高考数学总复习 专题(4)立体几何综合题的解答课件 苏教版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三页，共18页。
探究三 空间距离的计算 高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重 要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算 距离．距离问题的关键是“垂直”，通过作垂线把求解的距离问题 纳入到一个具体的平面图形中进行计算．距离问题也与逻辑推理、 空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力 的深化．
第二页，共18页。
立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下，将重点考查逻 辑推理能力，考查方式必然是空间线面位置关系的证明和空间角的 计算等．考生在学习该部分内容时要注意把握好如下两个问题：一 是多方位地认识空间几何体的结构，熟悉它们在各种不同位置下的 直观图和三视图，熟悉其表面积和体积的计算公式；二是熟练掌握 四个公理，熟练掌握空间线面位置关系的判定和性质定理，这些公 理和定理是我们进行推理和计算的主要工具，是立体几何的根本所 在．
第十一页，共18页。
由 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD 得 PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB. 而 PB⊂平面 PAB，∴BC⊥PB.
在 Rt△PAB 中，PB＝ PA2＋AB2＝ 5，
在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝3.
在
Rt△PBC
第三页，共18页。
探究一 平行与垂直的判定与证明 对于直线与平面的位置关系，高考中主要考查平面的基本性质， 考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用 平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证，一般会以选择题或解 答题的形式进行考查．解题的策略：结合图形进行平行与垂直的推 理证明，由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行 或垂直证明面面平行或垂直．如果是选择题还可以依据条件举出反 例否定．
第十六页，共18页。
(2)A1B＝A1D＝ 5，BD＝ 6，
∴S△A1BD＝12 6× 5－32＝12 21，
VB－A1C1D＝13×距离为 d，则 VB－A1C1D＝VC1－A1BD，
∴13×12×
21d＝13，d＝2
21 21 .
∴点
C1
第十五页，共18页。
【转化】 (1)线线平行⇒线面平行 (2)利用体积相等求距离 【求解】 (1)证明：取 A1B 的中点为 F，连接 EF，FD. ∵EF 綊12B1B，B1B 綊 C1C，C1D＝12C1C，
∴EF 綊 C1D，∴四边形 C1EFD 为平行四边形，
∴C1E∥DF，又 DF⊂平面 A1DB，C1E⊄平面 A1DB， ∴C1E∥平面 A1DB.
第六页，共18页。
(2)设 AC 与 BD 交于 O，当 F 为 OC 的中点， 即 AF＝34AC 时，EF∥平面 PBD. 理由如下：如图，连接 PO， 因为 EF∥平面 PBD，EF⊂平面 PAC， 平面 PAC∩平面 PBD＝PO，所以 EF∥PO. 在△POC 中，E 为 PC 的中点，所以 F 为 OC 的中点． 在△POC 中，E，F 分别为 PC，OC 的中点，所以 EF∥PO.又 EF⊄平面 PBD、PO⊂平面 PBD， 故 EF∥平面 PBD.
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 B－PC－A 的正切值．
第九页，共18页。
【审题】 关键点：①平面 ABCD 为矩形；②PA⊥平面 ABCD； ③PC⊥平面 BDE.
【转化】 (1)证 BD 与平面 PAC 内的两条相交直线垂直． (2)找到二面角的平面角后解三角形． 【求解】 (1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD. 同理由 PC⊥平面 BDE 可证得 PC⊥BD. 又 PA∩PC＝P，∴BD⊥平面 PAC.
第七页，共18页。
【反思】 在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使 用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线， 而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是 问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明线线垂直，也可以根 据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视平面与平面垂直 的性质定理．
第十八页，共18页。
第五页，共18页。
【转化】 (1)把证 BD⊥EF 转化为证 BD 与 EF 所在的平面垂 直
(2)把确定点 F 使 EF∥平面 PBD 的位置，转化为证明 F 在什么 位置时 EF∥PO，即化线面平行为线线平行．
【求解】 (1)证明：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD. 又四边形 ABCD 是正方形， 所以 AC⊥BD，PA∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 PAC，又 EF⊂平面 PAC， 所以 BD⊥EF.
到平面
A1BD
的距离为2
21 21 .
第十七页，共18页。
【反思】 转化与化归思想在立体几何证明和计算中的应用是 最广泛的，等体积变换把空间距离的计算问题转化为简单的锥体体 积的计算，避免了利用空间线面关系作垂线段的的过程．在计算时， 要准确利用锥体的体积的计算公式，合理选择相关的锥体是解决该 类问题的关键．线面距离、面面距离常转化为点面距离去求解．
中，由
PB·BC＝PC·BE
得
BE＝2
3
5 .
在 Rt△BOE 中，OE＝ BE2－BO2＝ 32.
