2020版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第二章 函数与导数学案

第二章 函数与导数
第1课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)9～11页
)
1. (必修1P 26练习3改编)下列对应关系中________是函数．(填序号) ① A ＝R ＋，B ＝R ，对于任意的x∈A，x →x 的算术平方根；
② A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{0，2，4，6，8}，对于任意的x∈A，x →2x ；
③ x →－1
2
x ，x ∈R ；
④ x →y ，其中y ＝|x|，x ∈R ，y ∈R ；
⑤ x →y ，其中y 为不大于x 的最大整数，x ∈R ，y ∈Z . 答案：①③④⑤
解析：①③④⑤均符合函数的定义，②对于集合A 中的元素5，在集合B 中找不到元素与之对应．
2. (必修1P 26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)
① y ＝x ＋1和y ＝x 2
－1x －1；② y＝x 0和y ＝1；③ f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2
；④ f(x)
＝（x ）2
x 和g(x)＝x （x ）2
. 答案：④
解析：只有④表示同一函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．
3. (必修1P 31习题1改编)设函数f(x)＝4
1－x
.若f(a)＝2，则实数a ＝__________．
答案：－1
解析：由题意可知，f(a)＝4
1－a
＝2，解得a ＝－1.
4. (必修1P 31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．
答案：－4
解析：由表中函数值得f(3)＝－4. 5. (必修1P 36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12
x ，0<x ≤2
解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法
求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x≤2时，f(x)＝－x
2
.
∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1，－1≤x≤0，
－1
2
x ，0<x ≤2.
1. 函数的概念
(1) 函数的定义
一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．
(2) 函数的定义域、值域
在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的定义域；若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．
(3) 函数的要素
函数的构成要素：定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数为相同的函数或同一函数．这是判断两函数相等的依据．
2. 函数的表示方法
表示函数的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、图象法． 3. 分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．
4. 映射的概念
一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．函数是映射，但映射不一定是函数．[备课札记]
, 1 函数的概
念)
, 1) 下列集合A 到集合B 的对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射
的有________．(填序号)
① A ＝R ，B ＝{y|y>0}，f ：x→y＝|x|；
② A ＝{x|x≥2，x ∈N *}，B ＝{y|y≥0，y ∈N }，f ：x→y＝x 2
－2x ＋2； ③ A ＝{x|x>0}，B ＝{y|y∈R }，f ：x→y＝±x ；
④ A ＝{α|α是三角形的内角}，B ＝{y|y∈R }，对应法则：y ＝tan α；
⑤ A ＝{m|m∈Z }，B ＝{y|y ＝0或y ＝1}，对应法则：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧0，m ＝2n ，n ∈Z ，
1，m ＝2n ＋1，n ∈Z ；
答案：②⑤
解析：① 集合A 中的零元素，在集合B 中没有相应的对应元素． ② 按照对应法则，满足题设条件． ③ 一对多，不满足映射的概念．
④ ∵ π2∈A ，但π
2
的正切值不存在，∴ 此对应不是从集合A 到集合B 的映射．
⑤ ∵ 集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，∴ 此对应是从集合A 到集合B 的映射．
点评：判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；② B 中元素可无原象，即B 中元素可以有剩余．
备选变式（教师专享）
已知映射f ：A→B，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝－x 2
＋2x ，对于实数k∈B，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．
答案：(1，＋∞)
解析：由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2
－2x ＋k ＝0无实数根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1时满足题意．
, 2 函数的解析
式)
, 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；
(2) 已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．
解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2(t≥2)，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2
，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2
－4，
∴ f(x)＝x 2
－4(x≥2)．
(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2
－4，
∴ f(x)＝x 2
－4(x≥2)．
(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2
t －1
，
即f(x)＝lg 2
x －1
(x>1)．
(3) ∵ f(x)是二次函数，
∴ 设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c ＝1.
由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得
a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝ax 2
＋bx ＋1＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋a ＋b ＝0，
由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，
∴ f(x)＝x 2
－x ＋1. 变式训练
根据下列条件分别求出f(x)的解析式． (1) f(x ＋1)＝x ＋2x ；
(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.
解：(1) 令t ＝x ＋1，∴ t ≥1，x ＝(t －1)2
.
则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2
－1，
即f(x)＝x 2
－1，x ∈[1，＋∞)．
(2) 设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)，
∴ f(x ＋2)＝a(x ＋2)2
＋b(x ＋2)＋c ， 则f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f(0)＝3，∴ c ＝3，∴ f(x)＝x 2
－x ＋3.
