2，则y 1，y 2，0的
大小关系为( ) A. y 1<y 2<0
B. y 1>y 2>0
C. y 1<0<y 2
D. y 1>0>y 2
8.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB ，BC ，CA 的长分别为c ，a ，b.则可以用含c ，a ，b 的式子表示出△ABC 的内切圆直径d ，下列表达式错误的是( ) A. d =a +b −c B. d =2ab
a+b+c
C. d =√ 2(c −a)(c −b)
D. d =|(a −b)(c −b)|
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

9.若函数y =
1
x−1
的解析式在实数范围内有意义，则自变量x 的取值范围是 ． 10.写出一个比√ 3大且比√ 10小的整数是 ．
11.将抛物线y =−x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
12.一副三角板如图1摆放，把三角板AOB 绕公共顶点O 顺时针旋转至图2，即AB//OD 时，
∠1的大小为 °.
13.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上.添加一个条件使△ADE ∽△ACB ，则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形OABC 是菱形，则∠D = °.
15.如图，四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是A(−1,3)，O(0,0)，B(3,−1)，C(5,4)，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和PA +PO +PB +PC 最小，则P 点坐标为 ．
三、解答题：本题共9小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题3分)
如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B 均在格点上． (1)AB 的长为 ；
(2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB 为边的矩形ABCD ，使其面积为26
3
，并简要说明点C ，D 的位置是如何找到的(不用证明)： ．
17.(本小题7分)
计算：2−1+(−2)×(−1
2)−√ 9
4．
18.(本小题7分)解方程：
(1)2x−1
3=x+1
2
；
(2)x2−4x=0．
19.(本小题7分)
欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学
中留下了不凡的足迹.设a，b，c为两两不同的数，称P n=a n
(a−b)(a−c)+b
n
(b−c)(b−a)
+c
n
(c−a)(c−b)
(n=0,1,2,3)为
欧拉分式．
(1)写出P0对应的表达式；
(2)化简P1对应的表达式．
20.(本小题9分)
某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作，D：简单烹任，E：绿植栽培.课程开设一段时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查.根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
(2)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
(3)小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
21.(本小题10分)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC，即知AB+BD=AC+CD.若把①中
的BD =CD 替换为AB +BD =AC +CD ，还能推出∠B =∠C 吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B =∠C ，并分别提供了不同的证明方法．
【问题解决】 (1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．
22.(本小题10分)
春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x ≤80，且
x 是整数)，部分数据如下表所示： (1)请求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入−运营成本)为w(单位：元)，求w 与x 之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 23.(
本小题10分)
(1)如图1，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边BC ，CA ，AB 上，且满足DF//AC ，DE//AB ． ①求证：四边形AFDE 为平行四边形； ②若AB
AC =BD
DC ，求证：四边形AFDE 为菱形；
(2)把一块三角形余料MNH(如图2所示)加工成菱形零件，使它的一个顶点与△MNH 的顶点M 重合，另外三
个顶点分别在三边MN，NH，HM上，请在图2上作出这个菱形.(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
24.(本小题12分)
【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【得出结论】
a sinA=
b
sinB=
c
sinC
【基础应用】
在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2，利用以上结论求AB的长．【推广证明】
进一步研究发现，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足a
sinA
=
b sinB =c
sinC
=2R(R为△ABC外接圆的半径)．
请利用图1证明：a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R．
【拓展应用】
如图2，四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，∠B=∠C=90°.求过A，B，D三点的圆的半径．
1.【答案】C
【解析】解：|−1
2|=1
2
．
故选：C．
直接根据绝对值的性质解答即可．
本题考查的是绝对值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵三棱柱三个面分别为三角形，正方形，长方形，
∴无论怎么摆放，主视图不可能是圆形，
故选：A．
根据不同的摆放方式，进行判断．
