【2013宁波二模】浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试理数试题 word版含答案

浙江省宁波市
2013年高考模拟考试
数学（理）试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+
Sh V = 如果事件A 、B 相互独立，那么
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的
高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高
k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式 棱台的体积公式
24R S π= )(3
12211S S S S h V ++= 球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，
343V R π= h 表示棱台的高
其中R 表示球的半径
第I 卷（选择题部分，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设集合M={-1，0，1}，N={x|x 2≤}，则M ∩N=
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{-1，1}
D ．{-1，0}
2．函数)4
cos()4cos()(ππ--+=x x x f 是 A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的奇函数
D ．周期为2π的奇函数
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．338
B ．3316
C ．38
D ．316
4．已知点P （3，3），Q （3，-3），O 为坐标原点，动点M （x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤⋅12
||12||OM OM OP ，
则点M 所构成的平面区域的面积是 A ．12 B ．16 C ．32 D ．64
5．已知R b a ∈,，条件p ：“a>b ”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”。

现有
甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势，设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是 A ．31 B ．94 C ．32 D ．1
7．已知数列}{n a 是1为首项、2为公差的等数列，}{n b 是1为首项、2为公比的等比数列，
设)(,*21N n c c c T a c n n b n n ∈+++== ，则当2013>n T ，n 的最小值是
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11 8．已知空间向量3
,,1||||,π
的夹角为且满足b a b a b a ==，O 为空间直角坐标系的原点，点A 、B 满足b a OB b a OA -=+=3,2，则△OAB 的面积为
A ．325
B ．345
C ．347
D ．4
11 9．设函数)()(x f x f '的导函数为，对任意)()(x f x f R x >'∈都有成立，则
A ．)3(ln 2)2(ln 3f f >
B ．)3(ln 2)2(ln 3f f =
C ．)3(ln 2)2(ln 3f f <
D ．)3(ln 2)2(ln 3f f 与的大小不确定
10．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点A 是椭圆的一个短轴端点，
如果以A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是
A ．)22,0(
B ．)36,22(
C ．)1,22(
D ．)1,3
6( 第Ⅱ卷 （非选择题部分，共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知i 是虚数单位，复数i
i z ++=121的虚部是 .
12．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是 .
13．52)11)(2(-+x
x 的展开式的常数项是 . 14．设函数⎩⎨
⎧≤<-≤≤--=210021)(x x x x f 若函数]2,2[,)()(-∈--x ax x f x g 为偶函数，则实数a 的值为 .
15．从6名候选人中选派出3人参加A 、B 、C 三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲
不参加A 活动，则不同的选派方法有 种。

16．已知曲线12
221,22:4:l x y C x y C 直线和-=+=与C 1、C 2分别相切于A 、B ，直线2l ，
（不同于1l ）与C 1、C 2分别相切于点C 、D ，则AB 与CD 交点的横坐标是 .
17．直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t,0）（t>0），点M 是线段AD 上的动
点，如果||2||BM AM ≤恒成立，则正实数t 的最小值是 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知函数)(cos 2
1)cos(cos )(R x A A x x x f ∈--⋅= （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
（2）若函数)(x f 在3π=
x 处取得最大值，求A
c b C B a sin )()cos (cos ++的值。

19．（本小题满分14分）设公比大于零的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，245S S =，
数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足*,,12
1N n b n T b n n ∈==.
（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；
（2）设}{))(1(n n n n C ，nb S C 若数列λ-+=是单调递减数列，求实数λ的取值范围.
20．（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=2。

（1）求证：平面PA B ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角A —PC —D 的平面角的余弦值。

21．（本小题满分15分） 如图，已知椭圆2
2)0(1:2222
的离心率是>>=+b a b y a x E ，P 1、P 2是椭圆E 的长轴的两个端点（P 2位于P 1右侧），点F 是椭圆E 的右焦点，点Q 是x 轴上位不动声色P 2右侧的一点且满足2|
|2||1||121==+FQ Q P Q P . （1）求椭圆E 的方程以及点Q 的坐标；
（2）过点Q 的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，连接AF 并延长交椭圆于点C ，连结AF 并延长交椭圆于点D 。

①求证：B 、C 关于x 轴对称；
②当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线l 的方程；
22．（本小题满分14分）
设函数)12()13(ln )(2
+++-+=a x a ax x x f ，其中.R a ∈
（1）如果1=x 是函数)(x f 的一个极值点，求实数a 的值及)(x f 的最大值；
（2）求实数a 的值，使得函数)(x f 同时具备如下两个性质： ①对于任意实数)2
(2)()(,)1,0(,21212121x x f x f x f x x x x +<+≠∈且恒成立； ②对于任意实数)2
(2)()(,),1(,21212121x x f x f x f x x x x +<+≠+∞∈且恒成立；。