, 3 分段函数)
, 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA
由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．
(1) 求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数解析式； (2) 作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．
解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，
当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝1
2
·4·x ＝2x ；
当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；
当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝1
2
·4·(12－x)＝24－2x.
∴ 函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ，x ∈（0，4]，
8，x ∈（4，8]，24－2x ，x ∈（8，12）.
(2) 其图象如图所示，由图知f max (x)＝8.
变式训练
已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋1，x ≥0，1，x<0，
则满足不等式f(1－x 2
)>f(2x)的x 的取值范围是
____________．
答案：(－1，2－1)
解析：函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋1，x ≥0，
1，x<0的图象如图所示：
f(1－x 2
)>f(2x)⇔⎩
⎪⎨⎪⎧1－x 2
>2x ，
1－x 2
>0，解得－1<x<2－1. 备选变式（教师专享）
对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x ＋2)*(3－x)，
x ∈R .若方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．
答案：(－∞，2)
解析：令x ＋2－(3－x)≤1，求得x≤1，则f(x)＝(x ＋2)*(3－x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2，x ≤1，3－x ，x>1，
画
出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线y ＝c 有2个交点，数形结合可得c<2.
特别提醒：本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题．已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g(x)，y ＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g(x)的图象的交点个数问题．
1. (2018·溧阳中学周练)若x∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(填序号)
① f(x)＝x ，g(x)＝x 2
；
② f(x)＝1，g(x)＝(x －1)0
；
③ f(x)＝（x ）2
x ，g(x)＝x
（x ）
2
； ④ f(x)＝x 2
－9
x ＋3
，g(x)＝x －3.
答案：③
解析：①中，g(x)＝x 2
＝|x|≠x；
②中，g(x)＝(x －1)0
＝1(x≠1)；
③中，f(x)＝（x ）
2
x
＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；
④中，f(x)＝x 2
－9
x ＋3
＝x －3(x≠－3)．
因此填③.
2. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：
则关于x 答案：[－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．
3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密为y ＝a x
－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
答案：4
4. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间的关系如图所示．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y 与x 之间的函数关系是____________________．
答案：y ＝－3x ＋95⎝
⎛⎭⎪⎫20≤x≤953 解析：设进水速度为a 1 L/min ，出水速度为a 2 L/min ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝20，5a 1＋15（a 1－a 2）＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 2
＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95.当水放完，时间为x ＝953 min ，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95⎝
⎛⎭⎪⎫20≤x≤953. 5. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，
－x －3，x ＜0.若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是____________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a
－4>－2，则a>1；当a ＜0时，－a －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
－x ，x ＞0，
12－|1
2
＋x|，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____________．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：如图，作出函数图象，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，临界点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12和(1，0)连线的斜率为－13，又f′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．
, 3. 分段函数意义理解不清致误)
典例 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，
－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值
为__________．
易错分析：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a 进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，
解得a ＝－3
2
，不合题意；
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，
解得a ＝－3
4.
答案：－3
4
特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
1. 已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1，2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是______，从B 到A 的映射个数是______．
答案：8 9
解析：依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中找到对应元
素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32
＝9.所以填写答案依次为：8；9.
2. 已知一个函数的解析式为y ＝x 2
，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个． 答案：9
解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．
3. 若函数f(x)＝x
ax ＋b
，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，则f(x)＝________．
答案：
2x x ＋2
解析：由f(2)＝1得
22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，∵ 方程有唯一解，∴ 1－b
a
＝0，解得b ＝1，代入2a ＋
b ＝2得a ＝12，∴ f(x)＝2x
x ＋2
.
4. 如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，当x
表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52的值．
解：当P 在AB 上运动时，y ＝x(0≤x≤1)；当P 在BC 上运动时，y ＝1＋（x －1）
2
(1<x≤2)；当P 在CD 上运动时，y ＝1＋（3－x ）2
(2<x≤3)；当P 在DA 上运动时，y ＝4
－x(3<x≤4). ∴ y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x≤1），
1＋（x －1）2（1<x≤2），
1＋（3－x ）2
（2<x≤3），4－x （3<x≤4），
∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52
.
