高二数学上册期中调研考试题9

第一学期期中考试试卷
高二数学
本试卷分第一卷(填空题)和第二卷(解答题)两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项： 1．
答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题
卷规定区域内； 2．
填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或
炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔； 3．
请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答
题区域书写的答案无效．
第一卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题．．卷相应．．．位置上．．．。

1．已知直线3430x y +-=与直线6110x my ++=平行，则实数m 的值是 ▲ .
2．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有 ▲ 条. 3．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数．．为 ▲ . 4．以点(3,0)P 为端点，与圆221x y +=相切的切线段的长为 ▲ . 5．已知直线l 经过点()2,3-，且原点到直线l 的距离是2，则直线l 的
方程是 ▲ . 6．如果规定：“z y y x ==,，则z x =”叫做z y x ,,关于等量关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是 ▲ .
7．过点)2,1(M 的直线l 将圆9)2(22=+-y x 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程为 ▲ .
8．已知,m n 是直线，βα,是平面，给出下列命题：
①若,m αβαβ⊥=，n m ⊥，则n α⊥或n β⊥；
②若βα//，,m n αγβγ==，则//m n ；
③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内无数条直线； ④若,//m m n αβ=，且,,n n αβ⊄⊄，则//n α且//n β. 其中正确的命题序号为 ▲ . 9．已知θ∈R
，则直线|sin |10x θ+=的倾斜角的取值范围是
▲ .
10．已知两圆相交于两点)1,()3,1(m 和，且两圆的圆心都在直线
02
=+
-c
y x 上，则c m +的值是 ▲ . 11．已知点),(b a M 在直线3425x y +=上，则
22b a +的最小值为
▲ .
12．若直线01=++y ax 与连结)2,3(),3,2(-B A 两点的线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 ▲ .
13．若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为 ▲ .
C
14．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为6的正方形，//EF AB ,3 EF ,且EF 与平面ABCD 的距离为4，则该多面体的体积为 ▲ .
第二卷
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卷．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC =BC ，点D 是AB 的中点．
求证：（Ⅰ）CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）AC 1//平面CDB 1．
16．(本题满分14分)
如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA . 求证：（Ⅰ）平面AMD ∥平面BPC ；
（Ⅱ）平面PMD ⊥平面PBD ．
17．(本题满分15分)
已
知
m ∈R
，直线m y m mx l 4)1(:2=+-和圆
01648:22=++-+y x y x C .
（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧？为什么？
18．(本题满分15分)
已知直线方程为034)21()2(=-+-++m y m x m . (Ⅰ)证明：直线恒过定点M ；
(Ⅱ)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于B A ,两点，求△AOB 面
A
B
C
D
P
M
积的最小值及此时直线的方程．
19．(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序排列，且()()()
t∈+∞.
-+，其中()
0,
0,0,1,,12,2
O P t Q t t
(Ⅰ)求顶点R的坐标；
(Ⅱ)求矩形OPQR在第一象限部分的面积.
20．(本题满分16分)
已知圆:C22
A a.
++=，相互垂直的两条直线1l、2l都过点(,0)
x y
(2)4
（Ⅰ）当2
l、2l a=时，若圆心为(1,)
M m的圆和圆C外切且与直线
1
都相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）当1
l、2l被圆C所截得弦长之和的最大值，并a=-时，求
1
求此时直线
l的方程.
1
高二数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 8 2. 6 3. 1 4.
5. 0261252=-+-=y x x 或
6. 平行；
7. 032=+-y x 8. ②④ 9.
000,30⎡⎤⎣⎦
10. 3 11. 5 12.
21a a -≤或≥
13.