∴tan∠BEO＝BOOE＝3， 即二面角 B－PC－A 的正切值为 3.
第十二页，共18页。
【反思】 本题以锥体为载体，考查线面垂直的判定和性质、 二面角的求法以及空间向量的应用，同时考查了空间想象能力，推 理论证能力和运算求解能力．
第四页，共18页。
(2013·北京东城区期末检测)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 为线段 AC 上一点．
(1)求证：BD⊥EF； (2)试确定点 F 在线段 AC 上的位置，使 EF∥平面 PBD，并说明 理由． 【审题】 关键点：①ABCD 是正方形；②PA⊥平面 ABCD； ③E 是 PC 的中点
专题(zhuāntí)四 立体几何综合题的解答
第一页，共18页。
立体几何是考查空间想象能力的主要素材，高考必然会利用立 体几何试题考查考生的空间想象能力．其中，空间几何体的三视图 是考查空间想象能力的最直接的素材，高考一定会充分利用该知识 点设计试题，总的趋势是空间几何体的三视图越来越复杂，在考查 空间几何体三视图的同时结合面积和体积的计算；空间线面位置关 系的组合判断题能较为全面地考查考生的空间想象能力和对立体几 何基础知识的掌握程度，也是一种理想的命题方式；
第十页，共18页。
(2)方法一：如图(1)，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 OE. ∵PC⊥平面 BDE，BE、OE⊂平面 BDE， ∴PC⊥BE，PC⊥OE. ∴∠BEO 即为二面角 B－PC－A 的平面角． 由(1)知 BD⊥平面 PAC.又 OE、AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥AC. 故矩形 ABCD 为正方形，∴BD＝AC＝2 2，BO＝12BD＝ 2.
第十四页，共18页。
(2013·石家庄质检)如图，在三棱柱 ABC－A1 B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1，∠B1A1C1＝90°， D，E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点，且 A1A＝AC ＝2AB＝2.
(1)求证：C1E∥平面 A1BD； (2)求点 C1 到平面 A1BD 的距离． 【审题】 ①三棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱；②∠B1A1C1＝ 90°；③D，E 分别是 CC1 和 A1B1 的中点；④A1A＝AC＝2AB＝2
第八页，共18页。
探究二 空间角的求角 空间角主要有异面直线所成的角、线面角和二面角三种，其解 法关键是把要求的角归纳到某直角三角形中通过构造直角三角形求 解．
(2012·高考广东卷)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC⊥平面 BDE.
探究三 空间距离的计算 高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重 要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算 距离．距离问题的关键是“垂直”，通过作垂线把求解的距离问题 纳入到一个具体的平面图形中进行计算．距离问题也与逻辑推理、 空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力 的深化．
第二页，共18页。
立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下，将重点考查逻 辑推理能力，考查方式必然是空间线面位置关系的证明和空间角的 计算等．考生在学习该部分内容时要注意把握好如下两个问题：一 是多方位地认识空间几何体的结构，熟悉它们在各种不同位置下的 直观图和三视图，熟悉其表面积和体积的计算公式；二是熟练掌握 四个公理，熟练掌握空间线面位置关系的判定和性质定理，这些公 理和定理是我们进行推理和计算的主要工具，是立体几何的根本所 在．
第十一页，共18页。
由 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD 得 PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB. 而 PB⊂平面 PAB，∴BC⊥PB.
在 Rt△PAB 中，PB＝ PA2＋AB2＝ 5，
在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝3.
在
Rt△PBC
第三页，共18页。
探究一 平行与垂直的判定与证明 对于直线与平面的位置关系，高考中主要考查平面的基本性质， 考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用 平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证，一般会以选择题或解 答题的形式进行考查．解题的策略：结合图形进行平行与垂直的推 理证明，由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行 或垂直证明面面平行或垂直．如果是选择题还可以依据条件举出反 例否定．
第十六页，共18页。
(2)A1B＝A1D＝ 5，BD＝ 6，
∴S△A1BD＝12 6× 5－32＝12 21，
VB－A1C1D＝13×距离为 d，则 VB－A1C1D＝VC1－A1BD，
∴13×12×
21d＝13，d＝2
21 21 .
∴点
C1
第十五页，共18页。
【转化】 (1)线线平行⇒线面平行 (2)利用体积相等求距离 【求解】 (1)证明：取 A1B 的中点为 F，连接 EF，FD. ∵EF 綊12B1B，B1B 綊 C1C，C1D＝12C1C，
∴EF 綊 C1D，∴四边形 C1EFD 为平行四边形，
∴C1E∥DF，又 DF⊂平面 A1DB，C1E⊄平面 A1DB， ∴C1E∥平面 A1DB.