5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，
－（x －1）2，x ＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．
答案：[－4，2]
解析：f(x)≥－1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，12
x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪
⎧x ＞0，－（x －1）2
≥－1， 解之得－4≤x≤0或0<x≤2，即原不等式的解集是[－4，2]．
6. (2018·溧阳中学周测)设函数f(x)定义如下表，数列{x n }(n∈N *
)满足x 1＝1，且对于任意的正整数n ，均有x n ＋1＝f(x n )，求x 2 018的值．
解：因为x 1＝1，所以x 2＝f(x 1)＝f(1)＝2，x 3＝f(x 2)＝f(2)＝3，x 4＝
f(x 3)＝f(3)＝4，x 5＝f(x 4)＝f(4)＝1，x 6＝f(x 5)＝f(1)＝2，…，不难看出数列{x n }是以4为周期的周期数列，所以x 2 018＝x 4×504＋2＝x 2＝2.
点评：通过观察一些特殊的情形，来获得深刻的认识，是探索数学问题的一种重要方法，应注意学习，同时函数的表示也可以利用列表法来给出．
1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数．从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射不是函数．
2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：
① 定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法、换元法、待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
第2课时 函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)12～14页
)
1. (必修1P 25例2改编)函数f(x)＝x －2＋1
x －3
的定义域是____________________．
答案：[2，3)∪(3，＋∞)
解析：要使函数有意义，x 需满足⎩
⎪⎨⎪⎧x －2≥0，
x －3≠0，解得x≥2且x ≠3.
2. (必修1P 26练习6(2)(4)改编)函数y ＝1
x 2－1
＋x ＋1的定义域为
__________________．
答案：(－1，1)∪(1，＋∞)
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≠0，
x ＋1≥0，∴ x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
3. 函数y ＝1
x 2＋2的值域为________．
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 解析：∵ x 2
＋2≥2，∴ 0<1x 2＋2≤12.∴ 0<y ≤12.
4. 若x 有意义，则函数y ＝x 2
＋3x －5的值域是________．
答案：[－5，＋∞)
解析：∵ x 有意义，∴ x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94
－5，函数y ＝x 2
＋3x －5
在[0，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝0时，y min ＝－5.∴ 函数y ＝x 2
＋3x －5的值域是[－5，＋∞)．
5. 函数y ＝2
x －1
的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．
答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，2
解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x －1∈(－∞，0)∪[1，4)．当x －1∈(－∞，
0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.
1. 函数的定义域
(1) 函数的定义域就是使函数表达式有意义的所有的输入值x 组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．
(2) 求定义域的步骤
① 写出使函数有意义的不等式(组)． ② 解不等式(组)．
③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．
② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．
④ y ＝a x
，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ．
⑤ y ＝tan x 的定义域为{x|x≠k π＋π
2
，k ∈Z }．
⑥ 函数f(x)＝x 0
的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域
(1) 在函数y ＝f(x)中，与定义域中输入值x 对应的y 的值叫做输出值，所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域．
(2) 基本初等函数的值域
① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．
② y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 2
4a
，＋∞)；当a<0时，值域
为(－∞，4ac －b
2
4a ]．
③ y ＝k
x (k≠0)的值域为{y|y≠0}．
④ y ＝a x
(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．
⑥ y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tan x 的值域是R ． 3. 函数的最值
一般地，设y ＝f(x)的定义域为A. (1) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为y max ＝f(x 0)．
(2) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x 0)．
4. 值域与最值的关系
若函数y ＝f(x)的最大值为b ，最小值为a ，那么y ＝f(x)的值域必定是数集[a ，b]的子集，若f(x)可以取到[a ，b]中的一切值，那么其值域就是[a ，b]．
5. 复合函数
如果函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)，则y ＝f(g(x))叫做由函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)合成的复合函数，u 叫做中间变量．y ＝f(u)(u∈A)，叫做该复合函数的外层函数，而u ＝g(x)(x∈B)叫做该复合函数的内层函数．注意：由u ＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域．
6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．
[备课札记]
, 1 求函数的定
义域)
, 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12的定义域是__________． (2) 函数y ＝ln （x ＋1）
－x 2
－3x ＋4的定义域为____________． 答案：(1) ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32 (2) (－1，1) 解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足：
⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x －12≤2，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧－12≤x≤32
，
12≤x ≤52.
所以12≤x ≤32
，
所以函数g(x)的定义域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32. (2) 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x<1.
变式训练
(1) 求函数y ＝（x ＋1）
|x|－x
的定义域；
(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log 2x)的定义域．
解：(1) 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，
x<0，
∴ 函数定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)． (2) ∵ 函数f(x)的定义域是[－1，1]，
∴ －1≤log 2x ≤1，∴ 1
2
≤x ≤2.
