江西省南昌市第十中学高二上学期期末考试数学(文)试题

南昌十中2016－2017学年上学期期末考试高二数学（文理）
答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知i 是虚数单位，复数2
1z i i
=+
-，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．32 C ．3
2
-
D ．-2
【答案】D 【解析】
2、设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩
⎪⎨
⎪
⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A .注：此题也可采用定义法来判断． 3、已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且┐p 是┐q 的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－3]
解：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由┐q 的一个充分不必要条件是┐p ，可知┐p 是┐q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，有a ≥1.故选B .
【点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形．
4、设点P 是曲线y ＝x 3＋3x ＋2
3上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范
围是( )
A ．[0，π2)∪[2π3，π)
B ．[0，π2)∪[5π6，π)
C ．[π3 ，π2)
D ．(π2，5π
6]
答案：C 解析：因为tanα＝y ′＝3x 2＋3≥3，又α∈[0，π)，故α∈[π3 ，π
2
)．
5、圆2
2
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）
A ．43-
B ．3
4
- C D ．2
【答案】A 【解析】圆的方程可化为22
(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：
1d =
=，解得4
3a =-，故选A ．
6、已知曲线y ＝x 2
2
－3lnx 的一条切线的与直线x +2y +10=0垂直，则切点的横坐标为( )
A ．1
3
B ．2
C ．1
D. 3
解：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3
x 0＝2，解得x 0＝3.故选D
7、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB
|=
DE|=则C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【答案】B 【解析】如图,设抛物线方程为2
2y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,
则AC =即A
点纵坐标为则A 点横坐标为
4
p
,即 4OC p
=
,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,
即2
22
2
4()()2
p p
+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B. 8、已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是(
)
A ．f (b )>f (c )>f (d )
B ．f (b )>f (a )>f (e )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案：C 解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，
9、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝
90°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN →
|
|AB →
|
的最大值为( )
A.
22 B.3
2
C ．1 D. 3 答案 A 解析 设准线为l ，过A ，B 分别作AQ ⊥l ，BP ⊥l ，垂足分别为Q ，P .设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .由勾股定理得，|AB |2＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又ab ≤(a ＋b 2
)2
，所以(a ＋b )2－2ab ≥(a
＋b )2－
a ＋
b 2
2
，得到|AB |≥22(a ＋b )，所以|MN →
||AB →|≤1
2a ＋b
2
2a ＋b
＝22，即|MN →||AB →|
的最大值为2
2，
故选A.
10、若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 可能的值为( )
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9 答案 B
解析 由题意得f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，由f ′(x )>0得x <1或x >2，由f ′(x )<0得1<x <2，
所以函数f (x )在 (－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，从而可知f (x )的极大值和极小值分别为f (1)，f (2)，若欲使函数f (x )恰好有两个不同的零点，则需使f (1)＝0或f (2)＝0，解得a ＝5或a ＝4， 而选项中只给出了5，所以选B.
11、已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. 433
B.23
3 C ．3 D ．2
【解析】设|PF 1|＝r 1，|
PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线
所以1e 1＋1e 2
≤43
3.故选A.
法二：x=1e 1
,y=1
e 2
,x 2+3y 2=4 ,t=x+y 再线性规划
l 是经过双曲线 ()22
22:10,0x y C a b a b -=>>焦点F 且与实轴垂直的直线,,A B 是双曲线
C 的两个顶点, 若在
12、设函数x e x e x g x x e x f 222)(,1)(=+=，对任意121,,x x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，不等式12()()2g x f x k k <+恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．),1(+∞ B ．),1[+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞
【答案】D 【解析】∵k 为正数，∴对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式
12()()
2
g x f x k k <
+恒成立12()()
2
g x f x k k ⇒
<
+， 由0)
1()(22=-='+x
x e x e x g 得1=x ，)1,0(∈x ，0)(>'x g ，),1(+∞∈x ，0)(<'x g ， ∴k e
k g k x g ==)1(])([max .同理)1,0(,101)(2
2e x e x x x e x f x ∈=⇒=-='，0)(<'x f ，),1
(+∞∈e
x ，0)(>'x f ，
1
21)
1(]1)([min +=+=+k e k e f k x f >121)1(]1)([min +=+=+k e k e f k x f ，∴，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则||z = . 【解析】设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=
3i 32i a b +=-，所以1,2a b ==-，即12i z =-.故选||z =5
14、已知函数f (x )＝2x si nx ，则当x ＝π
2
时，其导函数的值为________．
答案：2解析：f ′(x )＝2si nx ＋2x cos x ，∴f ′(π2)＝2si n π2＋2·π2·cos π
2＝2.
15、若函数
()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.
【答案】k ≥e 或
k<0
所以k ≥e
（文科）若f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，则实数m 的取值范围为 ．
【解析】∴f ′(x )＝6x 2
－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)．由(1)知，f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调
递增，在[－1,2]上
单调递减．∴m ＋4≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－1，
m ＋4≤2，
或m ≥2.∴m ≤－5或m ≥2，即m 的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)．
16、已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，
,A B 是圆()2
2
2
4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心
率为______________．
【解析】
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为
1x t
y =+⎧⎪⎨
=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为
⎩⎨
⎧x ＝2cos θ
y ＝3sin θ
（
θ
为参数）（1）.
