江西省南昌市2010届高三数学第二次高考模拟(文答案) 人教版

A
1
2009—2010学年度南昌市高三第二次模拟测试卷
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．
13．6； 14．－3； 15．4； 16．（1）（4） 三、解答题：本大题共6小题，共70分， 17
．解：（1）
()cos 21
2432
22cos 21
4sin(2)16
x f x
x x x x π
+=+⨯
-=+-=+-……………………………………………………4分
所以当22,6
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈时，()f x 取最大值3，
此时，,6
x k k Z π
π=+
∈；…………………………………………………………6分
（2）由()f A 是()f x 的最大值及()0,A π∈得到，6
A π
=， (7)
分
由余弦定理2
2
2
2
3cos b b A a +-=，
所以：2,b c ==10分
所以，面积111
sin 2222
s bc
A =
=⨯⨯=12分 18．解法一：（1）设11B C 的中点为1D ，
11PB PC =，111PD B C ∴⊥，…………………………………………………2分
又111A B C △是正三角形，1111A D
B C ∴⊥，
11B C ∴⊥平面11PA D ，111PA B C ∴⊥，……………5分
又
11//BC B C ，1PA BC ∴
⊥；……………………6分
（2）平面11PB BCC ⊥平面111A B C ，
∴1PD ⊥平面111A B C ，
又
1AA ⊥平面111A B C ，11,,,A A P D ∴四点共面，
过点1D 作11D E PA ⊥，垂足为点E ，则11C E PA ⊥， 即11C ED ∠为所求二面角的平面角，……………8分
由11112PC PB BC ===得到
11PD =， 由1111112A B B C C A ===得到11A D = 又1PD ⊥平面111A B C ，111PD A D ∴⊥，
1
2
D E ∴=
=
，
11111tan C D C ED D E ∠=
=
，
所以所求二面角的大小是。

……12分 解法二：（1）设11B C 的中点为1D ，
11PB PC =，111PD B C ∴⊥，…………………………………………………2分
又111A B C △是正三角形，1111A D B C ∴⊥， 11B C ∴⊥平面11PA D ，111PA B C ∴⊥，……………………………………5分 又
11//BC B C ，
1PA BC ∴⊥；……………………………………6分
（2）
平面11PB BCC ⊥平面111A B C ，
∴1PD ⊥平面111A B C ，
又
1AA ⊥平面111A B C ，11,,,A A P D ∴四点共面，
如图，以点1D 为坐标原点，11111,,D B D A D P 所在直
线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间坐标系1D xyz -
， 平面1PAA 所在平面为坐标平面yOz ，取平面1PAA 的 一个法向量()1,0,0m =…………………8分
由11112PC PB BC ===
得到
11PD =， 由1111112A B B C C A ===
得到11A D =
点P 的坐标为()0,0,1，点1A 的坐标为()
，点1C 的坐标为()
1,0,0-， 设平面11PC A 的法向量为(),,n x y z =，
则(
)()
1,,10n PA x y z ⋅=⋅-=，所以z = (
)()1,,1,0,10n PC x y z ⋅=⋅--=，所以x z
=-，
令1y =，则(3,1,
n =-，…………………………………………10分
3cos ,7m n -=
=-， 即所求二面角是arccos 7。

………………………………………………12分
19．解：（1）这4位员工中恰好有2位员工参观世博会的概率是：
2
2
2
2
12112111113
223233223236
P ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⋅+⨯⨯⨯⨯⨯+⋅= ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；…………………6分 （2）消费金额恰好为11000元的概率是：()2
1214
11000233236
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
消费金额恰好为14000元的概率是：()22
214140003236
P ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……10分
所以：这4位员工因参观世博会消费总金额不超过10000元的概率是：447
136369
--=
……………………………………………………………………………………12分 20．解：⑴2n ≥时，1122
,11
n n
n n a a s s a a +---=
=-- 两式相减得 11112
2,,11
n n n n n n n n n
n n a a a a
S S a a a a a a a a a ++-+----==∴=⋅--∴=
…………………4分 当1n =时，21122
2,2,1
a a S a a a -===∴=-
则，数列{}n a 的通项公式为1
2.n n a a -=⋅ ………………………………6分
⑵把数列{}n a 的通项公式代入数列{}n b 的通项公式，可得
2121log ()n n b a a a n =
=212221
(log log log )n a a a n +++ =1}2422[1(1)(1)(1)]212121n n k k k -+++++++---
1(1)21
[]122121
n n n n n k k --=+⋅=+
--……………………………10分 12,1 2.n n k b ≤≤∴≤≤ …………………………………………………………12分 21．解：（1）()3
'42f x ax bx c =++，由条件得到：
4201143248
a b c a b c a b c --+=⎧⎪⎪+-+=-⎨⎪--+=-⎪⎩，得到：14122a b c ⎧
=⎪⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
……………………………………………6分
（2）依题意422
11212142
x x x kx m x x +++≥+≥-++恒成立，
令0x =，则11m ≥≥，所以1m =，………………………………………………8分
因此：2121kx x x +≥-++恒成立，即()2
20x k x +-≥恒成立，
由≤△0得到：2k =，………………………………………………………………10分
又因为：()()42
1121042
f x x x x -+=+≥，所以()21f x x ≥+恒成立，
所以：函数()f x 与函数()2
21g x x x =-++的分界线方程是21y x =+。

…………12分
22．解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，相应的点P 的坐标为()00,x y ，则22
003x y +=，
直线PQ 的方程为：003x x y y +=，所以点Q 的坐标为03,0x ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 直线OP 的方程为：0
y y x x =
，所以点N 的坐标为001,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
因此：0003x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即：00
33x x
y
y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………………………………4分
所以曲线C 的方程为：2
2
333y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即22131x y -=；…………………6分
（2）设存在定点(),0E t 使得()
OF EA EB λ⊥-，
设直线AB 的方程为：2x my =+()0m ≠，点()()1122,,,A x y B x y 由AF FB λ=得到12y y λ-=，即1
2
y y λ=-
，…………………………………7分 ()1212,EA EB x t x t y y λλλλ-=--+-，
()
OF EA EB λ⊥-得到：()()1
12122
y x t x t x t x t y λ-=-⇒-=-
-， 即：()()1212220my t y y my t +-++-=，即()()1212220my y t y y +-+=（1）………10分
由方程组：22
2
13
x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得到：()22233my y +-=，即()22
3410m y my -++=， 所以：2
30,m -≠且121222
41,33
m y y y y m m -+==--，代入（1）式得到： ()22242033
t m m m m -+=--，
要对满足()0m ≠且2
30m -≠的实数m 恒成立，
只需要()2240t +-⨯=，即32
t =， 所以存在定点3,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
使得()
OF EA EB λ⊥-。

……………………………14分。