故f(log 2x)的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2. 备选变式（教师专享） 求下列函数的定义域：
(1) y ＝lg （2－x ）12＋x －x
2
＋(x －1)0
； (2) y ＝lg sin x ＋64－x 2
. 解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，
12＋x －x 2
>0x －1≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，－3<x<4x≠1，，
∴ －3<x<2且x≠1，
∴ 所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．
(2) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，64－x 2
≥0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧2k π<x<2k π＋π，k ∈Z ，
－8≤x≤8. ∴ －2π<x<－π或0<x<π或2π<x ≤8.
∴ 所求函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．
, 2 求函数的值域)
, 2) 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x －1－2x ；
(2) y ＝1－x
2
1＋x 2；
(3) y ＝2x －1
x ＋1，x ∈[3，5]；
(4) y ＝x 2
－4x ＋5
x －1
(x>1)．
解：(1) (解法1：换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 2
2，于是f(t)＝1－t
2
2
－t
＝－12(t ＋1)2
＋1.由于t≥0，所以f(t)≤12，故函数的值域是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12.
(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤1
2
，
所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，12.
(2) y ＝1－x 2
1＋x 2＝2
1＋x
2－1.
因为1＋x 2
≥1，所以0<21＋x
2≤2.
所以－1<2
1＋x
2－1≤1，即y∈(－1，1]．
所以函数的值域为(－1，1]．
(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3
x ＋1
，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max
＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y
2－y
.
因为x∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤3
2，
即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，
所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2
－2t ＋2t ＝t ＋2
t
－2(t>0)．
因为t ＋2
t
≥2
t·2
t
＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域：
(1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；
(2) g(x)＝x 2
－9
x 2－7x ＋12
；
(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.
解：(1) 由⎩
⎪⎨⎪⎧1－x≥0，
x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.
∴ f(x)＝1－x ＋x ＋3的定义域是[－3，1]．
令y ＝f(x)，则y≥0，∴ y 2
＝4＋2（1－x ）（x ＋3），
即y 2＝4＋2－（x ＋1）2
＋4(－3≤x≤1)．
令t(x)＝－(x ＋1)2
＋4(－3≤x≤1)．
∵ x ∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，
知0≤t(x)≤4，从而y 2
∈[4，8]，即y∈[2，22]， ∴ 函数f(x)的值域是[2，22]．
(2) g(x)＝x 2
－9x 2－7x ＋12＝（x ＋3）（x －3）（x －3）（x －4）＝x ＋3x －4＝1＋7
x －4
(x≠3且x≠4)．
∵ x ≠3且x≠4，∴ g (x)≠1且g(x)≠－6.
∴ 函数g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，log x 3>0，
y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1； 当0<x<1时，log 3x<0，log x 3<0，
y ＝log 3x ＋log x 3－1＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]－1≤－2－1＝－3.
∴ 函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋
∞)., 3 函数值和最值的应用)
●典型示例
, 3) 已知函数f(x)＝x 2
＋2x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)．
(1) 当a ＝1
2
时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
【思维导图】 函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a 的取值范围
【规范解答】 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋1
2x
＋2.
∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝7
2
.
(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2
＋2x ＋a x
>0恒成立，∴ x 2
＋2x ＋a>0恒成
立．
设y ＝x 2
＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．
∵ y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2
＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，
∴ 当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
(解法2)f(x)＝x ＋a
x
＋2，x ∈[1，＋∞)．
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ， 当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x 的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．
●总结归纳
(1) 求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
(2) 函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．
(3) 运用函数的值域解决实际问题
此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．
●题组练透
1. 函数y ＝x 2
＋x ＋1的值域是____________．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞
解析：∵ x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴ y ≥32，∴ 值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.
2. 函数y ＝x ＋1－2x 的值域是____________．
答案：(－∞，1]
解析：令1－2x ＝t(t≥0)，则x ＝1－t 22.∵ y ＝1－t 2
2＋t ＝－12
(t －1)2
＋1≤1，∴ 值
域为(－∞，1]．
3. 已知函数f(x)＝x 2
＋4ax ＋2a ＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）
2
4
＝0，∴
a ＝－1或3
2
.
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2
－a －3≤0，∴ －1≤a≤32
，
∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩
⎪⎨⎪
⎧a 2
－a ＋2，－1≤a≤1，
－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.
当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2
－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤74，4；
当1<a≤32时，g(a)＝－a 2
＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，2.
∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，4. 4. 已知函数y ＝mx 2
－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1) 求实数m 的取值范围；
(2) 当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．
解：(1) 当m ＝0时，x ∈R ；当m≠0时，m ＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1.故实数m 的取值范围是0≤m≤1.