本题考查了几何体的视图，掌握定义是关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】解：A、(n3)3=n9，故A选项错误；
B、(−2a)2=4a2，故B选项错误；
C、x8÷x2=x6，故C选项错误；
D、m2·m=m3，故D选项正确；
故选：D．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵点P(1−2a,a)在第二象限， ∴{
1−2a <0
a >0
，
解得：a >1
2； 故选：A ．
P(1−2a,a)在第二象限，可得{
1−2a <0
a >0
，即可解得答案．
本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．
6.【答案】A
【解析】解：这些运动员成绩的平均数是1
15
×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1)≈1.67，
第8位同学的成绩是1.70，故中位数是1.70； 数据1.75出现的次数最多，故众数是1.75． ∴上述结论中正确的是②③， 故选：A ．
根据众数、平均数及中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
本题考查了众数、平均数及中位数的知识，属于基础题，关键是理解众数、平均数及中位数的定义．
7.【答案】C
【解析】解：反比例函数y =k 2
−2k+3
x
=
(k−1)2
+2
x
中，(k −1)2+2>0，反比例函数图象分布在第一、三象
限，
∵x 1<0<x 2，
∴点M 在第三象限的图象上，点N 在第一象限的图象上， ∴y 1<0<y 2， 故选：C ．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
8.【答案】D
【解析】本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC 为直角三角形，∴令a =3，b =4，c =5．
选项A ：d =a +b −c =2， 选项B ：d =
2ab a+b+c
=2，
选项C ：d =√ 2(c −a)(c −b)=2， 选项D ：d =|(a −b)(c −b)|=1，
很明显，只有D 选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D 选项． 故答案选：D ． 另附选项AB 的证明：
如图，作OE ⊥AC 于点E ，OD ⊥BC 于点D ，OF ⊥AB 于点F ．
易证四边形OECD 是正方形，设OE =OD =OF =r ， 则EC =CD =r ，
∴AE =AF =b −r ，BD =BF =a −r ， ∵AF +BF =AB ， ∴a −r +b −r =c ， ∴r =
a+b−c
2
， ∴d =a +b −c.故选项A 正确． ∵S △ABC =S △AOC +S △BOC +S △AOB ， ∴1
2ab =1
2br +1
2ar +1
2cr ， ∴ab =r(a +b +c)，
∴r =ab
a+b+c ，即d =2ab
a+b+c .故选项B 正确． 故答案选：D ．
这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r =
a+b−c
2
和r =
ab
a+b+c
，所以很快定位出选项A 和选项B 正确，而对于我们不熟悉的选项C 和选项D 可直接用特殊值法定位答案．
本题考查三角形内切圆直径公式，结合中国古代数学成就来考是未来数学的一种趋势，掌握直角三角形内切圆的性质是解题的关键．
9.【答案】x≠1
的解析式在实数范围内有意义，
【解析】解：∵y=1
x−1
∴x−1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分式的分母不为0求解即可．
本题考查函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．
10.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：∵√ 3<2，3<√ 10，
∴√ 3<2<3<√ 10，
即比√ 3大且比√ 10小的整数为2或3，
故答案为：2(答案不唯一)
先估算出√ 3、√ 10的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
11.【答案】(1,2)
【解析】解：将抛物线y=−x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为y=−(x−1)2+2，
∴顶点坐标为(1,2)，
故答案为：(1,2)．
利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
本题主要考查二次函数的图象与几何变换，根据平移的规律求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．12.【答案】75
【解析】解：由已知可得，
∠B=45°，
∵AB//OD，
∴∠B=∠BOD=45°，
由图可得，∠D=30°，
∴∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°，
故答案为：75．
根据旋转的性质可知：旋转后的三角形AOB和原来的△AOB一样，再根据平行线的性质，可以得到∠B=
∠BOD=45°，然后根据三角板的特点，可知∠D=30°，最后根据三角形外角的性质，即可求得∠1的度数．本题考查旋转的性质、平行线的性质、三角形外角的性质、三角板的特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】∠ADE=∠C(答案不唯一)
【解析】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴添加条件：∠ADE=∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE=∠C(答案不唯一)．
由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】60
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B=∠AOC，
∴∠AOC+∠D=180°，
由圆周角定理得：∠D=1
2
∠AOC，
∴∠D=60°，
故答案为：60．
根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质得到∠B=∠AOC，根据圆周角定理得到
∠D=1
2
∠AOC，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.【答案】(10
9,8 9 )
【解析】解：连接OC 、AB ，交于点P ，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO +PC 的最小值就是线段OC 的长，PA +PB 的最小值就是线段AB 的
