2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题39空间几何体的表面积和体积

(3) 设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h′．
由题意，得
11 3×6×2×2× 3×h＝ 2
3，
∴ h＝ 1，
∴斜高 h′＝ 12＋ 3 2＝ 2，
∴ S 侧＝ 6×12×2×2＝ 12. 【感悟提升】空间几何体表面积的求法
(1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数
4π A. 3 C． 36π
32 π B. 3
256 π D. 3
(2) 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形， 且△ ADE，△ BCF 均为正三角形， EF∥AB ，
EF ＝ 2，则该多面体的体积为 ( )
2 A. 3
4 C.3 【答案】
(1)B (2)A
3 B. 3
量．
(2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 【变式探究】 (2016·全国Ⅲ卷 )如图所示，网格纸上小正方形的边长为
1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的表面积为 ( )
专题 39 空间几何体的表面积和体积
3 D. 2
专题 39 空间几何体的表面积和体积
【解析】 (1) 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为
12 ，如图所示，
其中 AC＝ 6， BC＝ 8，∠ ACB＝90°，则 AB＝ 10.
由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大．
(3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
高频考点四 与球有关的切、接问题
例 4、已知直三棱柱 ABC－ A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB＝ 3，AC＝ 4，AB⊥ AC，AA1＝ 12，
则球 O 的半径为 ( )
3 17 A. 2 C.123 【答案】 C
6＋ 8－10 即 r ＝ 2 ＝ 2，故能得到的最大球的体积为
43πr 3
＝
4π 3 ×8＝
32 3
π ，故选
B.
【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
2 A. 2 C. 2 【答案】 C
B．1 D. 3
∴
(
x 2)
2＋
(x 2
)2＝
1，即
x＝
2，则 AB＝ AC＝ 1，
∴ S 矩形 ABB1A1＝ 2×1＝ 2.
专题 39 空间几何体的表面积和体积
1. 【 2016 高考新课标 1 卷】如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径
B ． 2 10 D ．3 10
【解析】 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，
专题 39 空间几何体的表面积和体积
则垂足为 BC 的中点 M .
又
AM
＝
1 2BC
＝
5， 2
OM
＝
1 2AA
1＝
6
，

所以球 O 的半径 R＝ OA＝
5 2
2＋
62＝
13 2.
【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法
.
28
若该几何体的体积是
,则它的表面积是（
）
3
（ A ） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28
【答案】 A
2. 【 2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （）
专题 39 空间几何体的表面积和体积
（ A） 20
【答案】 C
（ B） 24
3
3
A.3
B. 2
C.1
D. 2
【答案】 (1)C (2)C
专题 39 空间几何体的表面积和体积
【变式探究】 (2015 ·课标全国Ⅱ ) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
1
1
A. 8
B. 7
1
1
C.6
D. 5
【答案】 D
【解析】 如图，
图，则该多面体的表面积为（
）
1，粗实现画出的是某多面体的三视
（ A） 18 36 5
（ B） 54 18 5
（ C） 90
（D） 81
【答案】 B
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积
S 2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 54 18 5 ，故选 B．
5【. 2016 高考山东理数】 一个由半球和四棱锥组成的几何体， 其三视图如图所示 .则该几何体的体积为 （ ）
A.18 ＋36 5 C.90 【答案】 B
B.54＋ 18 5 D.81
高频考点二 求空间几何体的体积 例 2、(1)(2016 ·山东卷 )一个由半球和四棱锥组成的几何体， 其三视图如图所示 .则该几何体的体积为 ( )
A.
13＋
2 3π
B.13＋
2 3π
C.13＋ 62π
D.1 ＋ 62π
(2) 正三棱柱 ABC－ A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 A－ B1DC 1 的体积为 ( )
(1) 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2) 若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA，PB， PC 两两互相垂直，且 PA＝ a，PB＝b， PC＝ c， 一般把有关元素 “补形 ”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝ a2＋ b2＋ c2求解． 【变式探究】如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB＝ AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为 ( )
（C） 28
（ D） 32
3.【 2016 年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
1
1
A.
B.
6
3
【答案】 A
1 C. D. 1
2
【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥
11
1
P ABC ，其体积 V
1 1 1 ，故选 A.
32
6
专题 39 空间几何体的表面积和体积
4. 【 2016 高考新课标 3 理数】如图，网格纸上小正方形的边长为
A A1B1D1
＝
11 3×2
×12×1
13－
11 3×2
×1
2×1
＝
1 5.
选
D.
高频考点三 求简单几何体的体积
专题 39 空间几何体的表面积和体积
例 3、在梯形 ABCD 中， ∠ABC＝ π2，AD∥ BC，BC＝ 2AD ＝ 2AB＝ 2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一
周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )
专题 39 空间几何体的表面积和体积
专题 39 空间几何体的表面积和体积
1.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称
几何体 柱体 (棱柱和圆柱 ) 锥体 (棱锥和圆锥 )
台体 (棱台和圆台 )
球
表面积 S 表面积 ＝ S 侧＋ 2S 底 S 表面积 ＝ S 侧 ＋S 底 S 表面积 ＝ S 侧＋ S上 ＋S 下
如图所示．若该几何体的表面积为 16＋ 20π，则 r 等于 ( )
A．1 C． 4
B．2 D ．8
专题 39 空间几何体的表面积和体积
(3) 一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ________ ． 【答案】 (1)C (2)B (3)12
2π A. 3
5π C. 3
4π B. 3 D ．2π
【答案】 C
该几何体的体积为
V＝V
圆柱－ V
圆锥
＝
πA·B2·BC－
13·πC·E 2·DE
＝
π×2１×2
－
13π×2１×1＝
5π，故选 3
C.
【变式探究】 (1) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的
最大球的体积等于 ( )
由题意知， 该几何体是正方体 ABCD-A 1B1C1D 1 被过三点 A、B1、D1 的平面所截剩余部分，截去的部分为三
棱锥 A-A 1B1D1，设正方体的棱长为 1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
VA A1B1D1 VB1C1D1 ABCD
VA A1B1D1
V V A1B1C1D1 ABCD
S＝ 4πR2
体积
V＝ Sh
V＝
1 3Sh
V＝1(S 上＋ S下 ＋ S上S下)h 3
V
＝
4 3
πR3
高频考点一 求空间几何体的表面积 例 1、 (1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
()
A ． 1＋ 3
B ． 1＋ 2 2
C． 2＋ 3
D．2 2
(2) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图