(2) 当m ＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y ＝m （x －3）2
＋8－8m ，故f(m)＝8－8m(0＜m≤1)．所以f(m)＝8－8m (0≤m≤1)，其值域为[0，22]．
1. 函数f(x)＝ln （2x －x 2）
x －1
的定义域为____________．
答案：(0，1)∪(1，2)
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧2x －x 2
＞0，
x －1≠0得0＜x ＜2且x≠1.
2. 已知函数y ＝x 2
－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．
答案：{1}
解析： x 2
－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1.
3. 函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，
－x 2
＋1，x ＞0的值域为____________． 答案：(－∞，1]
解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1].
4. 若函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，
3＋log a x ，x>2(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值
范围是________．
答案：(1，2]
解析：当x≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x ＞2时，f(x)＝3＋log a x 的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a ＞1，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．
5. 已知函数f(x)＝a x
＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．
答案：－3
2
解析：当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，该方程组无解；当0<a<1时，⎩
⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，
a 0＋
b ＝－1，解得
⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝1
2
，则a ＋b ＝12－2＝－3
2. 6. (2018·南阳一中二模)设g(x)＝mx 2
＋x ＋1.
(1) 若g(x)的定义域为R ，求m 的取值范围；
(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m 的取值范围．
解：令f(x)＝mx 2
＋x ＋1.
(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．
① 当m ＝0时， f(x)＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；
② 当m≠0时，要满足题意必有⎩
⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≤0，∴ m ≥1
4.
综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f(x)＝mx 2
＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ① 当m ＝0时，f(x)＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；
② 当m≠0时，要满足题意必有⎩
⎪⎨⎪⎧m>0，
Δ＝1－4m≥0，
∴ 0<m ≤1
4
.
综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，14. 点睛：本题主要考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并能应用于解题当中．
1. 函数f(x)＝
|x －2|－1
log 2（x －1）
的定义域为__________．
答案：[3，＋∞)
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧log 2（x －1）≠0，x －1>0，
|x －2|－1≥0，
解得x≥3.
2. (2018·溧阳中学周练)函数f(x)＝1x
ln(x 2－3x ＋2＋－x 2
－3x ＋4)的定义域为
____________．
答案：[－4，0)∪(0，1)
解析：函数的定义域必须满足条件：
⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，
x 2
－3x ＋2≥0，
－x 2－3x ＋4≥0，
x 2
－3x ＋2＋－x 2
－3x ＋4>0，
解得x∈[－4，0)∪(0，1)．
3. 当x ＝__________________时，函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2
取得最小值．
答案：a 1＋a 2＋…＋a n
n
解析：f(x)＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2
n )，
当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n
时，f(x)取得最小值．
4. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x
＋a ，x>2，x ＋a 2
，x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________________．
答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：f(x)的值域为R ，则22＋a≤2＋a 2
，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
5. 已知函数f(x)＝4
|x|＋2
－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条
件的整数数对(a ，b)共有______个．
答案：5
解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4
|x|＋2
≤2，解得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对
有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．
6. 求函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2
＋4的值域．
解：函数y ＝f(x)的几何意义：平面内一点P(x ，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)的距离之和就是y 的值．由平面几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′，
交x 轴于一点P ，点
P 即为所求的最小值点，y min ＝AB′＝82＋62
＝10.所以函数的值域为[10，＋∞)．
1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．
2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．
3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等．理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．[备课札记]
第1课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)15～17页)
1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．(填序号)
① y ＝1x 2；② y＝x 3；③ y＝x 0 ；④ y＝x 2
.
答案：④
解析：∵ 函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴ 函数y ＝x 2
在(－∞，0)上为减函数．
2. (必修1P 44习题2改编)
(1) 函数f(x)＝2x ＋1的单调增区间是__________；函数g(x)＝－3x ＋2在区间(－∞，＋∞)上为________函数．
(2) 函数f(x)＝x 2
－2x －1的单调增区间为________，单调减区间为________．
(3) 函数f(x)＝－1
x －1在区间(－∞，0)上是单调________函数．
(4) 函数y ＝1
x
在区间[1，3]上是单调________函数．
答案：(1) (－∞，＋∞) 单调减 (2) [1，＋∞) (－∞，1] (3) 增 (4) 减
3. (必修1P 54本章测试6改编)若函数y ＝5x 2
＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝__________．
答案：10
解析：函数y ＝5x 2
＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－m 10
的抛物线，要使函数
y ＝5x 2
＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m 10
＝
－1，∴ m ＝10.