长，
∴到四个顶点的距离之和PA +PO +PB +PC 最小的点就是点P ，
设OC 所在直线的解析式为y =kx ，AB 所在直线的解析式为y =ax +b ，
∵点C(5,4)在直线OC 上，点A(−1,3)，B(3,−1)在直线AB 上，
∴4=5k ，
{−a +b =33a +b =−1
， 解得k =45，{a =−1b =2
， ∴直线OC 的解析式为y =45
x ，直线AB 的解析式为y =−x +2， ∴{y =45x
y =−x +2
， 解得{x =109y =89
， ∴点P 的坐标为(109,89
)， 故答案为：(109,89
). 根据两点之间线段最短，连接OC 和AB ，它们的交点P 即为所求，然后求出直线OC 和直线AB 的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点P 的坐标．
本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点P 所在的位置． 16.【答案】解：(1)√ 13；
(2) 如图所示，四边形ABCD 即为所求；
根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD 与AB 的乘积为263
，从而可以得到点C 和点D 。

【解析】解：(1)由图可得，
AB =√ 22+32=√ 13，
故答案为：√ 13；
(2)如图所示，四边形ABCD 即为所求，
理由：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD 与AB 的乘积为263，从而可以得到点C 和点D ， 具体的计算过程：由图可知：△ABF ∽DAE ，
则AE BF
=AD BA ， 即23=√ 13， 解得AD =2√ 133
， ∴AD ·AB =2√ 133×√ 13=263
， 这样找到点D ，同理可以找到点C ，
即图中ABCD 即为所求，
故答案为：如图所示，四边形ABCD 即为所求；
根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD 与AB 的乘积为263
，从而可以得到点C 和点D ．
(1)根据题意和勾股定理，可以求得AB 的长；
(2)根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD 与AB 的乘积为263，从而可以得到点C 和点D ，然后画出这个矩形即可．
本题考查作图—复杂作图、勾股定理、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17.【答案】解：2−1+(−2)×(−12)−√ 9
4
=12+1−32
=0．
【解析】先化简负整数指数幂、二次根式，再根据实数的运算法则进行计算．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算． 18.【答案】解：(1)去分母得：2(2x −1)=3(x +1)，
去括号得：4x −2=3x +3，
移项得：4x −3x =3+2，
合并同类项得：x =5；
(2)∵x 2−4x =0，
∴x(x−4)=0，
∴x=0或x−4=0，
∴x1=0，x2=4．
【解析】(1)根据解一元一次方程的步骤求解即可；
(2)用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程，一元二次方程的一般方法．19.【答案】解：(1)由题意可得，
P0=a 0
(a−b)(a−c)+b
(b−c)(b−a)
+c
(c−a)(c−b)
=1
(a−b)(a−c)
+1
(b−c)(b−a)
+1
(c−a)(c−b)
；
(2)由题意可得，
P1=a 1
(a−b)(a−c)+b
1
(b−c)(b−a)
+c
1
(c−a)(c−b)
=a
(a−b)(a−c)−b
(b−c)(a−b)
+c
(a−c)(b−c)
=a(b−c)−b(a−c)+c(a−b)
(a−b)(b−c)(a−c)
=ab−ac−ab+bc+ac−bc
(a−b)(b−c)(a−c)
=0
(a−b)(b−c)(a−c)
=0．
【解析】(1)根据题意，可以写出P0对应的表达式；
(2)根据题意，先写出P1对应的表达式，然后化简即可；
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)调查的学生人数为：30÷30%=100(人)，∴D的学生人数为：100×25%=25(人)，
∴A的人数为：100−10−20−25−30=15(人)，
将条形统计图补充完整如下：
“手工制作”对应的扇形圆心角度数为360°×20
100
=72°；
(2)1800×30%=540(人)，
∴估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；
(3)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，即CC、DD，
∴两位同学选择相同课程的概率为2
9
．
【解析】(1)由E的学生人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由全校学生人数乘以最喜欢“绿植栽培”的学生人数所占的百分比即可；
(3)画树状图，共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ADB和△ADC中，
{AD=AD
∠ADB=∠ADC BD=CD
，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴∠B=∠C；
(2)小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE=BA，CF=CA，如图所示，
∵AB+BD=AC+CD，
∴BE+BD=CF+CD，
∴DE=DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=∠ADF=90°，在△ADE和△ADF中，
{AD=AD
∠ADE=∠ADF DE=DF
，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠E=∠F，
∵BE=BA，CF=CA，
∴∠E=∠BAE，∠F=∠CAF，
∵∠ABC=∠E+∠BAE，∠ACB=∠F+∠CAF，
∴∠ABC=∠ACB；
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得：AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2，∴AB2−BD2=AC2−CD2，
∴AB2+CD2=AC2+BD2，
∵AB+BD=AC+CD，
∴AB−CD=AC−BD，
∴(AB−CD)2=(AC−BD)2，
∴AB2−2AB·CD+CD2=AC2−2AC·BD+BD2，
