章节检测卷-章节检测卷(五) 四边形
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∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
∵ ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ．
∵ ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ， ∴ 四边形 是矩形．
∵ = ， ∴ 四边形 是正方形；
， 的中点，连接 ， ， ， ，则图
中阴影部分的面积为(
A.6
B. 4
√
)
3
第5题图
C. 3 3
D. 2 3
6.如图，在矩形 中， = 4 ，对角线 ，
相交于点 ，以 为边在 下方作正方形
，已知 正方形 = 16 ，连接 ，则 ∠
章节检测卷（五）
四边形
（满分：100分 建议考试时间：90分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正
确选项.
1.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为(
A.5
B.6
C.7
D.8
√
)
2.如图，在平行四边形 中，对角线 与 相
交于点 ， ， 是对角线 上的点．下列条件中，
C.2个
D.1个
9.如图，在正方形 和正方形 中，点 在
上， = 1 ， = 3 ， 是 的中点，那么
的长是(
A.2.5
)
B.
√
5
C. 10
D.2
第9题图
10.已知菱形 的边长为4， ， 分别在 ，
上， =
− = ．
∵ 四边形 是菱形，
∴ = = , ∴ = − , = .
在 △ 中，根据勾股定理得 = + ，
∴ −
∵ =
= + ，解得 = , ∴ = .
= , ∴ =
∴ = = ．
−
=
−
= ，
22.（10分）如图1，在正方形
中，对角线 和 相交于点 ，
是正方形 边 下方一点，
连接 ， ， ，已知
= ，且 ∠ = 75∘ ．
不能判定四边形 是平行四边形的是(
A. =
√
C. ∠ = ∠
)
B. =
D. //
第2题图
3.如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点．若菱形
的周长为24，则 的长为(
)
第3题图
A.6
B.8
C.3
√
形 的面积是_____．
第14题图
15.如图，正方形 的边长为2， 平分 ∠ 交
于点 ， 是 延长线上一点，且 = ， 延长
−
线交 于点 ，则 ⋅ 的值是_________．
第15题图
16.如图，在矩形 中， = 8 ， = 15 ， 为
（2）若 = 10 ， = 8 ， = 3 ，求四边形 的周长．
解：由（1）知 △ ≌△ ， ∴ = ， = ，
∴ + = + = = ．
又 ∵ = = ，
∴ 四边形 的周长 = + + + = + + = ．
第21题图
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明： ∵ // ， 为对角线 的中点，
∴ = ， ∠ = ∠ ．
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中， ቐ =
，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ， ∴ = ．
与 的延长线交于点 ，连接 交 于点 ，连
接 ，下列结论： ① =
1
；②四边形
2
是平行四边形；③若 ∠ = ∠ ，则
第8题图
∠ = 90∘ ；④若 = ，则 △ 是直角三角形．其中正确的有
(
A.4个
√
)
B.3个
⊥
需添加一个条件即可证明四边形 是矩形，这个条件可以是________
（答案不唯一）
__________________（写出一个即可）．
第12题图
13.如图，在平行四边形 中， 为 边上一点，
以 为边作矩形 ．若 ∠ = 40∘ ，
∠ =
D.4
4.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章
上.若直尺的下沿 ⊥ 于点 ，且经过点 ，
上沿 经过点 ，则 ∠ 的度数为(
A. 152∘
B. 126∘
√
C. 120∘
)
D. 108∘
第4题图
5.如图，在菱形 中， ∠ = 60∘ ，
= 4 ．若 ， ， ， 分别是边 ， ，
∵ // ， ∴ 四边形 是平行四边形；
（2）当 平分 ∠ 时，
①证明：四边形 是菱形；
证明： ∵ 平分 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ // ， ∴ ∠ = ∠ ， ∴ ∠ = ∠ ， ∴ = .