4. 已知函数f(x)＝ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是
__________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2a
x ＋2
在(－2，＋∞)
上为增函数，∴ 1－2a<0，
∴ a>12
.
5. 设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．
答案：f(－3)>f(－π)
解析：由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．
1. 增函数和减函数
一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图①所示)
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图②所示)
2. 单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间D 上具有单调性(区间D 称为单调区间)．
3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法
利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质
如果f(x)，g(x)为增函数，则① f(x)＋g(x)为增函数；② 1
f （x ）为减函数(f(x)>0)；
③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．
(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．
(4) 图象法
奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
4. 函数的单调性的证明方法 已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数)来证明．主要步骤：
(1) 设元； (2) 作差(商)；
(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显)； (4) 判断符号； (5) 结论．
[备课札记]
, 1 函数单调性
的判断)
, 1) 判断函数f(x)＝ax
x 2－1
(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．
分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间(－1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义．
解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a （x 1x 2＋1）（x 2－x 1）
（x 21－1）（x 2
2－1）
. 由－1<x 1<x 2<1得（x 1x 2＋1）（x 2－x 1）
（x 21－1）（x 2
2－1）
>0，∴ 当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(－1，1)上单调递减；同理，当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增．
备选变式（教师专享）
证明函数f(x)＝x
1＋x
2在区间[1，＋∞)上是减函数．
证明：设任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.
f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 2
1）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）
（1＋x 21）（1＋x 2
2）
. ∵ x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， ∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.
又(1＋x 21)(1＋x 2
2)>0，
∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．
∴ f(x)＝x
1＋x
2在[1，＋∞)上为减函数．
点评：亦可证明函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[－1，1]上是增函数．由于函数f(x)＝x
1＋x
2是
定义在R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)＝x
1＋x
2的图象．同时也可得
到函数f(x)＝x 1＋x 2在[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12.
, 2 求函数的单
调区间)
, 2) 求下列函数的单调区间：
(1) y ＝x 2
－3|x|＋14；
(2) y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 2
－2x ； (3) y ＝log 2(6＋x －2x 2
)．
解：(1) ∵ y＝x 2
－3|x|
＋14
＝
⎩⎪⎨⎪⎧⎝
⎛⎭⎪
⎫x －322
－2（x≥0），⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋322
－2（x<0）， ∴ 由图象可知，y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞上为增函数．
(2) 易得定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2
－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，
＋∞)上为增函数．又y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 2
－2x 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
(3) 由题意得6＋x －2x 2>0，化简得2x 2
－x －6<0，即(2x ＋3)(x －2)<0，解得－32
<x<2，
即定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.设u ＝6＋x －2x 2
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，易知其在⎝ ⎛⎦
⎥⎤－32，14上为增函数，
在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，2上为减函数，又y ＝log 2u 在定义域上为增函数，∴ y ＝log 2(6＋x －2x 2
)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14，单调减区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，2. 点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应首先确定函数的定义域，然后再根据复合函数单调性的判断规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间．
变式训练
函数y ＝－(x －3)|x|的单调递增区间是____________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－（x －3）x ，x ≥0，（x －3）x ，x<0.画图象如图所示，可知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.
备选变式（教师专享）
作出函数f(x)＝|x 2
－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．
解：当x≥1或x≤－1时， y ＝x 2
＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54
；
当－1<x<1时， y ＝－x 2
＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54
.函数图象如图，由函数图象可知函数单
调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；单调增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)． ,
3函数的单调性与最值)
●典型示例
, 3) 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思维导图】判断对称轴与区间的不同位置关系→分别画出图象→判断f(x)在区间的单调性→求出最值
【规范解答】解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1) 当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2) 当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3) 当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4) 当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max ＝3－4a；当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max ＝－1.
【精要点评】 (1) 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故需要确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．
(2) 不是应该分a<0，0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0，2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
●总结归纳
(1) 要注意函数思想在求函数值域中的运用，求函数最值常借助函数单调性．含有参数的最值问题，需要分类讨论参数在不同范围内时函数单调性的变化，进而判断最值的位置．
(2) 不等式恒成立问题也可以转化为求函数的最值问题．
●题组练透
1. 函数y＝2x＋x＋1的值域是____________．
答案：[－2，＋∞)
解析：x≥－1，y是x的增函数，当x＝－1时，y min＝－2，∴函数的值域为[－2，＋∞)．
2. 已知x∈[0，1]，则函数y＝x＋2－1－x的值域是______________．。