∴AB·CD=AC·BD，
∴AB AC =BD
CD
，
又∵∠ADB=∠ADC，
∴△ADB∽△ADC，
∴∠B=∠C．
【解析】(1)根据AD⊥BC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据SAS可以证明△ADB≌△ADC，从而可以得到结论成立；
(2)根据小军的证明过程可知：分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE=BA，CF=CA，然后作出辅助线，
再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；由小民的证明过程可知，是根据勾股定理和相似三角形的判定和性质求的结论成立的，写出相应的证明过程即可．
本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式是y =kx +b ，
由表格可得，{40k +b =16450k +b =124
， 解得{k =−4b =324
， 即y 与x 之间的函数关系式是y =−4x +324(30≤x ≤80，且x 是整数)；
(2)由题意可得，
w =x(−4x +324)−2000=−4x 2+324x −2000，
即w 与x 之间的函数关系式是w =−4x 2+324x −2000(30≤x ≤80)；
(3)由(2)知：w =−4x 2+324x −2000=−4(x −
812)2+4561，
∵30≤x ≤80，且x 是整数，
∴当x =40或41时，w 取得最大值，此时w =4560，
即该影院将电影票售价x 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以计算出y 与x 之间的函数关系式；
(2)根据利润=票房收入−运营成本和(1)中的结果，可以写出w 与x 之间的函数关系式；
(3)将(2)中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x 的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23.【答案】(1)①证明：∵DF//AC ，DE//AB ，点D ，E ，F 分别
在三边BC ，CA ，AB 上，
∴DF//AE ，DE//AE ，
∴四边形AFDE 为平行四边形；
②证明：延长BA 到G ，使得AG =AC ，如图1所示，
则∠G =∠ACG ，
∵AB AC =BD DC ，
∴AB AG =BD
DC
，
∵∠ABD=∠GBC，
∴△BAD∽△BGC，
∴∠BAD=∠G，
∴AD//GC，
∴∠DAC=∠ACG，
∴∠BAD=∠DAC，
又∵AB//DE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE为菱形；
(2)解：作∠NMH的角平分线，与NH交于点L，再作线段ML的垂直平分线，分别交MN、MH于点O，G，如下图所示，
四边形MGLO即为所求．
【解析】(1)①根据DF//AC，DE//AB，点D，E，F分别在三边BC，CA，AB上，可以得到DF//AE，DE//AE，然后即可证明结论成立；
②延长BA到G，使得AG=AC，然后根据AB
AC =BD
DC
和∠ABD=∠GBC，可以得到△BAD∽△BGC，从而可以
得到∠BAD=∠G，即可判断AD//CG，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质，可以得到AD平分∠BAC，再根据平行线的性质，可以得到∠DAE=∠ADE，进而得到AE=DE，最后根据有一组邻边相等的平行四边
形是菱形，即可证明结论成立；
(2)作∠NMH的角平分线，与NH交于点L，再作线段ML的垂直平分线，分别交MN、MH于点O，G，则四边形MGLO即为所求．
本题是一道相似形综合题，主要考查平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的画法、线段垂直平分线的画法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】解：【基础应用】
∵∠B=75°，∠C=45°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=60°，
∵∠C=45°，BC=2，BC
sinA =AB
sinC
，
∴2 sin60∘=AB
sin45∘
，
解得AB=2√ 6
3
；
【推广证明】
作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图所示，
∵a⋅AD
2=c⋅CE
2
，
∴a⋅csinB=c⋅bsinA，
∴a sinA =b
sinB
，
同理可证，a
sinA =c
sinC
，
∴a sinA =b
sinB
=c
sinC
，
∵AF是直径，∴∠ACF=90°，∵∠B=∠AFC，
∴sinB=sin∠AFC=b
AF =b
2R
，
∴b
sinB
=2R，
∴a sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R；
【拓展应用】
连接DB，如图所示，
∵BC=3，CD=4，∠C=90°，
∴BD=√ BC2+CD2=√ 32+42=5，
∴sin∠BDC=BC
BD =3
5
，
∵∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴sin∠ABD=3
5
，
作AE⊥CD交CD于点E，
则四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=2，AE=BC=3，
∴DE=2，
∴AD=√ AE2+DE2=√ 32+22=√ 13，
∴AD sin∠ABD =√ 13
3
5
=5√ 13
3
，
∴过A，B，D三点的圆的半径为5√ 13
6
．
第21页，共22页
【解析】【基础应用】
根据三角形内角和可以求得∠A的度数，然后根据题目中的结论，即可求得AB的长；【推广证明】
先证明a
sinA =b
sinB
=c
sinC
，然后连接AO并延长交⊙O于点F，根据圆周角定理可以得到∠B=∠AFC，求出
∠AFC的正弦，即可得到∠B的正弦，然后即可得到b
sinB =2R，从可以得到a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R；
【拓展应用】
根据勾股定理可以得到BD的长，然后根据平行线的性质和锐角三角函数，可以得到sin∠ABD的值，然后作AE⊥CD交CD于点E，得到矩形ABCE，从而可以得到AE和DE的长，再根据勾股定理求得AD的长，最后根
据AD
sin∠ABD
=2R，即可得到过A，B，D三点的圆的半径．
本题一道圆的综合题，主要考查勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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