∵ = ， ∴ = − = ．
∵ 四边形 是矩形， ∴ = = ， = ，
∴ = + = + = ．
在 △ 中， = − = − = ，
∴ = = ．
∵ = ， ∴ = ， ∴ = ．
∵ // ， ∴ 四边形 是平行四边形．
∵ ⊥ ， ∴ ∠ = ∘ ，
∴ 四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 = 5 ， = 2 ．求 的长．
解： ∵ 四边形 是菱形， = ， ∴ = = = ．
．
20.（8分）如图，菱形 的对角线 ， 相交
于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，延长 到点 ，
使 = ，连接 ．
第20题图
（1）求证：四边形 是矩形；
证明： ∵ 四边形 是菱形，
∴ // 且 = ．
的度数为(
)
第6题图
A. 30∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 75∘
√
7.如图，将矩形纸片 沿对角线 对折，使得点
落在点 处， 交 于点 ．若 平分 ∠ ，
= 2 ，则 的长是(
A.1.5
B.
√
3
)
C.
3Hale Waihona Puke 2+1D.
3+1
2
第7题图
8.如图，四边形 是平行四边形， // ，
对角线 上一动点， ⊥ 于点 ， ⊥ 于
点 ，则线段 长的最小值为____．
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答时，应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（8分）如图，在平行四边形 中，对角线
， 交于点 ，过点 任意作直线分别交 ,
(
1
A.
3
6
， ∠
5
= ∠ =
60∘
，则
=
)
√
3
B.
7
2
C.
5
3
D.
5
第10题图
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11.若一个正多边形的内角和比四边形的内角和多 360∘ ，则这个正多边形
∘
的每个内角的度数为______．
12.如图，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 上， = ．只
于点 ， ．
第17题图
（1）求证： △ ≌△ ；
证明： ∵ 四边形 是平行四边形，
∴ // ， = ， ∴ ∠ = ∠ ．
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中， ቐ =
，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ；
∴ ∠ = ∘ ， = , ∴△ 为等边三角形；
（2）若 = 4 ，求正方形 的面积．
解： ∵ 四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∘ ， = = ．
∵ ∠ = ∘ ， ∴ = ．
∵ 四边形 是正方形， ∴ = ， ∴ = =
∴ 正方形 = = ．
= ，
19.（8分）如图,在 △ 中， ， 分别平分
∠ 与它的邻补角 ∠ ， ⊥ 于点 ，
⊥ 于点 ，直线 分别交 ， 于点
，．
第19题图
（1）求证：四边形 为矩形；
证明: ∵ ⊥ ， ⊥ ，
（2）试猜想 与 的关系，并证明你的猜想．
解： // 且 =
．
证明如下： ∵ 四边形 为矩形， ∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ， ∴ // ．
又 ∵ = ， ∴ 是 △ 的中位线， ∴ =
在 △ 中， =
∵ ∠ =
∘
+ =
， = ， ∴ =
+ = ，
= ．
21.（10分）如图，在四边形 中， // ，
为对角线 的中点，过点 作直线分别与边 ，
交于 ， 两点，连接 ， ．
∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
又 ∵ ， 分别平分 ∠ 与它的邻补角 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ =
∠ + ∠ = × ∘ = ∘ ，
即 ∠ = ∘ ，
∴ 四边形 为矩形；
由（1）知四边形 是平行四边形， ∴ 四边形 是菱形；
②当四边形 是矩形时，若 = 8 ， = 4 5 ，求 的长．
解： ∵ 四边形 是矩形， ∴ ∠ = ∘ ， = = ，
∴ =
−
=
10∘
∘
，则 ∠ 的度数为_____．
第13题图
14.如图，四边形 为平行四边形， = 2 ，
= 3 ．按以下步骤作图：①分别以点 和点 为圆
1
心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 ， 两点；
2
②作直线 ．若直线 恰好经过点 ，则平行四边
18.（8分）如图，在正方形 中， 是对角线，
⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
第18题图
证明： ∵ 四边形 是正方形， ∴ = ．
∵ ⊥ ， ∴ = ．
第22题图
（1）试判断 △ 的形状，并说明理由；
解： △ 为等边三角形．理由如下：
∵ = ， ∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ， ∴ ∠ = ∘ ．
∵ 四边形 是正方形， ∴ = ， ∠ = ∘ ，
∵ ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ．
∵ ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ， ∴ 四边形 是矩形．
∵ = ， ∴ 四边形 是正方形；
， 的中点，连接 ， ， ， ，则图
中阴影部分的面积为(
A.6
B. 4
√
)
3
第5题图
C. 3 3
D. 2 3
6.如图，在矩形 中， = 4 ，对角线 ，
相交于点 ，以 为边在 下方作正方形
，已知 正方形 = 16 ，连接 ，则 ∠
章节检测卷（五）
四边形
（满分：100分 建议考试时间：90分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正
确选项.