第六页，共18页。
(2)设 AC 与 BD 交于 O，当 F 为 OC 的中点， 即 AF＝34AC 时，EF∥平面 PBD. 理由如下：如图，连接 PO， 因为 EF∥平面 PBD，EF⊂平面 PAC， 平面 PAC∩平面 PBD＝PO，所以 EF∥PO. 在△POC 中，E 为 PC 的中点，所以 F 为 OC 的中点． 在△POC 中，E，F 分别为 PC，OC 的中点，所以 EF∥PO.又 EF⊄平面 PBD、PO⊂平面 PBD， 故 EF∥平面 PBD.
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 B－PC－A 的正切值．
第九页，共18页。
【审题】 关键点：①平面 ABCD 为矩形；②PA⊥平面 ABCD； ③PC⊥平面 BDE.
【转化】 (1)证 BD 与平面 PAC 内的两条相交直线垂直． (2)找到二面角的平面角后解三角形． 【求解】 (1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD. 同理由 PC⊥平面 BDE 可证得 PC⊥BD. 又 PA∩PC＝P，∴BD⊥平面 PAC.
第七页，共18页。
【反思】 在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使 用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线， 而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是 问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明线线垂直，也可以根 据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视平面与平面垂直 的性质定理．
第十八页，共18页。
第五页，共18页。
【转化】 (1)把证 BD⊥EF 转化为证 BD 与 EF 所在的平面垂 直
(2)把确定点 F 使 EF∥平面 PBD 的位置，转化为证明 F 在什么 位置时 EF∥PO，即化线面平行为线线平行．
【求解】 (1)证明：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD. 又四边形 ABCD 是正方形， 所以 AC⊥BD，PA∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 PAC，又 EF⊂平面 PAC， 所以 BD⊥EF.
到平面
A1BD
的距离为2
21 21 .
第十七页，共18页。
【反思】 转化与化归思想在立体几何证明和计算中的应用是 最广泛的，等体积变换把空间距离的计算问题转化为简单的锥体体 积的计算，避免了利用空间线面关系作垂线段的的过程．在计算时， 要准确利用锥体的体积的计算公式，合理选择相关的锥体是解决该 类问题的关键．线面距离、面面距离常转化为点面距离去求解．
中，由
PB·BC＝PC·BE
得
BE＝2
3
5 .
在 Rt△BOE 中，OE＝ BE2－BO2＝ 32.
∴tan∠BEO＝BOOE＝3， 即二面角 B－PC－A 的正切值为 3.
第十二页，共18页。
【反思】 本题以锥体为载体，考查线面垂直的判定和性质、 二面角的求法以及空间向量的应用，同时考查了空间想象能力，推 理论证能力和运算求解能力．
第四页，共18页。
(2013·北京东城区期末检测)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 为线段 AC 上一点．
(1)求证：BD⊥EF； (2)试确定点 F 在线段 AC 上的位置，使 EF∥平面 PBD，并说明 理由． 【审题】 关键点：①ABCD 是正方形；②PA⊥平面 ABCD； ③E 是 PC 的中点
专题(zhuāntí)四 立体几何综合题的解答
第一页，共18页。
立体几何是考查空间想象能力的主要素材，高考必然会利用立 体几何试题考查考生的空间想象能力．其中，空间几何体的三视图 是考查空间想象能力的最直接的素材，高考一定会充分利用该知识 点设计试题，总的趋势是空间几何体的三视图越来越复杂，在考查 空间几何体三视图的同时结合面积和体积的计算；空间线面位置关 系的组合判断题能较为全面地考查考生的空间想象能力和对立体几 何基础知识的掌握程度，也是一种理想的命题方式；
第十页，共18页。
(2)方法一：如图(1)，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 OE. ∵PC⊥平面 BDE，BE、OE⊂平面 BDE， ∴PC⊥BE，PC⊥OE. ∴∠BEO 即为二面角 B－PC－A 的平面角． 由(1)知 BD⊥平面 PAC.又 OE、AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥AC. 故矩形 ABCD 为正方形，∴BD＝AC＝2 2，BO＝12BD＝ 2.
第十四页，共18页。
(2013·石家庄质检)如图，在三棱柱 ABC－A1 B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1，∠B1A1C1＝90°， D，E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点，且 A1A＝AC ＝2AB＝2.
(1)求证：C1E∥平面 A1BD； (2)求点 C1 到平面 A1BD 的距离． 【审题】 ①三棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱；②∠B1A1C1＝ 90°；③D，E 分别是 CC1 和 A1B1 的中点；④A1A＝AC＝2AB＝2
第八页，共18页。
探究二 空间角的求角 空间角主要有异面直线所成的角、线面角和二面角三种，其解 法关键是把要求的角归纳到某直角三角形中通过构造直角三角形求 解．
(2012·高考广东卷)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC⊥平面 BDE.