14. 60 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．证明：（Ⅰ）∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，
∴
平
面
ABC ⊥
平
面
A 1AB
B 1， …………………………………2分
∵AC =BC ，点D 是AB 的中点，
∴CD ⊥AB . ………………………………4分
∵平面ABC ∩平面A 1ABB 1=AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥
平
面
A 1AB
B 1. ……………………………………………7分
（Ⅱ）连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连结DE . ……………………9分
∵D
是
AB
的中点，E
是
BC 1
的中点，
∴DE//AC1. ………………………11分
∵DE⊂平面CDB1，AC⊄平面CDB1，
∴AC1//平面CDB1. ………………………………………
……14分
16．证明：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB∥MA．…………………2分
∵PB⊂平面BPC，MA⊂/平面BPC，∴MA∥平面BPC．……………………4分
同理DA∥平面BPC，………………………………………………
…5分
∵MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，
∴平面AMD∥平面BPC．…………………………………………………………7分（Ⅱ）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF∥= 1
2PB．
又AM∥=1
2PB，∴AM
∥=EF．∴AEFM为平行四边
形．………………10分∴MF∥AE．
∵PB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，
∴PB ⊥AE ．∴MF ⊥PB ． ………………12分 因为ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ．∴MF ⊥BD ． 又
PB
PD P
=，∴MF ⊥平面
PBD ． ………………13分 又
MF ⊂平面
PMD ．∴平面
PMD ⊥平面
PBD ． …………………………………14分 17
．
解
：
（
Ⅰ
）
22
,01
m
k km m k m =
∴-+=+，
（*） ……………………………2分
m ∈R ，∴当k ≠0时，由0∆≥解得112
2
k -≤≤
且k ≠
0； ……………5分
又当
k ＝0
时，方程（*）有解
m ＝
0， ………………6分
综
上可得
1122
k -≤≤. ………………………………
7分
（Ⅱ）假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧．………………8分
设直线
l
与圆
C
交于A ，B 两点则∠ACB ＝120
°． ……………………………10分
∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．
故有1)1(4)1(242
222=++-++m m m m m ，整理得423530m m ++=．
∵
254330
∆=-⨯⨯<，∴方程423530
m m ++=无实数
解． …………………14分
因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧．…………………15分
18．(Ⅰ)证明：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4. …3分
由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0－2x －y －4＝0得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1y ＝－2， ∴直线必过定点(－1，－2)． …………………………………6分
(Ⅱ)解：设直线的斜率为k （k <0），则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，
∴OA
＝
|
2
k
－1|，OB ＝| k － 2
|， …………………………8分
S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12|(2k －1)(k －2)|＝1
2|－(k －2)2k |. .………………………10分
∵k <0，∴－k >0，
∴S △AOB ＝12[－(k －2)2
k ]＝1
2[4＋(－4k
)＋(－k )]≥4.
当且仅当－4
k ＝－k ，即k ＝－2时取等号. ………………………13分
∴△AOB 的面积最小值是4， ……………………………14分
直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0. …………………15分 19
．
解
：
（
Ⅰ
）
()2,2R t -. ……………………………………………………
4分
（Ⅱ）矩形
O P
的面积
)1(221t PQ OP S +=⋅=. ……………………6分
1°当120t -≥时，设线段RQ 与y 轴交于点M ， 直
线
RQ
的方程为
()22y t x t -=+， …………………………………………8分
得点M 的坐标为()20,22t +，OMR ∆面积为()221
212
R S OM x t t =⋅=+，
∴
()()()212211S t S S t t =-=-+. …………………………………
…10分
2°当120t -<时，设线段RQ 与y 轴交于点N ， 直
线
RQ
的方程为
()1
1y t x t
-=-
-， ………………………12分 点
N
的坐标
10,t t ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭，
()21
2OPN
t S t S t
∆+==. ……………………………14分 从而
()()()2
21212
11,22t t t S t t t t
⎧-+<⎪⎪=⎨+⎪>
⎪⎩≤. (16)
分
20．解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，
∴
⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)
2()21(2)21(r m r m ， ………………………………4分
解得2
=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x . ……………7分
（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即 124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得
221228d d +=. ……………………10分
从而2222212121212()22()56d d d d d d d d ++++==≤，
∴12d d +≤
12d d ==.
∴当12d d =
12max ()d d +=， 即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142. ……………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ， 则
22)214(41-=+k k ，1±=∴k . …………………………15分
∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或
01=++y x . …………………………16分。