1.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为(
A.5
B.6
C.7
D.8
√
)
2.如图，在平行四边形 中，对角线 与 相
交于点 ， ， 是对角线 上的点．下列条件中，
C.2个
D.1个
9.如图，在正方形 和正方形 中，点 在
上， = 1 ， = 3 ， 是 的中点，那么
的长是(
A.2.5
)
B.
√
5
C. 10
D.2
第9题图
10.已知菱形 的边长为4， ， 分别在 ，
上， =
− = ．
∵ 四边形 是菱形，
∴ = = , ∴ = − , = .
在 △ 中，根据勾股定理得 = + ，
∴ −
∵ =
= + ，解得 = , ∴ = .
= , ∴ =
∴ = = ．
−
=
−
= ，
22.（10分）如图1，在正方形
中，对角线 和 相交于点 ，
是正方形 边 下方一点，
连接 ， ， ，已知
= ，且 ∠ = 75∘ ．
不能判定四边形 是平行四边形的是(
A. =
√
C. ∠ = ∠
)
B. =
D. //
第2题图
3.如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点．若菱形
的周长为24，则 的长为(
)
第3题图
A.6
B.8
C.3
√
形 的面积是_____．
第14题图
15.如图，正方形 的边长为2， 平分 ∠ 交
于点 ， 是 延长线上一点，且 = ， 延长
−
线交 于点 ，则 ⋅ 的值是_________．
第15题图
16.如图，在矩形 中， = 8 ， = 15 ， 为
（2）若 = 10 ， = 8 ， = 3 ，求四边形 的周长．
解：由（1）知 △ ≌△ ， ∴ = ， = ，
∴ + = + = = ．
又 ∵ = = ，
∴ 四边形 的周长 = + + + = + + = ．
第21题图
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明： ∵ // ， 为对角线 的中点，
∴ = ， ∠ = ∠ ．
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中， ቐ =
，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ， ∴ = ．
与 的延长线交于点 ，连接 交 于点 ，连
接 ，下列结论： ① =
1
；②四边形
2
是平行四边形；③若 ∠ = ∠ ，则
第8题图
∠ = 90∘ ；④若 = ，则 △ 是直角三角形．其中正确的有
(
A.4个
√
)
B.3个
⊥
需添加一个条件即可证明四边形 是矩形，这个条件可以是________
（答案不唯一）
__________________（写出一个即可）．
第12题图
13.如图，在平行四边形 中， 为 边上一点，
以 为边作矩形 ．若 ∠ = 40∘ ，
∠ =
D.4
4.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章
上.若直尺的下沿 ⊥ 于点 ，且经过点 ，
上沿 经过点 ，则 ∠ 的度数为(
A. 152∘
B. 126∘
√
C. 120∘
)
D. 108∘
第4题图
5.如图，在菱形 中， ∠ = 60∘ ，
= 4 ．若 ， ， ， 分别是边 ， ，
∵ // ， ∴ 四边形 是平行四边形；
（2）当 平分 ∠ 时，
①证明：四边形 是菱形；
证明： ∵ 平分 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ // ， ∴ ∠ = ∠ ， ∴ ∠ = ∠ ， ∴ = .