直线l 的极坐标方程与椭圆C 的普通方程（2）设P(1,0)直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段||P A|-|PB||的长.
解：（1）椭圆C 的普通方程为x 24＋y 2
3
＝1，
（2）椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，将直线l
的参数方程1122
x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩，代入x 24＋
y 23＝1
，得2213(1))122t +
+=，即254120t t +-=，解得1245t t +=-，1212
5
t t =-. 所以12124
||||||||5
AB t t t t =-=+=
.
18、（本小题满分12分）(2015·
重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4
3
处取得极值． (1)确定a 的值和f (x )的极值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．
解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x .因为f (x )在x ＝－4
3处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. f (－43)=1627， f (0)=0 (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数． 19、（本小题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的
圆心，且椭圆上的点到点F 的距离的最小值为2－1. (1)求椭圆方程；
(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝⎛⎭⎫－54，0，证明：MA →·MB →为定值．
解：(1)圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，
则圆心为(－1，0)，半径r ＝1，∴椭圆的半焦距c ＝1.
又椭圆上的点到点F 的距离的最小值为2－1，∴a －c ＝2－1，即a ＝2，则b 2＝a 2
－c 2＝1.
故所求椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)证明：①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1.可求得A ⎝
⎛⎭⎫－1，
22，B ⎝⎛⎭
⎫－1，－2
2. 此时MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫1
4，22·⎝⎛⎭⎫14
，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 22＋y 2
＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
.
∵MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋54，y 1·⎝⎛⎭⎫x 2＋54，y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋54⎝⎛⎭⎫x 2＋54＋y 1y 2＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝⎛⎭⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)
＝(1＋k 2
)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋25
16＝(1＋k 2)·2k 2
－21＋2k 2＋⎝
⎛⎭⎫k 2＋54⎝⎛⎭⎫－4k 2
1＋2k 2＋k 2＋2516 ＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－7
16. 综上得MA →·MB →为定值，且定值为－716
.
20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝lnx －ax (a ∈R )．
(1)函数f (x )在[2,3]上单调递减，求a 的取值范围； (2) 当a >0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．
审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域；
② 先研究f (x )在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．
规范解答： 解：(1) f ′(x )＝1
x －a ≤0恒成立(x >0)． ⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(6分) (2) ① 当1
a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，
所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .(8分)
② 当1a ≥2，即0<a ≤1
2时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，
所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .(10分)
③ 当1<1a <2，即1
2<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数，
又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，
所以当1
2<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；
当ln 2≤a <1时，最小值是f (2)＝ln 2－2a .(12分) 综上可知，当0<a <ln 2时，最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，最小值是ln 2－2a .(14分)
21、已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)与抛物线C 2：x 2＝2p y (p>0)有一个公共焦点，抛物线C 2
的准线l 与椭圆C 1有一坐标是(2，－2)的交点． (1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；
(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →
的取值范围．
解：(1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以p
2＝2，p ＝4，所以抛物线C 2的方程是：
x 2＝8y ，
椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，所以
c ＝2，2a ＝2＋0＋
2＋（2＋2）2
＝42，所以a ＝22，b ＝2，故椭圆C 1的方程是y 28＋x 2
4
＝1.
(2)设点P(t ，－2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，E(x 3，y 3)，F(x 4，y 4)，抛物线方程可化为：y ＝18x 2，y ′＝14
x ， 所以AP 的方程为：y －y 1＝14x 1(x －x 1)，所以－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝1
4tx 1＋2，
同理BP 的方程为：y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为：y ＝1
4
tx ＋2，
将直线AB 的方程代入椭圆C 1的方程得到：(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0， 则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)>0，且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64
t 2＋32
，
所以OE →·OF →
＝x 3x 4＋y 3y 4＝(1＋t 216)x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8.
因为0<320t 2＋32≤10，所以OE →·OF →
的取值范围是(－8，2]．
22、已知函数f (x )＝a x ＋x 2－xlna (a >0，a ≠1)．
(1) 若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；
(2) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )m i n |＝f (x )max －f (x )m i n ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．
(1) 当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
规范解答： (1) 证明：f ′(x )＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna .(2分) 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna >0，a x －1>0，所以f ′(x )>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(4分)
(1) 解：当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增，故f ′(x )＝0有唯一解x ＝0.(6分)
所以x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表所示：
又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f (x )m i n ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(10分)
(2) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f (x )max －f (x )m i n |＝f (x )max －f (x )m i n ≥e －1.(12分)
由(2)知，f (x )在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )m i n ＝f (0)＝1，
f (x )max ＝max {f (－1)，f (1)}．
而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－lna )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋lna ＝a －1
a
－2lna ， 记g(t )＝t －1t －2lnt (t >0)，因为g′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12
≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，
所以g(t )＝t －1
t －2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，
所以当t >1时，g(t )>0；当0<t <1时，g(t )<0，
也就是当a >1时，f (1)>f (－1)；当0<a <1时，f (1)<f (－1)．(14分) ① 当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1
a －lna ≥e －1a ≥e ，
② 当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1
1a ＋lna ≥e －10＜a ≤1e
， 综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1
e ∪[e ，＋∞)．。