∵ = ， ∴ = − = ．
∵ 四边形 是矩形， ∴ = = ， = ，
∴ = + = + = ．
在 △ 中， = − = − = ，
∴ = = ．
∵ = ， ∴ = ， ∴ = ．
∵ // ， ∴ 四边形 是平行四边形．
∵ ⊥ ， ∴ ∠ = ∘ ，
∴ 四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 = 5 ， = 2 ．求 的长．
解： ∵ 四边形 是菱形， = ， ∴ = = = ．
．
20.（8分）如图，菱形 的对角线 ， 相交
于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，延长 到点 ，
使 = ，连接 ．
第20题图
（1）求证：四边形 是矩形；
证明： ∵ 四边形 是菱形，
∴ // 且 = ．
的度数为(
)
第6题图
A. 30∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 75∘
√
7.如图，将矩形纸片 沿对角线 对折，使得点
落在点 处， 交 于点 ．若 平分 ∠ ，
= 2 ，则 的长是(
A.1.5
B.
√
3
)
C.
3Hale Waihona Puke 2+1D.
3+1
2
第7题图
8.如图，四边形 是平行四边形， // ，
对角线 上一动点， ⊥ 于点 ， ⊥ 于
点 ，则线段 长的最小值为____．
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答时，应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（8分）如图，在平行四边形 中，对角线
， 交于点 ，过点 任意作直线分别交 ,
(
1
A.
3
6
， ∠
5
= ∠ =
60∘
，则
=
)
√
3
B.
7
2
C.
5
3
D.
5
第10题图
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11.若一个正多边形的内角和比四边形的内角和多 360∘ ，则这个正多边形
∘
的每个内角的度数为______．
12.如图，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 上， = ．只
于点 ， ．
第17题图
（1）求证： △ ≌△ ；
证明： ∵ 四边形 是平行四边形，
∴ // ， = ， ∴ ∠ = ∠ ．
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中， ቐ =
，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ；
∴ ∠ = ∘ ， = , ∴△ 为等边三角形；
（2）若 = 4 ，求正方形 的面积．
解： ∵ 四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∘ ， = = ．
∵ ∠ = ∘ ， ∴ = ．
∵ 四边形 是正方形， ∴ = ， ∴ = =
∴ 正方形 = = ．
= ，
19.（8分）如图,在 △ 中， ， 分别平分
∠ 与它的邻补角 ∠ ， ⊥ 于点 ，
⊥ 于点 ，直线 分别交 ， 于点
，．
第19题图
（1）求证：四边形 为矩形；
证明: ∵ ⊥ ， ⊥ ，
（2）试猜想 与 的关系，并证明你的猜想．
解： // 且 =
．
证明如下： ∵ 四边形 为矩形， ∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ， ∴ // ．
又 ∵ = ， ∴ 是 △ 的中位线， ∴ =
在 △ 中， =
∵ ∠ =
∘
+ =
， = ， ∴ =
+ = ，
= ．
21.（10分）如图，在四边形 中， // ，
为对角线 的中点，过点 作直线分别与边 ，
交于 ， 两点，连接 ， ．
∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
又 ∵ ， 分别平分 ∠ 与它的邻补角 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ =
∠ + ∠ = × ∘ = ∘ ，
即 ∠ = ∘ ，
∴ 四边形 为矩形；
由（1）知四边形 是平行四边形， ∴ 四边形 是菱形；
②当四边形 是矩形时，若 = 8 ， = 4 5 ，求 的长．
解： ∵ 四边形 是矩形， ∴ ∠ = ∘ ， = = ，
∴ =
−
=
10∘
∘
，则 ∠ 的度数为_____．
第13题图
14.如图，四边形 为平行四边形， = 2 ，
= 3 ．按以下步骤作图：①分别以点 和点 为圆
1
心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 ， 两点；
2
②作直线 ．若直线 恰好经过点 ，则平行四边
18.（8分）如图，在正方形 中， 是对角线，
⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
第18题图
证明： ∵ 四边形 是正方形， ∴ = ．
∵ ⊥ ， ∴ = ．
第22题图
（1）试判断 △ 的形状，并说明理由；
解： △ 为等边三角形．理由如下：
∵ = ， ∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ， ∴ ∠ = ∘ ．
∵ 四边形 是正方形， ∴ = ， ∠ = ∘ ，